Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Системы дифференциальных уравнений или Р х", = к сб. Полученное уравнение зто уравнение на собственные векторы квадратной матрицы. Использование единичной матрицы Е дает уравнение на собственные числа квадратной матрицы которое называется характеристическим уравнением. Если все и корней йу характеристического уравнения различны и Уу -" соответствующие вектора матрицы Р, то общее решение системы (19.7) имеет вид гдег=1,2, ..., п.
7 Пример 1. Найти общее решение однородной автономной системы иу1 йх = у1+ 2уг, йуг — = 2 у~ + уг. фх Решение. Решаем характеристическое уравнение 1 — й 2 с1е1(Р— кЕ) =, = 0; 2 1 — й (1 — к) — 4=0; й1=-1, кг=З. Общее решение имеет вид У = С1 У1 е * + Сг ебг е *. Для определения собственного вектора соответствующего собственному значения> й1 = — 1, решаем систему Рг =й К, 19.8. Сиееаена линейаих дифференциальпих уравнений ...
4Ой которую можно записать так: дег1Р— /с~ гу) = 2 — — О. Отсюда 2 или с 2(хы + зш)~) 2(хп + хш)/ Так как определитель этой системы равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать хы = 1, а хш = — 1, т. е.
можно считать, что Для определения собственного вектора соответствующего собственному значению й1 = 3, решаем систему РУ1 = 11Яы которую можно записать так: с1е1(Р— йзЕ) = = О. Отсюда < 2( х21+х22)~ 2 1хз1 — хат) / Так как определитель этой системы равен нулю, система имеет бесчисленное множество решений.
В данном случае можно выбрать зы = 1, а хш = 1, т. е. можно считать, что '=<) Рл. 19. Сиетеиы дифференциальных уравнений Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид У= ' =С1 е *+Сг еа это означает, что У1=С1е +Сге, Уг= — С1е *+Сгс . а Ч Пример 2. Найти общее решение однородной автономной системы 4У~ — =У1+2Уг, йх дуг и'х = 2У1+ Уг приведением к дифференциальному уравнению второго порядка. Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по переменной х: " У1 ау1 дуг 2 + 2 йу„ Заменим в полученном уравнении " правой частью второго уравнения системы: й'У1 йу1 + 2 (2 У1 + У2), их йх или й'У1 йу1 йхг йх + 4 У1 + 2 У2.
(19.8) Из первого уравнения системы находим уг. 1йу, Уг = — — — —, У1. 2 ах 2 (19.9) Подставим в (19.8) вместо уг в правую часть (19.9), получим йгу1 йу1 2'1 йу1 — 2 = — +4У1+21 — — — — У1 й 2 1,2 йх 2' Последняя однородная система может быть решена и другим способом приведением к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. 19.2. Сиееаеиа линейаих дифференциальпих уравнений ...
411 откуда е! У1, е!У1 —., — 2 — — 3 У1 = О. йх йх Это обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Так как характеристическое уравнение а~ — 2й — 3=0 имеет корни то (19.10) у! = С1е + С2е Найдем и подставим в (19.9). Получим ау1 — = — (С1е *+ С2ев*) = — С1е "'+ 3С2е х", ах ах ! йу1 1 У2, У1 2 ах 2 = —, ( — С1е *+ 3 С2еа ) — — (С1е + С2еа ) = 2 2 = — Се *+С2е *.
Отсюда и из (19.10), получаем 1= ' =С! е*+С2 е~. А Методом приведения к одному линейному дифференциальному уравнению можно решать и неоднородные системы. ~7 Пример 3. Найти общее решение неоднородной линейной системы йуа — = — 8У1+ 3У2+ бе е1х йУ2 = = — 18У1+ 7 у2+ 12 е е1х приведением к дифференциальному уравнению второго порядка. рл. 19. Системы дифференциальных уравнений 412 Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по переменной рх йУ, НУ2 с1ха йх йх '2, — = — 8 — +3( — 18у1+7у2+12е ) — 5е й уг Ыу~ — х — х ил, 2 или —, = — 8 — — 54 у1 + 21 уг + 31 е с1уе г — х йи йх (19Л 1) Из первого уравнения системы находим у2: 1 1'фу, Д2 = — ~ +891 — 5е' ) .
3 ~йх (19.12) Подставим в (19.11) вместо 92 в правую часть (19.12) и, приведя подобные члены, получим уравнение йау~ йус с1ха йх + — 291 = — 4е (19.13) Решаем вначале однородное дифференциальное уравнение л у~ йуа — '., + — ' — 291=0. йх а* Так как характеристическое уравнение й~+Л вЂ” 2=0 имеет корни й1=-2, 12=1, то 91, „= С1е 2х+ С2е . Пусть у1=Ае х;тогда у1'= — Ае хи у1и=Ае *.Подставив эти значения в (19.13), находим А = 2 и, следовательно, у1=2е Тогда 91 = 91 али + у1 = С1 е 2' + С2 ех + 2 е *.
(19.14) йуа Заменим в полученном уравнении правой частью второго уравнения системы: !.9.Я. Решение систем дифференциальных уравнений ... 413 Чтобы найти д2, продифференцируем обе части последнего равенства: й/1 — 2х х — х — = — 2 Сг е ' + С2е ' — 2 е г!х Найденное выражение для — подставим в 119.12).
