Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 61
Текст из файла (страница 61)
На земном шаре 4000 млн га пахотной земли. Поэтому население его должно быть., если не учитывать в будущем новых источников пищи, ограничено количеством 40000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения населения, если оно непрерывно растет со скоростью 1,8 % в году Решение. Согласно формуле (21.2), закон роста населения можно выразить следующим образом: д(2) = до ехр(р Х/100). За 1 = 0 возьмем 1999 год, когда население Земли составило 6 10 человек. Тогда „(с) 6 108 го,осос Ищем такое 1, чтобы д(1) = 40 10 . Тогда 40. 108 6. 108 о,оьэс откуда 9 о,оьу с 40 10 6.
10в Логарифмируя последнее равенство, имеем 0,0181 =1пбс667 = 1,897, откуда 1 — 105 лет. Итак, примерно в 2104 г. мир достиг бы предела насыщения, если бы сохранился темп роста населения. 1 Решение уравнения (21.1) выражается с помощью экспоненциальной функции е , которая очень быстро возрастает. График этой функции представлен на рис.
21.1. Рис. 21.1.!'рафик функции у = С е"* 426 !'л. 8!. !!рименение дифференциальных и разнветних уравнений ... Если ! растет в арифметической прогрессии, т. е. принимает возрастающую последовательность значений 1=2+1=3, 1=1+1=2, !=0+1=1, !=О, то соответствующие значения е" ' образуют геометрическую прогрессию 1, в'. й", где е! = е". Поскольку а > О, имеем е! > 1. Откуда следует, что е -+ +со при ! -+ +ос (вспомните восточную легенду о вознаграждении, потребованном изобретателем шахмат). Из решения этой задачи видно, что согласно модели Мальтуса население Земли растет очень быстро. Говоря о росте населения ученые употребляют термин адемографический взрыв!и Этот термин вполне уместен, поскольку рост населения описывается тем же дифференциальным уравнением, что и ядерный взрыв.
(Число распадов ядра при цепной реакции растет экспоненциально, .столь же быстро растет и выделяемая энергия: у(!) — ! +ос при ! -+ +со.) Таким образом, согласно Малыусу, человечество находится в ловушке . если оно не наладит регулирования рождаемости, то оно обречено на безработицу, голод и обнищание широких масс. 21.3. Рост денежного вклада в сбербанке Как было отмечено выше, денежная сумма на денежном вкладе в сбербанке подчиняется закону естественного роста. Поэтому функция (21.2) может быть использована для приближенной оценки накопившейся в сбербанке суммы.
7 Пример (рост денежного вклада в сбербанке). В какую сумму обратилась бы копейка в 2000 году, если бы ее положили в сберегательный банк в первый год нашей эры под 5 о годовых? Предполагается, что денежные реформы не проводятся, а приращение начисляется непрерывно. Решение. Так как скорость изменения денежного вклада сосгавляет 0,05 от накопившейся суммы, то коэффициент й = = 0,05.
Поэтому соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид д'(!) = 0,05 у(у). РЕШЕНИЕМ яВЛяЕтСя фуНКцИя д(!) = 1 Еи'6~'е. 428 Рл. Я. Прилеепение дифференциальных и разнветних уравнений ... При удвоении уровня цен будем иметь; 2 уо = у(1), 2 уо = уо ехр(р1/100). Найдем, теперь, количество лет 1, необходимых для удвоения уровня цен. Для этого выразим из последней формулы 8. В результате получим 100 !п2 р Поскольку 1п 2 — 0,7, можно принять, что й 70/р. Формула получена.
В числителе этой формулы стоит 70, так как 100 !п2 70. Если бы речь шла об утроении цеп, то в числителе соответствующей формулы стояло бы не 70, а 110., так как в этом случае имели бы 1= (100 !пЗ)/р, а 100 !п 3 - 110. А Задача. Сумма уо положена в сбербанк под 10 % годовых. Через сколько лет внесенная сумма возрастет в три раза, если приращение начисляется непрерывно.
Ответ: Через 11 лет. Заметим, что число денежных единиц всегда выражается целым числом. Поэтому изменение денежной массы является разрывной функцией от времени, и, казалось бы, при выводе правила величины 70 нельзя применить модель, основанную на понятии производной. Но при достаточно большой денежной массе эту разрывную функцию можно с достаточной точностью приблизить дифференцируемой функцией (экспонентой). Сделанная при этом ошибка оказывается малой. Поэтому инфляционные процессы довольно точно описываются уравнением естественного роста.
21.5. Рост выпуска дефицитной продукции '7 Пример (модель естественного роста выпуска). Найти закон роста выпуска дефицитной продукции в условиях непасыщаемости рьшка. йнб. Рост выпуска дефицитной продукции Решение. Обозначим через у(1) количество продукции, произведенной в момент времени 1. Будем предполагать, что продукция продается по фиксированной цене р и моментально реализуется. Тогда в момент времени 1 доход составит р у(1).
