Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 62
Текст из файла (страница 62)
ЬСие'' 1йп ), = 11т „, =6. >.»ее (1 ! С а ~) ~-»-»в» С и еа е Прямая у(Ь) = 6 является стационарным решением уравнения (21.6) и соответствует случаю 6(д) = а 1 — ) = О. Знау(1) 1 ь,) чит, для модели (21.6) объем выпускаемой продукции в единицу времени стремится к конечному значению 6 («взрыва» не происходит) . Модель Ферхюльста применяется и к другим социально-экономическим явлениям. Рассмотрим ее применение в сфере экономического роста. й Пример 2 (рост выпуска продукции в условиях конкуренции).
Найти закон роста продукции в условиях конкуренции и насыщаемости рынка. Решение. По условию задачи, происходит насыщаемость рынка. Согласно Ферхюльсту величина у(1) в условиях насыщаемости удовлетворяет дифференциальному уравнению (21.6). Поэтому рост продукции у(1) в условиях насыщаемости рынка будет также описываться уравнением Ферхюльста и соответствующее решение выражаться формулой (21.7). А ЬЧ.б.
Рост в сояиально-ононолсичесноп сфере с учетом насыщении 433 В и. 21.5 была описана модель Харрода — Домара, согласно которому экономика имеет устойчивый темп роста. В реальности происходит замедление темпов экономического роста. Так, если период с 1948 по 1973 г. был периодом быстрого экономического роста С!ПА, при этом ежегодные темпы производительности труда, например, составляли 2,43 ощ то с 1973 по 1983 г. производительность труда увеличивалась только на 0,75 % в год. Поэтому логистический рост более точно описывает развитие экономики, чем модель Харрода-Домара.
Ч Пример 3 (обеспеченность новым товаром). Найти закон обеспеченности новым необходимым товаром (удельный вес семей или людей, владеющих данным товаром) с течением времени. Решение. Спрос на необходимые товары с течением времени возрастает; сначала медленно, затем быстро и., наконец, снова замедляется за счет насыщения. Это значит, что скорость увеличения спроса прямо пропорциональнаобеспеченности и насьпцению товаром. Если Ь -- насыщенность товаром (предельное значение обеспеченности товаром), то зависимость обеспеченности от времени выражается дифференциальным уравнением (21. 8) с~ у т. е, скорость увеличения обеспеченности — ' пропорциональна 41 достигнутой обеспеченности у и необеспеченности (Ь вЂ” 9).
Легко заметить, что уравнение (21.8) является уравнением Ферхюльста, записанным в другой форме. я Ч Пример 4 (модель «социальной диффузииь). Определить как с течением времени меняется число сторонников некоторого новшества. Решение. Рынок информации, так же как и рынок товаров, подвержен насыщению. Поэтому число сторонников новшества изменяется согласно закону Ферхюльста. В определенный момент времени наступает насыщение и эффективность от рекламы и агитации снижается. Количество сторонников некоторого новшества с течением времени стремится к постоянному числу. я В социальных науках уравнение Ферхюльста используется для описания распространения в определенных социальных группах образцов поведения, моды, информации (рекламы), 434 !'л. У!. !!римепение дифференциальных и равностных уравнений ...
кулыурных новшеств. Правда, при изучении социальных групп, это уравнение чаще именуют уравнением Дж. Коулмена, который применительно к социальным группам уточнил смысл коэффициентов а и 6 из уравнения Ферхюльста. Он предложил следующее уравнение: где у число сторонников новшества в данный момент времени; 6 общая численность рассматриваемой группы; р! число контактов, завязываемых каждым сторонником новшества в единицу времени; гр — коэффициент, меняющийся от О до 1 и отражающий то, что не каждый контакт сторонника с не сторонником предполагает агитирование последнего, а также то., что не каждая агитация заканчивается успехом. Отметим, что эмпирические исследования ) подтверждают, что распространение сторонников новшеств изменяется согласно уравнениго Ферхюльста (Коулмена).
21.7. Выбытие фондов Рассмотрим теперь еще одну математическую модель, описывающую рост количества продукции у(!) на некотором предприятии, произведенной в момент времени !. В отличие от модели естественного роста, когда Й = сонэ!, и в отличие от модели Дж. Кьютеле"га (21.5), когда й = /г(р), будем предполагать, что коэффициент !с зависит от времени 1; !с = — а(!). (Знак «минус» означает, что фонды не увеличиваются, а выбывают.) Такое происходит, например, когда предприятие не вкладывает вырученные деньги в производство, и при этом с течением времени на предприятии происходит изнашивание оборудования и орудий труда, т.
