Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 43
Текст из файла (страница 43)
14.5). Рнс. 14.5. Единичный век гор 1 Теорема. Если фднкпл г = д (х, д) имеет в точке Мв(хв, до) непрерывные чистные производные, то в этой точке сди1ествддг ет производная — по любому направлению ! = (сов о сов,З) д1 причем , дг дг дг ~ ~— = — сов о + — сов,З., ~ ,а! а од (14. 2) дг дг где — и —, — значенил частных производных в точке дх дд Мо(хв, до). дг Производная по направлению —, характеризует скорость нзд1 менения функции г = ('(х, д) в точке Мв(хв, дв) по паправлепню !. В этом состоит механический смысл производной по направлению. Геометрический, смысл производной по направлению Гл.
ц. Частные производные 294 состоит в том, что она выражает величину наклона функции в направлении. В зкономическом смысле производная по направлению от производственной функции есть количество продукции, приходящееся на единицу определенной линейной комбинации факторов. )'дз д.~ Рассмотрим вектор а = ~ —, — ). Тогда скалярное произ~дх' др) ведение вектора и на вектор 1 = 1соз гт, сов д) выражается формулой дз дз и l = — соз гт + — соз д.
дх ду Сопоставляя последнюю формулу с равенством (14.2), получим С другой стороны, а 1 = 1а( )1~ сов 9з, где у — угол между векторами и и 1. Это скалярное произведение имеет максимальное значение при соз Чз = 1, т. е. при у = О. Таким образом, наибольдз 1« дз дя'1 шее значение — достигается в направлении 1 = ~ —, — ). д) ~,д с др) (дз дз 1 Вектор с координатами ~ —, — ), характиризующий на- 1,д*' д ): правление максимального роста функции з = 1(х,д) в точке Мв(хо, уо), называется градиентом функции з = )'(х, д) в этой точке и обозначается нгаг) а или ~7з.
Градиент совпадает с нормалью к линии уровня ) (х, у) = = соней в точке Мв. Понятие «градиепт» Дж. Максвеллом; ему же принадлежит и обозначение йгаг). Оно происходит от латинского слова ига«)юг (градиор)., означающего «расти» (или от латинского слова йгайепбз (градиентис), означающее «шагающий»). Обозначение з7 перевернутую греческую букву Ь (дельта) .— придумал Р.
Гамильтон. Этот значок теперь называют «набла» (из-за сходства с остовом древнего музыкального инструмента наблы). МАКСВЕЛЛ 1Мактге1!) Джеймс Клерк 11831 — !8Т9) — английский физик, создатель классической электродинамики, один из основателей статистической физики, способствовал формированию вектороного исчисления в виде отдельной математической дисциплины. Стал членом Лондонского короленского оби1естзза в 29 лет. Ц.8.
Чосчнные пронзеодллые высших порядное 296 ГАМИЛЬТОН (Натлвоп) Уильям Роуан (1805 — 1865) — ирландский математик и астроном, член Ирландской королевской Академии наук. В 22 года — профессор астрономии в Дублиллском университете и директор университетской астрономической обсерватории.
В его работах дано точное формальное изложение, теории комплексных чисел. В механике Гамнлллон применил вариациовный метод (так наэываомый принцип наименьшего действия). Итак, градиент характеризует направление наибольшей скорости изменения функции. В этом состоит мгхатлллческизл смысл градиента. С геометрической точки зрения градиент выражает направление наибольшего наклона графика функции, а с экономической— такую линейную комбинацию факторов х и у, при которой наблюдается наибольший выход продукции на единицу этого состава. Производная функции г = ) (х, у) в направлении ( и градиент связаны соотношением дг — = нгадг (. д( 14.8.
Частные производные высших порядков Часплными производными влпорого порядка называют частные производные, взягые от частных производных первого порядка: дев д (гдзч~ и дгз д ('дачл ду~ ду 'хду) дзг д ('дг ч~ дхду ду л,дх) д'г д (гдг ~ п ( д г д г Обозначение . читается «дэ зет по дэ икс квадрат», а дх дх ду читается «дэ зет по дэ икс дэ игрекм Га. Ц. Частные производные 296 Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков.