Поскольку предприятие получает прибыль от реализации своей продукции в течении долгого времени, то ему выгодно расширять производство. Пусть на инвестиции г(с) в производство расходуется т-я часть указанного дохода, т. е. (21. 3) г(г) = — у(с). В результате расширения производства будет получен прирост дохода, т-я часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска, причем скорость выпуска у'(1) пропорциональна увеличению инвестиций, т.
е. (21.4) у (1) = а 1(1). Подставив (21А) в (21.3), получим дифференциальное уравнение естественного роста у'(1) = йу(1), й = ар)т. Решением его является зкспоненпиальная функция у = Сей, которая показывает как быстро можно добиться огромных объ- емов выпуска дефицитной продукции, если постоянно направлять часть дохода в расширение производства. а, Харрод и Домар считали, что можно добиться устойчивого роста не только объемов выпуска дефицитной продукции предприятия, но и также всей мировой рыночной экономики. Харрод считал, что устойчивый темп роста производства обеспечивается естественным ростом населения и естественным ростом производительности труда.
Третьим фактором роста Харрод считал размеры накопления капитала, норма накопления которого должна быть постоянной. ХАРРОД (Наггод) Рой (1 900- Е978), английский экономист. Сочинения по проблемам экономического роста, тЕории денег, междуиарадной торговли, валютной системы. ДОМАР (Оотпаг) Евсей Дейвид (р. 1014), американский экономист. Сочинения по теории экономического роста. 430 !л. х!. !!рилеенение дифференциальных и равнветнмх уравнений ... Мы рассмотрели пять примеров социально-экономических процессов задачу о долге, рост населения, рост денежных вкладов в банке, инфляционные процессы, естественный рост выпуска продукции. Математической моделью всех этих процессов служит уравнение вида у~1!) = а у1!). В первом случае применение дифференциального уравнения позволяет увидеть как быстро растут невьшлачиваемые долги, во втором использование этого уравнения позволяет понять будущие проблемы человечества, связанные с вдемографическим взрывомь, в третьем почему возникают денежные реформы, из четвертого примера становится понятным правило величины 70 и инфляционные процессы, из пятого как быстро можно добиться больших обьемов выпуска продукции в условиях постоянных инвестиций в производство и ненасьпцаемости рынка.
21.6. Рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения В соответствии с законом Мальтуса (21.1) численность населения должна расти эксноненциально, что не всегда справедливо, ибо не согласуется с реальностью. Хотя имеющий в настоящее время место «демографический взрыв» представляет собой серьезную опасность для человечества, дифференциальное уравнение (21.1), разумеется, слишком упрощенно изображает реальную ситуацию, и его решение далеко от истинного течения процесса. При использовании моделей естественного роста в социальных науках надо иметь в виду, что темпы роста, описываемые первоначально экспоненцнвльной функцией, в дальнейшем замедляются, наступает период насыщения.
Экстраполяция этих показателей при условиях естественного роста часго приводит к заведомому абсурду. Например, рост числа научных работников в индустриально развитых странах в недавнем прошлом описывался экспоненциальной функцией. Экстраполяция привела бы к тому, что уже в ближайшие десятилетия численность научных работников должна была бы превзойти население страны. Для преодоления противоречия с реальностью необходимо принять во внимание эти факторы и соответствующим образом модифицировать модель роста. Дж. Кьютелет предположил, что к в уравнении (21.1) должна быть не постоянной, а убывающей функцией, зависящей от д(!): е1.6.
Росоь в социальяо-ваонольичесаой сфере с учетом насьььиеяил 431 На основании этого в 1836 г, его ученик Ферхюльст предложил использовать для роста населения уравнение (21.6) т. е. считать, что й(у) =а, 1 — У у Пример 1 (рост населения Земли с учетом насыщения). Определить как будет меняться рост населения Земли п(1) в условиях насыщения. Решение. Согласно Ферхюльсту величина у(1) в условиях насыщения удовлетворяет дифференциальному уравнению (21.6). Решим это уравнение. Разделяя переменные в уравнении (21.6), находим или — + с!р = а с!с. Проинтегрировав это соотношение, имеем 1п !д! — !и !Ь вЂ” д! = о1+ !и !С), т.
е. = Сеас Ь-у Отсюда получим, что (21.7) Таким образом, рост в условиях насыщения описывается функцией (21.7). А График функции (21.7) называется логисгпической кривой. Он изображен на рис. 21.2. Из этого рисунка хорошо видно, что при малых 1 логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших 1 432 Гл. Я. Прил««пение дифференциал»ных и ревностных уравнений ... 6 Се' Рис. 21.2. График функции у(1) = 1+ Се'' характер роста меняется, темпы роста замедляются. При 1 — э +ос кривая асимптотически приближается к прямой у = 6, поскольку Ь С е' ( оо ') !пп д(1) = 1пп ~ — н-в»' ~ — »«-вв 1+ Се' ~со/ (ЬСе"') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
