Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 60
Текст из файла (страница 60)
14 Я. М Аятяпоя ! я. йО. Равнвенгные уравнения 20.2. Решение разностных уравнений Решение разностного уравнения первого порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение (20.3) дг — а дг 1 = !'(!). Соответствующее однородное уравнение есть (20.4) дг — а дг 1 = О. Проверим, будет ли функция д 1 одн — а решением уравнения (20.3).
Имеем г — 1 дг — 1 одн — а Подставляя в уравнение (20.4), получаем а — ааг 1=а — а!=О. Следовательно, дг „„= а' есть решение уравнения (20.4). Общее решение уравнения (20.4) есть функция Е:::=:Л дг одн где С - произвольная постоянная. Пусть д, частное решение неоднородного уравнения (20.3). Тогда общее решение разностного уравнения (20.3) есть функция Найдем частное решение разностного уравнения (20.3), если ! (!) = с, где с — некоторая постоянная.
Будем искать решение в виде постоянной гн. Имеем дг — — Ш, Подставив эти постоянные в уравнение д,— ад,, =с, получаем т — ага=с, откуда с Ш= ! — а У0.2. Решение розностссых уровнессий Следовательно, общее решение разностного уравнения ус — асус с = с есть У Пример 1. Найти с помощью рвзностного уравнения фор- мулу прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под р % годовых.
Решение. Если некоторая сумма дв положена в банк под сложный процент р, то к концу года 1 ее размер составит = (1 + †,'„„) .— Это однородное разпостное уравнение первого порядка. Его решение где С некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям. Если принять дв = А, то С = А, откуда Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк под сложный процент.
и Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка Ус + Р Ус — с + Ч Ус — 2 = 1(с) (20.5) и соответствующее однородное уравнение (20.6) Если сс ф 0 является корнем уравнения (20.7) то функция сус олн = к ! л. УО. Равноен~ные уравнения 420 есть решение однородного уравнения (20.6). Действительно, подставляя й ' в левую часть уравнения (20.6) и учитывая (20.7), получаем Ю'+ р!.'-'+ уИ'-' = И'-'(1,"+ рИ+ у) = 0.
Таким образом, если й корень уравнения (20.7), то !е' решение уравнения (20.6). Уравнение (20.7) называется харвктеристическила уравнением для уравнения (20.6). Если дискриминант р — 4д характеристического уравне- 2 ния (20.7) больше нуля, то уравнение (20.7) имеет два разных действительных корня й! и !ев, а общее решение однородного уравнения(20.6) имеет следующий вид: Общее решение неоднородного уравнения (20.5) таково: где у, -- частное решение неоднородного уравнения (20.5), а С! и Сз - произвольные постоянные, которые можно вычислить по начальным условиям, например, у(0) = уо, у(1) = уы Ч Пример 2.
Найти решение разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами уе — 5 уе-! + 6 уе-з = 7, удовлетворяющего начальным условиям У1 = 9. уо = 5, Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного разпостного уравнения таково: !д — 5й+ 6 = О. Корни уравнения й! = 2, йз = 3 действительны и различны. Следовательно, общее решение однородного разностного уравнения есть функция у! = С! 2'+ Сз3'. Предположим далее, что 1!! — — с есть частное решение неоднородного уравнения, тогда с — 5с+бе = 7, 80.3.
Решение розностных Нравнеьий откуда 7 2с=7 с= —,. Таким образом, общее решение заданного неоднородного уравнения есть функция 9, = Сг 2'+ С~3'+ —. 2 Постоянные С~ и Сз определяем по начальным условиям у~ = 9. уо = 5, Для 1 = 0 и 1 = 1 соответственно получаем 5=Сг2 +СвЗ + —, 9=Сг2 +СзЗ" + —. 2' 2 Решая систему уравнений < 3 Сг + Св = -', 2Сг + 3Сз = —, 11 находим Поэтому в итоге имеем ус= — 2 +-3 + —. А 5,, 7 2 2 Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование.
Анри Пуанкаре Глава 21 Применение аппарата дифференциальных и разностных уравнений в социально-экономической сфере 21.1. Естественный рост и задача Бернулли о кредитовании В природе и обществе встречаются многочисленные процессы, в ходе которых некоторые величины изменяются но следующему закону; в течение любого промежутка времени фиксированной длительности слс значение величины менлетсл в одно и то же число раз. Обозначим через т(8) массу колонии бактерий в момент времени ~.