Запись сзаз я ая -ь означает, что функция 2 продифференцирована Й раз по переменной х и п — Й раз по переменной у. Частные, производные 2,"„и 2'„' называются смешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны. 7 Пример 1. Найти вторые частные производные функции 2 = хв+ 5 хе д2+ 6хд+ 5. Убедиться в том, что 2,".„= еп .
Решение. Вначале находим первые частные производные данной функции; е 1 3+10 2+6 г„= 10х у+бх. Дифференцируя каждую из полученных производных по л и по у, находим вторые частные производные данной функции: в~~, =12ш2+ 10у е".р — — 20 ш у + 6, 2„„= 10л, = 20ш у+ 6. Смешанные частные производные равны: 2" „= 2„"„= 20 х д + 6. а Задача 1.
Найти смешанные частные производные функции 2 = хз у2 + х сйп у и показать, что они равны между собой. Ответ: 2",.„= 2", = бааз у+ сову. 14.9. Производная неявной функции от одной переменной В социально-экономических исследованиях часто возникает ситуация, когда значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое, если все члены перенести налево, Ц.У.
Произеодная неявной функции от одной переменной 297 в общем случае имеет вид (14. 3) Е(т, у) = О. Здесь Е(х, д) есть функция двух переменных, заданная в какой- либо области. Если для каждого значения х из некоторого промежутка существует одно или несколько значений д, которое совместно с х удовлетворяют уранению (14.3), то этим определяется, однозначная или многозначная, функция д = 1 (х), для которой равенство (14.4) Е(х, 1(х)) = О имеет месго уже тождественно относительно х. Рассмотрим, например, уравнение х~+ д~ — 1 = О.
Уравнение определяет двузначную функцию от х в промежутке ( — 1, Ц, а именно д Д Если вместо у подставить эту функцию в уравнение (14.3), то получится тождество. Здесь удалось найти для у очень простое аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях. Однако так обстоит дело пе всегда. Например, если взять уравнение д — х — в в!пд = О (О < в <!), то этим уравнением переменная д не выражается в конечном виде через элементарные функции от х.
Функция у = д'(х) называется неявной, если она задана посредством неразрешенного (отпосительно у) уравнения (14.3); она становится явной, .если рассматривается непосредственная зависимость д от х. Ясно, что эти термины характеризуют лишь способ задания функции у = д" (х) и не имеют отношения к ее природе.
В простейшем случае, когда уравнение (14.3) -" алгебраическое, т. е. когда функция Е(х, у) есть полипом относительно т и у, определяемое им неявная функция у от т, (вообще многозначная) называется алгебраической. Если степень уравнения (относительно у) не выше четырех, то алгебраическая функция допускает явное выражение в радикалах; при степени выше четырех такое выражение возможно лишь в виде исключения. рл. ц. Частные производные 298 Полезна следующая Теорема. Пусть для функции Р(х, у) выполнены следующие условия: 1) Г(х, у) опрсделена, и непрерывна, в прямоугольнике О = [хо ~,зев+ ~'уо ~ уо+ ел! с центром в точке (хо, уо); г) частные производные Г' и г существуют и непрерывны в 1д; 3) Р(хо,уо) = и: 4) производная Р'(хв, уо) отлична от нуля.
Тогда в некопсорой окрестности точки (хв, ув) уравнение (14.3) определяет у как однозначную функцию у = 1 (х), которая имеет непрерывную производную у'; при х = ха зта функция принимает значение ув. Теорема однако не дает представления о способе вычисления производной от неявной функции у' . А это очень важно в социально-экономических исследованиях, так как использование производной позволяет более дечильно исследовать функцию: определить интервалы ее возрастания и убывания, найти точки минимума и максимума.
Поэтому ниже приводится простой прием, с помощью которого можно легко находить производную от неявной функции. Пусть выполнены условия теоремы. Согласно опредолению неявной функции у = д" (х) удовлетворяет уравнению (14.3). Левая часть этого уравнения представляет собой сложную функцию от х, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная ее по х также есть нуль. Воспользовавшись формулой (14.1) дифференцирования сложной функции., получаем + . — + дх дх дх ду дх дх ду дх Так как производная правой части (14.3) равна нулю, а производная левой части равна —, то имеем дх дР' де' ду — + —, — '=О, дх ду дх или, в других обозначениях, [14. 5) Ц.У. Производная неявной функции от одной переменной 299 откуда (так как д'„' ~ 0) имеем П (14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
