Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Естественно полагать, что сила йв сохранения по величине пропорциональна скорости — и направьй дз \ лена в противоположную сторону гг = — г — (. Коэффициент г ьй будем называть козффььциеньььояь сохранения. Используя закон Ньютона та=гь+гг и аналогию с пружинным маятником, получаем дифференциальное уравнение отклонения з(ь) рыночной цены товара от ее естественной цены: д в аьв йг й где т выбрано равным единице. Обозначив — через 6, а ив — через иге ь где б — коэффициент г /— 2 затухания, а ые циклическая частота свободных колебаний в отсутствии силы сохраььеыия. В новых обозначениях уравнение колебаний имеет вид зн(1) + 2 б з'(1) + иьвг з(2) = О. По аналогии с пружинным маятником получаем, что возможны три случая: 1.
Если д > иьв, то имеет место непериодическое затухание: З(1) СЬЕ о +Сгв о -(3+Чудо-мог) Ь -(д-Фг ыо) Ь ') Там же, е. 58-59. 384 Гл. 18. Дн4гференчнальные уравненнл вышнего парадна Функция а(1) монотонно убываез с ростом 1. Система, выведенная из состояния равновесия, асимптотически, т. е. при 8 — > оо, возвращается в это состояние. 2.
Если д = шв, то также имеет место непериодическое затутание: о(2) = е ~' (С1 + Сз1). 3. Если 0 < 6 < шш то система совершает затуханпцие колебания: в(~) = Ав е ~' вш(ш1+ ере), где Ав и 4е -- постоянные величины, а ш = 1/юе~ — бв — собствен- ная циклическая частота колебаний.
а 7 Пример 3. Найти общие решения уравнений: а) дн+2у' — 15у= О:, б) ун — 10д'+ 25 у = 0; в) уа — 4д'+13д = О. Решение. а) Составляем характеристическое уравнение йа+ 2й — 15 = О. Корнями этого уравнения являются два действительных числа 1е1 = — 5 и йв = 3. Поэтому общее решение имеет вид у = С~ с ' + Сз е *. б) Составляем характеристическое уравнение й~ — 10 й + 25 = О. Решая это уравнение, получим /е1 = йз = 5. Так как корни равные, то общее решение у = (С1 + Сз ш) ев*. в) Характеристическое уравнение к~ — 41+13 = 0 не имеет действительных корней. Вычисляем соответствующие и =-гд=г~г=г, г=гег-р'1~=,/и-и~~ =г 18.Х Линейные однородные рравненил вгаороео аорлдка с ...
38й Отсюда получаем общее решение; у = е (С1 совЗх+ Св в|в Зх). А Задача 1. Найти общие реп~ения уравнений: а) ун + 2 у'+ 2 д = О, б) ун+4д = 0; в) ун+4у'+4д =О. Ответ: а) у = е *(С1 совх+ С2 вшх). Если х — время, то эта функция описывает колебания отклонений у рыночной цены от ее естественного значения. Колебания являются затухающими. При х — > оо отклонение от естественной цены стремится к нулю; б) д = С1 сов2х+ Со в1п2х.
Функция описывает колебания отклонений рыночной цены от ее естественного значения в момент времени х. Колебания являются незатухающими. При х — э со отклонение у(х) не имеет предела. Рыночная цена постоянно колеблется вокруг естественной цены; в) у = (С1 + Со х) е ~е. Функция описывает постепенное понижение рыночной цены. При х э оо отклонение от естественной цены стремится к нулю. Ч Пример 4. Найти частное решение уравнения да+ 4д'+4у = О, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 4, у'(0) = О. Решение. Общее решение искомого уравнения имеет вид д=(С~+Свх)е ~ Воспользуемся начальными условиями для определения произвольных постоянных С1 и Со. Находим производную общего решения: д~ = — 2 С1 е в + Св е ~ а — 2 Св х е Подставив х = 0 и у = 4 в общее решение, получим С1 = 4. Подставив х = 0 и у' = 0 в найденное выражение для у', получим 0=2С,+С„ откуда Со = 8.
13 я. и Антонов 386 гя. 18. Дифференииаяьные драонения аыьиаего порядка Следовательно, д=4е 2г+8те есть искомое частное решение, удовлетворяющее заданным на- чальным условиям. А Задача 2. Найти частное решение уравнения дн — 5д' = О, удовлетворяющее начальным условиям д(0) = 1, д'(О) = — 5.
Ответ: д = 2 — е 18.4. Линейные неоднородные второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти общее ре1пение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (18.13) (18. 14) и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (18.13). Если Чодн С1 д1(т) + С2 д2(а) есть общее решение уравнения (18.14), а д -- какое-нибудь част- ное решение неоднородного уравнения (18.13), то общее решение выражается формулой (::) д = дода+ д.
(18. 15) Метод неопределенных коэффициентов. В предыдущем параграфе рассмотрен способ нахождения общего решения уравнении (18.14). Следовательно, остается указать способ Напомним, что общее решение неоднородного уравнения (18.13) равно сумме общего решения соответству1ощего однородного уравнения 78.1. Линейные неоднородные второго порядка 387 нахождения какого-либо частного решения заданного уравнения (18.13). Рассмотрим способ отыскания частного решения методом неопределенных коэффиииептов. Этим методом можно пользоваться в нескольких случаях.