Получим г!дг г!х: у2 = 2 Сг е 2 х + 3 С2 е + 3 е Отсюда и из (19.14), получаем =Сг Е 2х+С2 Ех+ Е . А Задача. Решить систему уравнений г!дг — = 2 дг + д2. е!х ид е!л = 3у!+ 4у2 двумя способами: 1) с помощью характеристического уравнения; 2) сведением к дифференциальному уравнению второго порядка. Ответ: У= =Сг евх+С2 е .
19.3. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью компьютерной математики Команда г1во1уе, рассмотренная в гл. 18, позволяет регпать также и системы дифференциальных уравнений. Покажем ее использование на конкретных примерах. гд Пример 1. Найти с помощью пакета Мар1е решение однородной линейной сисгемы йдг — = дг+ 2д2, гГх г!дх — = 2дг+ у2, дх рл. 19. Сиегаемы дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям д,(О) = О, д,(0) = 1. Решение.
> в уз: =с1Ш (у (х), х) =у (х) т2 ах (х), с11Н(2(х),х)=2ху(х)+2(х): >с ту(х) 2(х)Э. >с(зо1уе(твуз,у(0)=0,2(0)=11,У); у(х) = -е ' — — е, з(х) = — е + — е' < Зх — х — х 1 Зх 2 2 ' 2 2 Этот результат полностью согласуется с примерами 1 и 2 из п. 19.2. а Ч Пример 2. Найти с помощью пакета Мар1е решение неоднородной линейной системы йус сС2 = — 8д1+ 2 уз+ че — х с(дз йх = — 18 у1 + 7 дз + 12 е *, удовлетворяющее начальным условиям д,(О) = О, д,(0) = 1.
Решение. >вув: =ЖХХ(у(х),х) =-8ху(х)+Зхх(х)+бхехр(-х), Ж11(2(х),х)=-18ху(х)+7хх(х)+12хехр(-х): >У:=(у(х),2(х)3': >с(зо1уеЯвуз,у(0)=0,2(0)=1),У); <у(Х) =2Š— 4Е ~х+2Е *, З(Х) = — 8Е Зх+6Ех+ЗЕ ~). Этот результат согласуется с примером 3 из п. 19.2. А Пакет символьных вычислений позволяет решать и тс системы, методы решения которых не излагаются в настоящей книге. 1,9.Я. Решение еиетем дифференциальных уравнений ... 41б Приведем пример решения системы дифференциальных уравнений, у которой соответствующее характеристическое уравнение не имеет действительных корней. ~7 Пример 3.
Найти с помощью пакета Мар!е решение неоднородной линейной системы йу~ е(х = 2 у1+ ут(х) + соз х, йуа — = — у1+ 3 в1пх, е1х удовлетворяющее начальным условиям у1(0) = 2, у2(0) = — 4. Решение. >зуз: =«1Ш (у(х), х) =2ву(х) тх(х)+сов(х), Ж1Х (х(х), х) =-у(х) +3 аз та(х): >У:=Су(х),х(х)т: >бзо1уеКзуз,у(0)=2,х(0)=-41,У); (у(х) = ее + сов(х), х(х) = — е — 3 соз(х) — зш(х)~.
А Если ты продашь мне рыбу, .я буду сыт весь день; если научишь ее ловить, буду сыт всю жизнь. Африканская пословица Глава 20 Разностные уравнения 20.1. Основные понятия Разностпые уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Пусть время 1 выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени 1, 1 — 1, 1 — 2 и т.
д. Обозначим через у~ значение в момент времени й; через уг значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущой неделе и т. п.); через дг г — значение функции у в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т. д.
Уравнение ( ао уг + аг уг — г + аг дс — г + ... + а„зИ „= У(1), (20.1) где ав, аы ..., а„постоянные, называется давностным неоднородным уравнением и-го порядка с постоянными коэффициентами, Уравнение авдс+а1уг-г+агд,;+...+опус- =О, (20. 2) в котором )'(~) = О, называется давностным однородным уравне- нием п-го порядка с посп1оянными коэффициентами. Решить разностное уравнение гыго порядка — значит найти функцию уы которая обращает это уравнение в верное тождество.
Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным рсигением давностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. 20.1. Основные понятая 417 Можно доказать следующие теоремы. Теорема 1. Если однородное разностпое уравнение (20.2) имеет решения д1(1) и у2(1), то решением будет также функция донн С1 У1(ь) + С2У2(ь)ь где С1 и Сг произвольные постоянные. Теорема 2.
Если д(1) — частььое решение неоднородного разностного уравнения (20.1) и у(1ь С1, С2, ..., Сп) — общее решение однородного уравнения (20.2), то общим решением неоднородного уравнения (20.1) будет функция у(1) = у(1, С„С,, ..., Сп) + д(2), где С1, С2, ..., С„произвольные постоянные. Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений.
Системой линейных ра носпьных уравнений первого порядка с поспьоянными козффициентами рь . называется система вида ~ гь= 1 11 — 1+гь,, у (1) д2(ь) вектор из неизвестных функций, ГДЕ Уь дп (1) Л(1) Ь(1) — вектор из известных функций., 1. (1) Ры Р12 " Рьп Р21 Р22 . Ргьь Рп1 Рп2 Рпп есть матрица размера и х и. Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению и-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
