Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Определение линейной зависимости и независимости для двух функций У1 и у2 было дано на с. 374. Приведем более общее определение, пригодное для любого конечного числа функций. ФУНКЦИИ У1(Х), У2(Х), ..., Уп(Х) НаЗЫВаЮт ЛиНЕйНО ЗаеиСиМЫ- ми в интервале (а, 6), если существуют постоянные числа а1, а2, ..., Рп, не все Равные нУлю, такие, что 12н у1(х) = О для любых з: Е (а, 6). Если жо указанное тождество выполняется только в случае, когда все Р.; = О, то функции у;(х) называются линейно незавие мыми в интервале (а, 6). Совокупность п линейно независимых решений У1(х) ~ У2(х) ~ 1 уп (х) 1В.о.
Линейные дигяреренцивльные уравнения высших порядков 399 уравнения (18.22) называется фундаментальной системой решений. С ее помспцью строится общее решение однородного уравнения (18.22). Справедлива следующая Теорема 1. Если д1(х), уг(х), ..., ди(х) любая фундаментальная сиснеема решений уравнения (18.22), тпо функция где С; -- произвольныс ностпоянные, является общим рсилснием уравнения (18.22). Теорема 2 (о структуре общего решения неоднородного уравнения) . Общее решение линейного неоднородного уравнения (18.21) имеет вид д = 11одв+ д где уод„- общее релиение соответствующего смд однородного уравнения (18.22), о, у — одпо из частных решений уравнения (18.21). В общем случае не существует метода отыскания фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (18.21).
Только в частном случае, когда в уравнении (18.21) все коэффициенты р;(х) являются постоянными числами, существует метод нахождения фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (18.21). Этот метод, основанный на использовании характеристического уравнения 1" + р, ~"-'+ р, й"-'+ ... + р„, й+ р„= б, аналогичен методу, изложенному в предыдущем параграфе для дифференциального уравнения второго порядка. Ч Пример.
Найти общее решение однородного уравнения у у +у у=х +х. Решение. Находим общее решение однородного уравнения дн' — ди+ д' — д = О. Характеристическое уравнение 1с~ — й~ + lс — 1 = 0 4оо Гл. 1о. Дифреренииальные дравненил выеигего парадна д,л„= С1 ее+ Сз совх+ Сз в1п х. В правой части заданного уравнения имеется многочлен второй степени и е™* = ев'а = 1.
Так как число гп = О не является корнем характеристического уравнения, то частное решение д следует искать в виде многочлена второй степени, т. е. у= Ах~+Вх+С. Определим производные д, да и да~ и подставим в левую часть заданного уравнения: д'=2Ах+В, дн=2А, 0 — 2А+2Ах+  — Ах~ — Вх — С = х~+х, или — Ахи+ (2А — В) х+ ( — 2А+  — С) = хв+ х Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, получим систему — А=1, 2А — В=1, — 2А+ — С=О Решение этой системы дает; А = — 1, Следовательно, частное решение , 2 д= — х — Зх — 1., В = — 3, а общее решение д = С1 е'+ Сз сов х+ Сз вшх — х — Зх — 1, а Задача 1. Найти частное решение уравнения д +д=е удовлетворяющее условиям: д(0) = О, д'(0) = О, д"(0) = О. можно переписать так: (й — 1) (йз+1) = О, откуда находим действительный корень Й = 1 (соответствующий уравнению й — 1 = О) и числа сг = О, и В = 1 (соответствующие уравнению й~ + 1 = О, не имеющему действительных корней).
Тогда 1У.б. Решение. диЯн:реациалинвее уравнений е помошыо нанета Мар(е 401 1 2 2а Ответ: у = — —, + — сов х — — + — е *. 2 5 й 1О Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения четвертого порядка (4) 8 а удовлетворяющее условиям; у(6) =-1, у'(6) =6, .уа(6) =1, ун'(6) =6. Ответ: у = с * — Зев+сова+2 вшх+ 2хезе. 18.6. Решение дифференциальных уравнений с помощью пакета Мар1е Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений используется команда >ово1ие(ее1пв,иатв,орС1оп); Здесь ее(пв — дифференциальное уравнение (или система) относительно неизвестных функций иатв, а орС1оп .
