Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Простейшим типом является уравнение дп = Пх), (18.5) допускающее понижение |юрядка. Одно из уравнений этого типа уже было решено в примере 1. Покажем, как такое уравнение решается в общем случае. Правая часть уравнения (18.5) не содержит функции у и производ- 1 ной д~.
Известно, что ун = (д~) = — '. Следовательно, данное йх Геомеепричсский смысл этой теоремы заклю шнгся в том, что при выполнении условий теоремы через заданную точку (хо, уо) на координатной плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом до ее касательной. Условия (18.4) называются начальными условилмщ а задача отыскания решения уравнения (18.3) по заданным начальным условиям (18.4) называется задачей Коши. Общим релиением дифференциального уравнения второго порядка (18.3) называется функция 18.1.
Овновпме понлшил 371 уравнение можно записать так; —,=йх), пд дх или дд' = 1(х) дх. Интегрируя последнее уравнение, получим д = 1(х) дх. Интегрируя еще раз, получим общее решение уравнения (18.5): д = 1(х) 0х пх. '7 Пример 2.
Найти частное решение уравнения д" = бх+япх, удовлетворяющее начальным условиям: д(0) = 2, д'(0) = 3. Решение. Так как д = —, данное уравнение можно запи- Ь' сать так: в',х дд' — = бх+япх, Йх или г1д' = (бх+ яп х) г1х. Интегрируя, получим д = 3х — совх+ С1. (18.6) Тогда дд = (3 х~ — сов х+ С1) дх. Интегрируя еще раз, получаем общее решение д = х~ — вшх+ С1 х+ Ся Используем начальные условия.
Подставив в общее решенно х = 0 и д = 2, получим Сз = 2. Подставив в (18.6) х = 0 и д' = 3, будем иметь 3= — 1+С, 372 ра. 1а. днфференинальные гдггаанення выгааега нарядна откуда С1 =4. Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее за- данным начальным условиям, имеет вид = хз — вгп х+ 4х+ 2. Геометрически найденное частное решение выражает собой интегральную кривую, которая проходит через точку Мо(0, 2).
Кроме того, касательная, проведенная к этой кривой в точке Мо, образует с положительным направлением оси Ох угол, тангенс которого равен 3. Задача. Найти общее решение уравнения д = х+совх. Ответ: — х — сов х + С1 х + С2. 6 Теорема существования и единственности решения задачи Коши обобщается и на уравнения более высокого порядка. А именно верна соедугощая Теорема 2 (существования и единственности).
Если правая часть уравнения д'"' = ~(х, у, у', ", гд'" 1' нерерывна в некогпорой окрестношпи начальной точки ( (гь — Н'1 *оуоуо" уо и имеет непрерывные в этого окрестности частные производ ные у, уг, .,.угп Ц, то оно имеет единственное решение у = у(х), удовлетворяющее ггачальным условиям гн ц (н-Ц д = до д = уо ". у = до при х = хо. 78.2. Линейное даа>ререпциальное уравнение второго порядка 373 18.2. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка Линейным дифференциальным уравнением втпорого порядка называется уравнение вида (18.7) где р(х), Ч(х), 1(х) — функции переменной х. Если 1(х) ф О.
то уравнение (18.7) называется неоднородным. Если 1(х) = О, то уравнение (18.7) принимает вид ,, + р(х) — + Ч(х) д = О (18.8) и называется однородным. Если в уравнениях (18.7) или (18.8) коэффициенты р(х) и Ч(х) постоянные, соответственно равные р и Ч, то полученные уравнения: дп+ру'+ЧУ=6 ) дп+ рд'+ Чд = О (18.9) (18.10) называются линейными дифференциальными уравнениями вто- рого порядка с постоянными коэффициентами. Теорема 1. Сумма двух решений однородного линейного уравнения (18.8) тпкэн>е есть решение этого уравнения. » Предположим, что д>(х) и У2(х) решения уравнения (18.8); зто означает, что имеют место тождества; д> + р(х) у~> + Ч(х) у> = О, у2'+ Р(х) у2 + Ч(х) у2 = О.
Складывая почлепно зти тождества, получаем (у> + уг) + Р(х) (у> + у2) + Ч(х) (у> + у2) = О. Это означает, что функция (у> + У2) удовлетворяет уравнению (18.8). ° Теорема 2. Если у> .. ре>пение линейного однородного уравнения (18.8) и если> С> — произвольная е>остоянная, п>о С> у> такэхе есть решение э>ного уравнения (18.8). 374 рл. 1о. диуьференниальные уравнения выьааего норяьгна П Найдем первую и вторую производные функции Сь уь.