Рассмотрим случай, когда функция 7'(х) из правой части (18.13) представляется в виде где Р„(т) -- многочлен и-й степени. Теорема 1. Если т не явэгяепгся корнем характеристического уравнения Ю'+рЮ+у =О, то частное решение уравнения (18.13) имеет вад Е:":::Л у = е™м Я (х), где Ян(х) — многочлеп и-й степени с неопределенными коэффициентами,. Если т -- корень характеристического;уравнения Йд + р й + в = О, то частное решение уравнения (18.13) имеет вид где г = 1 или 2, смотря по тому, совпадает, т с одним иэ корней характперисгпического уравнения и и эчсе с каэесдым иэ двух равных корней характеристического уравнения. й Пример 1.
Найти общее решение уравнения уо — 7д'+10у = 4е е. Решение. Находим общее решение уравнения без правой части уо — 7д'+ 10 = О. Характеристическое уравнение й~ — 71+10 = 0 имеет корни /е1 = 2 и йз = 5. Общее решение однородного уравнения таково: ае 5е д„н = С1 е + Сз е 888 Га. 18. Дифференииааьные дравнениа вышнего парадна Рн(х) = 4 многочлен нулевой степени, т. = 3 не совпадает ни с одним из из корней характеристического уравнения. Поэтому частное решение д следует искать в виде А е а, т. е.
д —,4 ГЗа где Л неопределенный коэффициент, который нужно найти. Дифференцируя это равенство, находим: — -о 9,4 За д =, е ', д = е Подставим д, д' и д ' в левую часть исходного уравнения и определим значение коэффициента А; 9Аела — 21Ае а+10Ае * = 4езг; 2Л=4; Следовательно, частное решение д = А ел* = — 2езг, а общее решение д = С1 е а + С2 ел* — 2 е * а Ч Пример 2. Найти общее решение уравнения ди — д' — 6д = 12 х2 — 2 х+ 1. Решение. Находим общее решение однородного уравнения ди — у~ — бд =О.
Так как характеристическое уравнение к2 — 1: — 6=0 имеет корни а1 = — 2 и Й2 = 3, то общее решение однородного уравнения -2а За д,„и =С1е +СЗе В правой части заданного уравнения е™* = е " = 1. поэтому т = О. Число нуль не является корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение д заданного уравнения следует искать в виде многочлена второй степени, т. е. у=Ах2+Вх+С.
Дифференцируя это равенство, находим д и д': д'=2Ах+В; да=2А. 18.ф. Лняейные неоднородные второго порядка Подставив д, д' и дл в левую часть заданного уравнения, получим равенство; 2А — 2 Ах —  — 6 Ах~ — 6 Вх — 6С = 12х~ — 2х-Р 1, или — 6Ат~+ ( — 2А — 6В) х+ (2А —  — 6С) = 12тг — 2х+ 1 Выбираем неопределенные коэффициенты А, В и С так, чтобы последнее равенство стало тождеством. Для этого приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х.
В результате получаем сисгему трех уравнений с тремя неизвест- нымиА, ВиС. Решая систему — 6А =. 12, — 2А — 6В = — 2, 2А —  — 6С=1, находим, что А = — 2, В = 1, С = — 1. Следовательно, частное решение имеет вид 2 д= — 2х +х — 1, а общее д = Сг е ~в+ Свези — 2х~+ х — 1. а Ч Пример 3. Найти общее решение уравнения дл — 2д~+д = хе*. Решение.
Характеристическое уравнение й~ — 2 к+1 = 0 однородного уравнения имеет двойной корень Поскольку 1(х) = х ех и т = 1 совпадает с корнем характеристического уравнения, а Р„(х) .-- многочлеп первой степени, то частное решение заданного уравнения есть функция д = т е'(Ах+ В) = е*(Ахв+ Вх~). зчо рл. 18. дифференциальные уравнение вывшего норадна Вычислим у' и у": у' = е*(Ах~+ Вх2) + с*(ЗАх2+2Вх) = = е (Ахв+ Вх2+ЗАх~+2Вх); „и .(А з+Вх2+3 ~х2+2Вх)+ + с*(3Ах2+2 Вх+ 6Ах+ 2В) = = е* (Ах~+ (В+ 6А) х2+ (4 В+ 6А) х+ 2 В). Подставляя эти значения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение, получим еа (4хэ+ (В+ 6 4) х2+ (4 В+ 6 А) х+2 В)— — 2еа (Ах~+ Вх~+ЗАх~+ 2Вх) + е '(Ахв+ Вх2) = хе*, откуда А х~ + В х~ + 6 А х~ + 4 В х + 6 А х + 2  — 2 А хз— — 2 Вх2 — 6АхЯ 4Вх+Ахз+ Вх2 сократив, имеем 6Ах+2В = х., т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