Если нет ограничений в количестве питательных веществ и объеме сосуда и притом отсутствуют живые существа, поедающие эти бактерии, то за равные промежутки времени масса колонии будет возрастать в одно и то же число раз. Аналогично обстоят дела в любой совокупности живых существ нри условии, что нет ограничений в пище и в пространстве и нет истребляющих их врагов. Растение курослен трижды в год дает но 15 000 семян; следовательно от одного растения могло бы произойти более 15000з = 3375 миллиардов растений. Сельдь откладывает 30 000 икринок, кари — свыше миллиона, треска от 4 до 6 миллионов, солитер около 42 миллионов, аскарида приблизительно б4 миллиона.
Даже при медленном размножении какого-либо вида животных территория могла бы быть в сравнительно короткое время буквально наводнена им, если бы борьба за существование между видами не ставила предела этому распространению. Если бы это препятствие на какое-то время исчезло, мы наблюдали бы неслыханное размножение животных.
Расчеты 8!сп Ееагеетвенннй роепг и задача Бернулли о кредитовании 423 показывают, что потомство одной пары мух за два года при беспрепятственном размножении имело бы массу, превосходящую массу Земли. Известны случаи, когда некоторые виды животных и растений, попав в благоприятные условия, размножались столь быстро, что становились бедствием (саранча в Африке, кролики в Австралии, водяной гиацинт в США и т. д.). Процессы, в которых величина увеличивается за равные промежутки времени в одно и то же число раз, называют процессами естественного роста.
Сумма вклада в сбербанке за данный промежуток времени возрастает в одно и то же число раз (скажем, за год на 5 ггв). Эга сумма подчинена закону естественного роста. При распаде ядер во время цепной реакции образуются нейтроны. Чем больше свободных нейтронов в данном обьеме, тем чаще они сталкиваются с ядрами и тем больше новых нейтронов появляется. Процесс увеличения количества свободных нейтронов также представляет собой процесс естественного роста.
Если допустить, что значение величины у(1) меняется в одно и то же число раз не в течение промежутка фиксированной длительности 1л1, а мгновенно, то мы приходим к процессу, при котором скорость изменения величины и(1) в момент времени 1 пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Уравнение., описывающее этот процесс, можно записать так: о(1) = ну(1). Так как и(г) = у'(1), то получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: (21.1) Уравнение (21.1) называгот дифференциальным уравнением еппестоенного роста. Впервые его полу пгл Якоб Бернулли. Им же была решена следующая задача. г7 Пример (задача о кредитовании). Пусть заимодавец платит кредитору р % процентов от занятой суммы ув за год; сколько он должен уплатить за год на каждую единицу занятой суммы, если проценты нарастают непрерывно? Решение.
Поскольку проценты нарастают непрерывно, то скорость у'(г) изменения величины долга у(г) в момент времени 1 пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Следовательно, закон изменения долга описывается дифференциальным уравнением (21.1). 424 !"л. й!. Примепение дифференциальных и разноспаных уравнений ... Найдем общее решение этого уравнения. Разделяя переменные в уравнении (21.1), имеем — = йгй. у После интегрирования обеих частой находим 1п ~у! = )с ! + 1п С, откуда следует, что общим решением уравнения (21.1) является показательная функция у(!) = Сей .
Поскольку ежегодный прирост величины у(!) составляет р%, то скорость изменения величины составляет р/100 от у(!) и коэффициент к. = р/100. Кроме того, по условию задачи у(0) = уо. Поэтому сумма, которую заимодавец должен уплатить кредитору от занятых ув денежных единиц за ! лет., составит (21.2) От каждой единицы занятой суммы заимодавец обязан уплатить у(!) = ехр(рй/100). А за год эта сумма составит у(1) = = охр(р/100) денежных единиц.
а Уравнение (21.2) с й = р/100 может быть применено не только при изучении кредитования. Опо применяется всякий раз, когда скорость изменения некоторой величины у(6) прямо пропорциональна ее значению в данный момент времени 1, а ежегодный прирост равен р ус. 21.2. Рост населения Земли и истощение ресурсов Дифференциальное уравнение (21.1) было предложено Мальтусом в 1798 г, для прогнозирования роста населения Земли. Постоянная а в социальных и биологических науках именуется мпльгпузионским крэг)хрициенлеом лпнейногп роста. МАЛЫ''УС (Ма~йцв) '1омас Роберт (1 766-1834), английский экономист, основоположник мяльтузинанства, утверждавшего, что темпы роста населения значительно превышают темпы увеличения средств существования (их саотношение, в первоначальной формулиравкс Малти уса, вгиводилось из грависния геометрической и арифметической прогрессий).
В современных условиях проблемы, связанные с быстрым ростом народонаселения в развивающихся странах, служат основанием для периодического оживления модифицированных форм мат,тузиаиства. ВЬ2. Рост населения Земли и истоиСение ресурсов 428 С7 Пример (истощение ресурсов). В настоящее время для обеспечения пищей одного человека необходима площадь 0,1 га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