(С, д,)' = С, у'„(С, д, )о = С, д",. Подставив функцию Сь уь в левую часть уравнения (18.8) и воспользовавшись тем, что уььь + р(х) дь1 + ь1(х) уь = О, получим (Сь уь)ьь + р(х) (Сь уь) + д(х) (Сь дь) = = Сь д",+ р(х) С1 дь1+ ь?(х) Сь уь = = Сь (уь'+ р(х) у', + ьь(х) дь) = Сь О = О. Это означает, что функция Сь уь удовлетворяет уравнеььик> (18.8). ° Из двух доказанных теорем вытекает Следствие. Если уь и дг решения линейного однородного уравнения (18.8), то Сьдь и Со до — решения этого уравнения, следовате.льна, и выраэьсение у=С у +С у есть решение этого уравнения.
В дальнейшем нам понадобятся понятия линейной зависимости и независимости функций. Две функции дь и уа называются линейно зависимыми, если их отношение — 'г является постоянной величиной. В противном дь случае функции уь и уа называются линейно независимыми,. Например, функции дь = х, до = Зх линеймо зависимы, а. функции уь = х, уг = х + 1 линейно независимы.
От того, линейно зависимы или линейно независимы функ- ЦИИ дь И до, ЗаВИСИт ОтВЕт На ВОПРОС: ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ФУНКЦИЯ д = = Сь уь+ Сг уг общим решением уравнения (18,8)? Верна следующая ТЕОРЕМа 3. КСЛи дь и до — ЛиНЕйПО НсэаоиеиМЫЕ РЕШЕНим линейного однородного дифференциилъного уравнения (18.8), то функция , 'Уодн Сь У1 + Сг Уь является общим релиением этого уравнения.
го.2. Линейное дифференциальное уравнение вгнороео нарядна 37а у Пример. Найти общее решение уравнения уо — Зу'+2у = О, если известно, что уг = е~ и уз = еае частные решения этого уравнения. Решение. Данное уравнение является линейным однородным. Так как уг е* уг е* пе является постоянным числом, то эти решения являются линейно независимыми. Поэтому у(х) = Сг е + Сз е~*, где Сг и Сг — произвольные постоянные, является общим решением уравнения. А Что касается решения неоднородного уравнения (18.7), то имеет место следующая Теорема 4. Общее решение уравнения (18.7) равно сдлглге общего решения соотвегпствующего однородного уравнения (18.8) и какого-нибудь частного решения данного уравнения (18.7). Если у„д„— — Сг уг (х) + Са дз(х) есть общее решение уравнения (18.8), а у есть какое-ггибудь частное региение неоднородного гуравнения (18.7), то есть обшее.
решение неоднородного уравнения (18.7). Таким образом, чтобы найти общее регпение линейного неоднородного уравнения второго порядка, надо предварительно найти общее решение соответствующего уравнения без правой части и прибавить к нему какое-нибудь частное решение заданного уравнения, С другой стороны, чтобы найти общее решение однородного уравнения, надо иметь два частных линейно независимых решения этого уравнения. Для случая, когда р(х) и д(х) не являются постоянными числами, нахождение таких частных решений весьма сложная задача.
Сравнительно легко найти такие решения, когда р и г7 -- посгоянные числа. то.3. Линейные однородные уравнения впторого порядка с ... 377 независимого с первым, зависит от вида характеристического уравнения. При решении характеристического уравнения могут встретиться три случая: корни характеристического уравнения действительные и различные, корни равные, нет действительных корней. Справедлива следующая Теорема. 1. Пусть характеристическое уравнение (18.12) уравнения (18.10) имеет дейсптвительные корни А~ и йг, причем йт ф 1гв. Тогда общее решеттие уравнения (18.10) имеет вид где Ст и Са — некоторые числа.
2. Если характпе7тистпическое тутравнетттге (18.12) имеет тполько один корень 1, то общее реигсттие уравнения (18.10) имеет вид где Ст и Сг —. некоторые числа. 3. Если характеристическое уравнение (18.12) не. имеет действительных корней, то общее рвогснис уравнения (18.10) имвстп вид г = — гтг, г= от-пттт, с, ° с, р П Пусть корни характеристического уравнения (18.12) действительные и различные, т. е. кт ~ кг. Тогда ут=ет и уа=ег' йт г ага являются линейно независимыми решениями, так как они удовлетворяют уравнению и — = — = ст ' П* ф сопв$. ут в' Отсюда и из теоремы 3 п. 18.2 следует, что общее решение уравнения (18.10) имеет вид у = Ст е ' * + Сг е ' Таким образом, для случая, когда характеристическое уравнение имеет два действительных корня, теорема доказана. Для двух других случаев теорема доказывается аналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
