Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Объем выпущенной продукции по двум схемам инвестирова- ния Объем Уз продукции, выпущенной за два года по второй схеме инвестирования, равен площади трапеции (рис. 2!.5). Стало быть, Уз = 3 (30 тыс. у. е.). По второй схеме инвестирования предприятие выпустит продукции на общую сумму на 10 тыс. у. е. больше. Таким образом, вторая схема инвестирования выгоднее. А Пример показывает, что предприятия в период становления нуждаются в поддержке государства больше, чем в более поздний период. Задача 1. Государство решает перечислить в течении двух лет в только созданное предприятие и расширение его производства денежную сумму в 10 условных единиц.
При этом оно должно выбрать одну из непрерывных схем финансирования: иЯ = 51 или п(1) = 10 — 51. Какую из двух схем инвестирования должно выбраты осударство, чтобы предприятие выпустило болыпий объем продукции? Ответ: вторую. Объединим две последние модели . модель выбытия фондов и модель роста производства с учетом банковских инвестиций. Пусть предприятие производит нужную для государства продукцию.
Как и в модели выбытия фондов, будем предполагать, что на предприятии происходит быстрое изнашивание оборудования и орудий труда и само предприятие не вкладывает вырученные деньги в производство (Й = — Й(е)). Денежные вложения в производство осуществляет лишь банк. Причем, в момент времени 1 поток капиталовложений составляет и(е) условных единиц и мгновенно преобразуется в расширение производства. я.8. Рост производство с учетом инвестиций Тогда стоимость продукции д(с) на некотором предприятии, произведенной в момент времени 1, описывается уравнением (21.12) Дифференциальное уравнение (21.12) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Знание его экономического смысла позволяет часто предугадывать свойства решения только по виду уравнения. Действительно, например, пусть задано линейное дифференциальное уравнение д — д=е или у =у+с / х Коэффициент при у является коэффициентом выбытия фондов. Он равен ( — 1). Следовательно, фонды пе выбывают, а растут. Государственные капиталовложения в предприятие положительны (функция е* ) 0).
Здравый смысл подсказывает, что при таких условиях должен происходить рост производства. Поэтому, не решая самого дифференциального уравнения, мы можем сказать, что его решением является растущая функция. Так опо и есть на самом деле. После соответствующих математических выкладок получим, что решением этого дифференциального уравнения является д(х) = Сея+хек (растущая функция). Аналогичный вывод мы можем сделать и для линейного дифференциального уравнения / х у — в д = х. 1+х Коэффициент выбытия фондов — ' ., ) отрицателен, значит 1+х / фонды прибывают. Инвестиции х растут. Следовательно, должен происходить рост производства. Решением уравнения должна быть растущая функция. После соответствующего решения действительно получим растущую функцию д(х) = (Я + х' + С) Я-+ хв 440 !'л.
8!. !!рилееаение дифференциальных и ревностных уравнений ... Слагаемое и в уравнении д~(!) = — !е !!(!) + и, выражавшее поток авнешних капиталовложений», может означать и другие внешние воздействия на предприятие. Слагаемое и может быть и отрицательным. В этом случае оно может выражать, например, какой-либо уход денег из предприятия (например, расходы или выплаты по налогам, издержки производства, потребительские расходы и т. п.).
Поскольку издержки часто зависят не только от времени 1, но и от объема выпуска продукции д(!) в момент времени 1, то и является, вообще говоря,. функцией от двух переменных ! и д. Коэффициент а, как мы видели, также может зависеть и от переменной ! и от переменной д. Таким образом, более общее уравнение роста может быть выражено более общим, вообще говоря, уже нелинейным, дифференциальным уравнением д (!) = !с(1, д) д(!) + и(!., д). (21. 13) В частных случаях это уравнение может оказаться и уравнением с разделяющимися переменными, и линейным уравнением, и уравнением Бернулли. Знание его экономического смысла позволяет предугадывать свойства решения. Если в микроэкономике наиболее употребимым линейным дифференциальным уравнением является уравнение (21.12), то в макроэкономике используется уравнение (21.
14) Здесь ! выражает время; д(!) - национальный доход: с(!) - . потребление (болееточно,непроизводственноепотребление, прирост материальных оборотных средств, государственных матери- й д(!) альных резервов, потери), Й вЂ” накопление основных иро- й! изводственных фондов. Уравнение (21.14) характеризует тот факт, что национальный й !!(!) доход разделен на две части; накопление Й ' (первое слагае- еЫ мое в правой части уравнения) и потребление с(!) (второе слагаемое в правой части уравнения), причем накопление производится государством пропорционально приросту национального дохода 3/лв Модель экономического цикла Самуольсона лкикса 441 в тот же момент времени.