е. происходит выбытие фондов. Тогда рост количества продукции д(!) па некотором предприятии, произведенной в момент времени ! описывается не уравнением (21.6), а уравнением (21. 9) Рассмотрим два случая. Первый, когда к(!) = О, и второй, когда Й(!) = 1. ') См., например, Со!етап Х о. !п«гог!псйоп со гпа«ьетайса! вос!о!оау. Х. Ул Ггее Ргеев о! С!епсое, !964. Ы.7. Выбытие фоидоо 1.
Пусть фонды в указанный промежуток времени не выбывая>т (к(1) = 0). Здравый смьпл подсказывает, что ввиду- отсутствия капиталовложений производство расти не будет, а ввиду отсутствия выбытия фондов оно не должно убывать. Таким образом, объем производства должен остаться на прежнем уровне. Так и происходит согласно дифференциальному уравнению д'(г) = О. Решением этого уравнения является произвольная константа д(1) = С.
Так как д(0) = дв, то д(х) = дв (рис. 21.3). Рис. 21.3. Графики функций д(1) = С и д(б) = до е 2. При постоянном выбытии фондов (например, при й(1) = 1) должно происходить падение производства. Решение соответствующего дифференциального уравнения дает именно это: — = — е!е; !и !д! = — 1+!и !С!; е!д У д(1) = дв е ' (убывающая функция). Соответствующий график приведен на рис. 21.3.
В социальных науках и страховом деле уравнением (21.9) пользуются для определения вероятности того, что лицо доживет до возраста б. Решением уравнения (21.9) при учете начального условия д(0) = 1 будет функция — ) Ь(0 бе д(1) =е о При составлении таблиц смертности для взрослого населения нередко пользуются формулой Макегима, согласно которой lе(1) = се + р е' ', ге > О, Д > О, -~ > О, где значение коэффициентов а, Д, у определяется условиями, в которых находится группа лиц, подлежащих изучению, и, прежде всего, социальными условиями. 466 !л. е!. !!рименение дыфференщиальныхи раенаетных драепени1! ...
Формула Макегама выражает то, что взрослый человек может умереть от причин, не зависящих от возраста, и причин, зависящих от возраста. При этом вероятность смерти растет с увеличением возраста в геометрической прогрессии. 21.8. Рост производства с учетом инвестиций Уравнение Дж. Кьютелета д(е) = н(д) д(!) исходит из замкнутости популяции и не учитывает миграции популяции, зависящей, вообще говоря, от д и !. Если изучается население страны, то эта модель становится неприемлемой. Учет миграции приводит к уравнению д (2) = !е(д) д(!) + и(1, д). (21.10) Здесь и(1, д) — величина, характериэун>п1ая миграцию. Она равна разности между количеством иммигрантов и эмигрантов. Если и(год) > О, то это означает, что количество иммигрантов в момент времени ! превышает количество эмигрантов. В моделях экономического роста уравнение (21.10) характеризует рост выпуска продукции с учетом внешних инвестиций и(1, д) > О.
Ч Пример. Государство решает перечислить в течении двух лет в только созданное предприятие и расширение его производства денежнук! сумму 20 тыс. условных единиц. При этом оно должно выбрать одну из непрерывных схем финансирования, изображенных на рис. 21.4: Первая схема. Перечислять каждый год по 10 тыс. у. е. Вторая схема. Перечислить в первый год все 20 тыс. у. е, и во второй год пе перечислять ничего.
(По оси ординат единице соответствует 10 тыс. у. е.) Рис. 21.4. Две схемы инвестирования сп8. Рост лроивнодствв с уносном иивестииив 437 Какую из двух схем инвестирования должно выбрать государство, чтобы предприятие выпустило больший объем продукции? Решение. Предприятие начинает с нуля и еще не в состоянии делать инвестиции.
Г1оэтому считаем, .что у(0) = О. Государство вкладывает в каждый момент времени 1 сумму в и(1) денежных единиц. Поскольку в нашей упрощенной модели предполагается, что с момента создания первые же денежные инвестиции позволяют выпускать предприятию свою продукцию, то количество выпущенной продукции д(1) в денежном эквиваленте выражается уравнением у (1) = и(с), у(0) = О. (21.11) 1. Для первой схемы инвестирования имеем и(1)=1, при 0<1<2, т. е. д'(1) = 1, д(О) = О., откуда Объем Уы выпущенной продукции за два года равен площади фигуры под графиком функции у(с).
Площадь этой фигуры, представляющей собой треугольник (рис. 21.5), равна 2: У1 = 0,5 2 2 = 2 (20 тыс. у. е.). 2. Для второй схемы инвестирования имеем: и(1) =2, п1)и 0 <1<1, и(1)=0, при 1<1<2, у(1) =2, у(0) =О, при 0 <1<1, у(1)=0 при 1<1<2, откуда 438 Рл. В!. Применение днрференциальныхи раенаетнмх Враепенип ... Рис. 21.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
