Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть функция непрерывна на всей числовой оси. Определение 3. Несобственным интегралом функции ~(х) от — оо до +ос называется следующая сумма: -~-ж с -~-сс ,!'(х) дх = ~(х) Йх+ Г'1х) 61х. Опа не зависит от выбора точки х = с. Предполагается, что оба 1л. 19 Определенный г»»»теграл д Рис. 12.16. Локон Аньези -~-со несобственных интеграла сходятся. Интеграл | 1'(х) г1х выражает площадь области под линией д = 1" (х), бесконечно щгостирающейся в обе стороны.
7 Пример 3. Найти площадь бесконечной области под лини- ,!з ей д =,, — локон Аньези (рис. 12.16). 12+ 2 АБЬЕЗИ !Айпев1) Мария Гаэтана !1 719 — 1799) — итальвкский математик, профессор университета в Болонье. Родилась в Милане. Б ,1з се честь плоскую кривукл выраженную ураовепием 9 = х +с1 назвали спокон Аньези». Решение. Искомая площадь представляется интегралом | !з,)з 1з с)2+ха ) де+ха ) 12-Ьаз Так как , г)х — г! агсгн —, 2, г! +х О то г г)х = !пп с! агс1й — = иг! 1'2. Г 2 с! +х Ь ~-ьоо д О 26О ИЛО. Несобственные ннтегналы Аналогично О ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ ~ ~ ~ ! О а с!х = — !пп с! агс!й — = вге! /2, е! .
а а д +х а-в — оо д откуда с!х = вг е! с!О !2+ а Таким образом., площадь искомой бесконечной фигуры вчетверо больше площади круга с диаметром д. Этот результат получила итальянский математик Мария Аньези. (Впрочем, еще за сто лет до Аньези искомую площадь другим методом нашел Ферма.) а Иногда вместо !пп г !6) пишут г !хоо). Такая запись поз- Ь вЂ” васо воляет обобщить формулу Ньютона-Лейбница. Действительно, пусть Р'(х) -.
первообразная функция для непрерывной функции !'(х). Тогда -~-оо с .~-оо ~ ~л ~(х) с!х = 1!х) е!х+ ~(х) с!х = !пп (г'(О) — г'(с)) + 1пп !г (с) — г" (а)) = 1пп Г!О) — 1пп Г(п) = Р (+со) — г ( — оо). Ь вЂ” Н-оо а — ~ — оо Таким образом, если функция г"!х) непрерывна на всей числовой оси, то формула Ньютона — Лейбница !" (х) с!х = г (О) — г'(а) верна и в случае, когда и или 6 равны хоо. О ! 7 Пример 4.
Найти несобственный интеграл ~ в с!х. 1+х 1л. 1й. Оьределеннна интеграл Решение. г ,о ., дх = а1юьй х 1+ 2 агсьнΠ— асеан( — оо) = Π— ( — — ) = —. а 2 2 Несобственные интегралы второго рода. ь ь Г 1'(х) дх = !1п1 7(х) е!х -»~-о ! (12. 4) и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или не существует предел правой части равенства (12.4). Аналогично определяется несобственный интеграл, когда )'(х) имеет разрыв только на конце х = 6 промежутка [а, 6).
7 Пример 5. Найти несобственный интеграл ~ — дх. 1 Решение. Функция ! (х) = — разрывна в точке х = О. По- этому | 1 . ! 1 — дх = !пп ~ — дх = !пп (!их) = 1 — ( — со) =+со. х е ~«О х е ~«О Искомый несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что соответствующая криволинейная трапеция («беско- нечный шпиль») имеет бесконечную площадь (рис. 12.17). а Если существует функция Е(х), непрерывная на отрезке [а, 6| и такая, что Е'(х) = 7"(х) при а < х < 6 Определение 4.
Пусть функция 7" (х) непрерывна при а < х < 6 и имеет точку разрыва при х = а. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной 1руннции определяется формулой 12.10. Несобственные ннтегралы 267 Рис. 12.17. Геометрический смысл несобственного интеграла (обобпьеннил первообрознал), то для несобственного интеграла (12.4) справедлива обобщенная формула Ньютона — Лейбница: Г 1" (х) с1х = 1пп 1" (х) Йх = !пп (г'(6) — Р(а+ е)) = е-~-ЬО ~ е-~-ЬО а а -~- е ь = г'(6) — г'(а) = г'(х) а Таким образом, формула Ньютона — Лейбница для определенных интегралов докизывиетсл; для несобственных она проны ыаетсл за определение. Аналогично определяется несобственный интеграл, когда 1(х) имеет разрыв только на конце х = 6 промежутка [а, 6); ь 1(х) с1х = Я(6) — Р(а) = Г(х) а 1 1 Ч Пример 6.