- дополнительные условия, позволяющие указать метод решения задачи (например, Суре=мшетус - для численного решения). Если дополнительных условий нет, то Мар)е пытается найти аналитическое решение задачи, так как по умолча.нию принято, что Суре=ехасс. При этом решение будет содержать неопределенные константы, изображаемые С1, С2, .... Для задачи Коши в уравнение (уравнения) ее)пв нужно включить также начальные условия.
'7 Пример 1. Найти общее решение однородного уравнения у у +у у=х+ Решение. >о во1ие (оШ (у (х), х$3) -оШ (у (х), х$2) + с1Ш (у(х), х) -у (х) =х" 2+х, у(х) ); у(х) = — 1 — Зх — х2+ С1 сов(х)+ С2е*+ СЗ вш(х). 402 Гл. 18. дпдференпиальные драопенил еыьчлего порядка То же можно решить также и в два этапа: >еоп: =с(111(у(х),х$3)-с(1Л(у(х),х$2)+ с(Ы1(у(х),х)-у(х)=х 2+х: у(х) = — 1 — Зх — х + С1 соа(х)+ С2ее+ СЗ яп(х). Этот результат совпадает с ответом, полученным в примере и.
18.5. А Ч Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения четвертого порядка у( ) — у' = 8 е", удовлетворяющее условиям ул'(О) = О. Решение. Обозначим заданное дифференциальное уравнение через ес(п и решим его: >ецп:=дШ (у(х),х$4)-у(х)=8эехр(х): >с1ао1ле(ест,у(х)); 1 — З(е') +свахе~+2 япхе'+2хе *е В полученной дроби поделим числитель на знаменатель: >ехраш)("); е е — 3 с*+ совх+ 2 япх+ 2хезе (вообще команда ехраш)(") раскрывает скобки), Этот результат совпадает с ответом, полученным в задаче 2 п.
18.5. А С помощью команды део1че можно решать и дифференциальные уравнения, рассмотренные в гл. 17 7 Пример 3. Решить уравнение Бернулли ху — д=х д. з 1В.В. Решение. ди фференциаль~ьсс уравнений с нолеошью пакета Мор~с 403 Решение. >ово1че (хаово1че ИЫХ (у(х),х) -у=х" Зау" 2,у(х) ); 1 1т~ — 4 С1 у(х) 4 х Результат вычисления совпадает с ответом 4х 12 = 1 1 4С вЂ” х приведенным при изучении уравнения Бернулли. А Экономический план можно представить себе как численное решение конкретной системы уравнений общего равновесия.
В. Леонтьев Глава 19 Системы дифференциальных уравнений 19.1. Основные понятия Совокупность уравнений вида дд1 11(х; 1У1~ У2; ° 1 Уп) ~ дх адг = 12(Х~ 1У1~ У21 ~ Уп) ~ (19.1) йуп — = 1п(х, У1, дг, ..., Уп), где У1, У2, ..., у„-- искомые функции от независимой переменной х, называется системой дифференциальных уривнений первого порядка. Всякая совокупность п функций у1 = У1(х), У2 = уг(т), ..., у„= уп(х) (19.2) называется решением системы (19.1) в интервале Х, если она обращает все уравнения системы (19.1) в тождества, справедливые при всех значениях х из интервала Х. Процесс нахождения решений системы называется интегрированием этой системы.
График решения (19.2) называется интегральной кривой системы (19.2). Система уравнений (19.1) разрешена относительно производных от искомых функций. Поэтому ее называют еще системой дифференциальных уравнений в нормильной форме или 'нормильной системой. Задача Коши для нормальной системы (19.1) ставится так: найти решение (19.2), удовлетворяющее начальным условиям 1о.1. Оел поп (условиям ко1аи) У1(Х) = У1(ХО) У2(Х) = У2(ХО) ° ° ° У (Х) = У (ХО) где хо заданное число.