Коэффициент к. выражает капиталоемкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода). Модель, основанная на уравнении (21.14), является простейшей моделью экономической динамики. С помощью нее находят динамику национального дохода у(с) в зависимости от траектории потребления с(е). Задача 2. Не интегрируя дифференциальное уравнение 7/ — — =х, х)1, у11)=1, йу зная лишь зкономический смысл коэффициентов (коэффициент 3 выбытия фондов равен — — ', инвестиции равны х), определить возрастает или убывает функция, задаюп1ая решение. Ответ: возрастает.
Задача 3. Проинтегрировать уравнение из предыдущей задачи. Ответ: у = 2 хз — х2. Задача 4. Решить задачу Коши 1/ — — = 1, х > 1, у(1) = 1. 2у Придать этой задаче несколько социальных и экономических интерпретаций, пояснить полученное решение. Задача 5. Придать уравнению Бернулли у 2 у + — = — ху экономический смысл. Проинтегрировать его и объяснить экономический смысл решения.
1 Ответ: у = 2 . Решение - убывающая функция, так х +Сх как происходит выбытие фондов и капитала. 21.9. Модель экономического цикла Самуэльсона — Хикса При рассмотрении применений дифференциальных уравнений мы исходили из предположения о мгновенном воздействии факторов, влияющих на рост. В действительности, 442 !"л. 9!. Применение дифференциальных и разноьтных уравнений ... САМУЭЛЬСОН (Яатпие!эоп) Пол (р.
1919), американский эконо- мист. Труды по проблемам моделирования экономического цикла, экономико-математическим методам измерения полезности и др. Ла- уреат Нобелевской премии (1970). ХИКС (Ьйсйе) Джон (1904 — 1999), английский экономист. Труды в области моднлироиания экономического рогта, теории спроса, иен. Лауреат Нобелевской премии (1972). Так, модель Самуэльсона — Хикса предполагает, что рост потребления с(!) (сопвшпр6оп) запаздывает от роста национального дохода у, т. е.
что с(!) = т у(! — 1) + и, (21.15) где т (гпаг81па!) -. предельная склонность к потреблепикэ (показывает на сколько увеличится потребление при увеличении текущего дохода на единицу (т = Ьс/Ьу)), а и — автономное потребление. Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции 4(!) (!поев!п1еп!В) после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций, они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а предшествующем периоде: г(!) = а (у(! — 1) — у(! — 2)).
(21. 16) Здесь а (ассе1егаФог) коэффициент, именуемый акселератором. Условие равенства спроса и предложения имеет вид у(!) = с(!) + 4(!). (21.17) Подставляя в (21.17) выражение для с(!) из (21.15), г(!) из (21.16), находим: у(!) = (а + т) у(! — 1) — а у(! — 2) + п. (21.18) это воздействие не мгновенно.
Оно происходит с некоторым запаздыванием. В тех случаях, когда запаздывание оказывает существенное влияние на рассматриваемые процессы., его необходимо включать в соответствующее дифференциальное уравнение. В социально-экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают уже не в виде дифференциальных, а в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем.
Мпд. Модель экономического цикла Самуэльсоиа -Хикса 443 сг Пример (уравненне Хикса). Предположим, что в = = 1,25, т = 0,95, н = 0,1. Тогда уравнение Хикса примет вид д(4) — 2,2 д(1 — 1) + 1,25 д(1 — 2) = 0,1. (21.19) Найдем частное решение.
Положив д(г) = сопвс = С и подставив в (21.19), получим С вЂ” 2,2 С + 1,25 С = 0,1., С = 2. Частное решение д(1) = 2. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Корни характеристического уравнения Л вЂ” 2,2Л+1,25 = 0 равны 1,1 ~ 0,2 4. Этим корням соответствуют линейно независимые решения вида д4(1) = (~гг1,25) сов(у ~) дз(е) (уг),2д) э1п(ф г), и где ьэ = агс$8' (2/11). После округления получим д4(~) = 1,07 сов(0,18 ~) дз(4) = 1,07' в1п(0,18~). Уравнение (21.18) называется уравнением Хикса. Пусть величины а, гп и п постоянны.
Тогда уравнение Хикса представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. В реальной экономике гн ( 1, а а ) 1. При таких значениях предельной склонности к потреблению т и акселератора а решение уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание сменяется убыванием, убывание возрастанием. Это означает, что даже при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер (раз нарушенное равновесие больше не восстанавливается), а периоды подъема экономики чередуются с периодами спадов (кризисов). Поясним это па числовом примере. 444 Рл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