Найти несобственный интеграл ~ — с1х. ~л О 1л. 1а Опр«д«леи интеграл 1 Решение. Функция /(х) = — разрывна в точке х = О. »/х Позтому 1 — 4х = 2 «/х = 2 — О = 2. т/х 0 о Геометрически зто означает, что соответствующая криволинейная трапеция («бесконечный шпиль») имеет площадь равную двум (рис. 12.17). По сравнению с предыдущим примером площадь оказалась конечной. Это является следствием того, что 1 «шпиль» для функции у = является тонким и, начиная с некоторой высоты, почти сливается с осью Оу. А Решение примеров 4, 5, 6 в пакете Мар1е.
>1пс(1/(1+х«»2),х=-1пХ1п1ву..0); 1 Ответ: —, «г. 2 >1пв(1/х,х=0..1); Ответ: оо. >1пс (1/вс1тс (х), х=0 .. 1); Ответ; 2. Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. Н. Лобачевский Глава 13 Применение интегрального исчисления в социально-экономической сфере 13.1.
Вычисление объема выпущенной продукции Как уже отмечалось выше (см. и. 12.4), определенный интеграл используется в экономике и для определения объема выпуска продукции. Считая, что объем продукции, произведенной в единицу времени (производительность)., является непрерывной функцией 1(г) от времени 1, выпуск продукции за промежуток т времени (О, Т~ можно вычислять по формуле С~ = ) у(с) п1. о ту Пример 1. Найти дневную выработку Я за рабочий день продолжительпосгью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле 1(1) = = — 0,11в + 0,81+ 10. Решение.
т а 6> = )'(1) М = ( — 0,11 + 0,81+10) сИ = о о = — 0,11з/3+ 0.,81~/2+ 101! — 88,53. А ~ш Задача 1. Найти обьем продукции, выпущенной за год (258 рабочих дней) при 8-часовом рабочем дне, если производительность задана функцией 1(1) = — 0,00331~ — 0.,0891+ 20,96, 0 < 1 < 8. 1л. !о'. !!рилгенение интегрального иеииеленил... 270 Ъ'казание. Сначала найти об ьем продукции за 8 часов, затем умножить на 258. Ответ: 42 381 ед.
Пример 2. Пусть известно, что в начальный момент времени ! = О иа предприятии производилось продукции в количестве уо, а скорость роста продукции, произведенной на предприятии, равна нулю. Найти какое количество продукции у(1) производится в каждый момент времени 1. Рис. 13.1. Дневная вы- работка Решение.
Согласно условию задачи !У(!) е1! Решением этого уравнения является произвольная постоянная у(!) = С. Воспользовавшись другим условием задачи, согласно которому ( О ) получим С = уо, откуда имеем У(!) = Уо, т. е. предприятие производит продукции в каждый момент вре- мони столько же сколько и в начальный. А Задача 2. В условиях предыдущей задачи найти количество продукции произведенной на предприятии за время [О, 2]. 2 Ответ: ) у(!) Я = 2уо.
о 13.2. Степень неравенства в распределении дохОДОв Одной из важнейших проблем в социальных и экономических науках является проблема измерения социального неравенства. Наиболее распространена следующая методика изучения. Сначала по тому или иному критерию (имуществу, количеству земли и т. п.) вся совокупность людей, семей или хозяйств делится на несколько групп, чаще всего на три: богатые, средние, бедные; затем определяется доля каждой группы.
Если в социальной 18.3. Степень неравенство о рпсггределенпн доходов 271 структуре преобладают асереднякиь, а крайние группы по численности одинаковы, то делается вывод о том, что данная социальная совокупность более или менее однородна, если же, наоборот, большая часгь населения принадлежит к крайним группам, то считается, что налицо сильное расслоение и неравенство.
При изучении социальной структуры в динамике исходят из мысли, что если в интервале времени наблюдалось изменение в соотношении социальных прослоек в пользу крайних за счет средней группы, то дифференциация и неравенство углубились. Подобную методику измерения социального неравенства называют мегггог)иной соотношения имущественных прослоек. Ее недостаток состоит в том, что вынуждает исследователя оценивать неравенство на глаз и только в качествешюм отношении: уменыпилось--увеличилосгп сильное- слабое., не позволяя количественно измерить его уровень, скажем, в интервале (О, 1). В последнее время в социальных и зкономических науках при изучении норавенства все чаще применяется математика. Разработано несколько видов коэффициентов коэффициент Лоренца, коэффициент Джини, коэффициент Шютца, коэффициент дифференциации и другие ') . Преобразование данных в математическую форму дает исследователю много новой ценной информации, которая выражается в концентрированном виде, имеет четкий и ясный смысл.
ЛОРИН!1 11огепв) Макс 1'1876 1959) американский экономист и статистик. Дао графическую иптсрпротациЮ нсравснстна в рапире делении дохода в обществе (кривая Лоренца). ДЖИНИ 1гДЖИННИ) 1'С1п1) 14аррадо 11884-1965) итальянский экономиСт, статистик, демограф. Приведем пример использования коэффициента Джини для определения степени неравенства по кривой Лоренца. Кривая Лоренца (рис. 13.2) выражает график зависимости процента доходов от процента, имегощего их населения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