Геометрически ищется интегральная кривая, проходящая через данную точку (ХО: У1 (ХО) . 112 (ХО) ~ . ° ~ Уп (ХО) ) . Рассмотрим нормальную систему вида (19.1), где х время, а У1, У2, ..., Уп -- кООРДинаты тОчки П-мЕРнагО пРОСтРанСтва. Это пространство будем называть фазовым пространшпвом.
В случае и = 1 фазовое пространство есть ось Ох; при и = 2 плоскость (х, у) фазовал плоскость. Всякое решение У1 = У1(Х); У2 = У2(Х)1 ": Уп = Уп(Х) (19 3) (интегральная кривая) системы (19.1) представляет собой закон двизесенил точки в фазовом пространстве. Поэтому решение (19.3) называют просто двиз1сением, определяемым системой дифференциальных уравнений (19.1), а путь, описываемый точкой в фазовом пространстве, траекторией этого движения.
Левые части системы (19.1) суть составляющие (по осям координат) скорости движения точки. Поэтому система (19.1) задает так называемое поле скоростей движений, так что точка может проходить в момент времени х через положение (У У2" У) только с заданной скоростью. Требуется найти сами движения и изучить их свойгзгва.
Если скорость, с которой точка проходит через положение (У1~ У2~ ° ° ° ~ Уп); не зависит явно от момента времени прохождения, т. е. систе- ма (19.1) имеет вид дУ1 = Л(У1 Уа, " Уп), дУО 12(1/1~ 112~ ° ° ~ Уп)1 (19.4) ду„ д* 1п(У1 У21 "1 Уп)~ Рл. 19. Сиеьььельы дифференциальных уравнений она называется стационарной или автономной системой. Если правой части нормальной системы линейно зависят от искомых функций У1 У2 " ь Упь т. е. эта система имеет вид ду~ дх Р11(Т) У1 + Р12(ьс) У2 + ° + Р1п (Х) Уп + 11(ье) ь дуа дх = Р21(х) У1 + Р22(*) У2 + " + Р2п Ю Уп + Ь(*) ь (19.5) ду„ дх Рп1(Л) У1+Рп2(х) У2+ .. + Рпп(Х) Уп + дп(Х)ь она называется линейной системой.
19.2. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Из линейных систем (19.5) наиболее важными, как в теории, так и в приложениях, являются системы с постоянными коэффициентами; дуь дх Р11 У1 + Р12 У2 + ° ° + Р1п Уп + 11(а ) ь дуа дх Р21 У1 + Р22 Ув+ + Рап Уп + 12М)ь (19.6) ду„ Рьь1 У1 + Рп2 У2 + ". + Рпп Уп + 1п(х) ° где функции д;(х) (г = 1, 2, ..., и) обычно предполагаются непрерывными в некотором интервале Х. Если все д,(х) ив в Оь то система (19.6) называется однородной, в противном случае —.
неоднородноей. 19.8. Система линейанх дифференциальных уравнений ... 407 В матричной щим образом: форме однородная система выглядит следую- У1 Р111 Р12 " Р1ьь У2 Р21 Р22 ° ° Рвп Уп Рп1 Рп2 " Р По-другому ее можно записать в шьедующем виде: ГДЕ гь Уь' = 1, 2ь ..., П. В более компактной форме последнюю формулу можно записать так; а '1' йа: (19.7) У2 где У = . искомый вектор, а Р— - численная матрица Уп размера п х и. Чтобы найти решение системы (19.7), введем пробную функ- цию 1' =л е~*, где Подставим ее в левую часть равенства (19.7). Получим й1' ьь'1л е ') ь1л йл Рге'* = йгей* и Иуь — Рьд У1 ь ь=в Отсюда и из (19.7) вытекает, что У1 У2 Уп Рл. 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
