Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. 6А=1, 2В=О, откуда А=1/6, В=О. Подставляя эти значения в частное решение, получим; — 3 г у= — х е*. 6 Поскольку общее решение однородного уравнения есть функция уоди е— е (С1 + С2 х) е ', общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть функция д = (С1+ Сэх) е*+ —,х~е*. а 6 28.4. Линейные неоднородные вп~оооео нарядна .. 322 Ч Пример 4. Найти частное решение уравнения до — д' — 2д = 9е". удовлетворяющие начальным условиям д(0) = 2, у'(О) = 13.
Решение. Находим общее решение однородного уравнения до — д' — 2р = 0. Характеристическое уравнение к~ †и †имеет два корня; й> = — 1, к2=2. Отсюда д,д„— — С1 е + С2 ев Так как в правой части заданного уравнения Рн(х) = 9х2 и т = 2 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение д следует искать в виде функции А х е2"'. Дифференцируя дважды д = А х е2', получим: д! = Ае2х+2Ахе2х ро 2 1 2х+2 1 2х+,1 1 2х Подставим д, д' и до в левую часть заданного уравнения и определим коэффициент А: 4Ае2 +4Ахе2х — Аезх — 2Атезх — 2Ахе2'=9е2*: ЗА =9; Следовательно, частное решение имеет вид р=Зхе *, а общее решение: д = д + д = С~ е * + С2 е2* + 3 х е2'.
Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных С1 и С2. Дифференцируя общее решение, получим: д' = — С1 е х + 2 С2 е2 х + 3 е + 6 г е (18.16) 392 Гя. 1а ди«гференииаяьные уравнения выыиего порядка Подставив в общее решение х = 0 и д = 2, будем иметь: 2 = С1 + Сз. Подставив х = 0 и д' = 13 в (18.!6), будем иметь: 13 = — С~ +2Св+ 3; 10 = — С~ +2Сз.
Решая систему Е С+С =2., — С1 + 2 Св = 10, находим: С~ = — 2 и Сз = 4. Таким образом, у= — 2е ~+4е +Зхе * есть частное решение, которое удовлетворяет заданным началь- ным условиям. А Задача 1. Найти общее решение уравнения уи — 5 у'+ бу = (12х — 7) е Ответ: у=С1е а+Сзе а+хе Задача 2. Найти общее решение уравнения уп+ Зд'+ 2д = 2х~ — 4х — 17. Ответ: у = С1 е *+ Со е з'+ хз — 5х — 2. Задача 3.
Найти частное решение уравнения до+ 4д = 8х, удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = 0; у'(0) = 4. Ответ: у = гйп2х+ 2х. Метод неопределенных коэффициентов применим только в тех случаях, когда правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения, т. е. функция «(х), является либо многочленом, либо показательной функцией, либо синусом или косинусом (этот случай нами не рассматривался), либо произведением этих функций.
В тех случаях, когда правая часть «(х) отлична от названных выше функций, применяют так называемый метод вариации произвольных постоянных. 1о.4. Лняейные неоднородные внгорого норядна 393 Метод вариации произвольных постоянных. Метод вариации произвольных постоянных является общим методом, позволяющим решать пеоднородныс дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Сущность метода заключается в следующем.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (18.13). Пусть общим решением соответствующего однородного уравнения (!8.14) будет функция (18.17) д,„н = С д1(х) + С дв(х), где д1(х) и дз(х) — два линейно независимых частных решения однородного уравнения (18.14), а С1 и Сз " некоторые произвольные постоянные. Заменим в общем решении (18.17) постоянные С1 и Со некоторыми функциями С1(х) и Сз(х) так, чтобы (18.18) д = С1(х) д1(х) + Сз(х) дз(х) стало решением неоднородного уравнения (18.13). Другими словами, будем искать частное решение уравнения (18.13) в виде (18.18)., т. е. в виде копии функции (18.17), в которой осуществлена вариация (видоизменение) произвольных постоянных произвольными функциями.
Найдем условия на функции С1(х) и Св(х), при которых (18.18) становится решением неоднородного уравнения (18.13). Если д есть решение неоднородного уравнения (18.13), то при подстановке в левую часть этого уравнения у, д' и д" получим тождество. Дифференцируя (18.18). имеем д ' = С,'(х) д1 (х) + С1 (х) д',(х) + Сз(х) дв(х) + Св(х) 11о(х), или д = [С1(х) д1(х) + Сз(х) дз(х)) + С1(х) д1(х) + Св(х) дз(х). Выберем функции С1(х) и Со(х) так, чтобы сумма в квадратных скобках была равна нулю, т.
е., чтобы имело место равенство С,'(х) д1(х) + С~(х) до(х) = О. (18.19) Тогда д' = С1(х) д~1(х) + Со(х) д~(х). Дифференцируя еще раз, находим д "; д = С, (х) д1(х) + С1(х) д, (х) + Сз(х) 11о(х) + Сз(х) 11о(х). зм ря. 1а дифференииаяьные дравнения выыаего порядка Подставив д, д' и ди в левую часть неоднородного уравнения (18.13), получим Сд(х) дд(х) + Сд(х) дд'(х) + С2(х) д2(х)+ + С2(х) дзи(х) + рСд(х) дд(х) + р С2(х) 92(х)+ + д Сд(х) дд(х) + д С2(х) д2(х) = 1(х). Или, группируя члены, получим: Сд (х) [дд (х) + р дд (х) + и дд (х)) + + С2(х) [д2 (х) + р д2(х) + ч д2(х)1+ + Сд(х) Чд(х) + С2'(х) д2(х) = 1(х).
Так как дд(х) и д2(х) являются решениями однородного уравнения (18.14), то выражения в квадратных скобках равны нулю. Следовательно, Сд(х) дд(х) + С2(х) д2(х) = ~(х). (18.20) Итак, для нахождения неизвестных функций Сд(х) и С2(х) надо решить совместно систему уравнений (18.19) и (18.20). Таким образом, метод вариации произвольных постоянддьдх отыскания частного решения неоднородного решения состоит из ддвух этапов: На первом этапе находятся неизвестные функции Сд(х) и С2(х) из системы уравнений (18.19) и (18.20): На втором этапе по найденным функциям Сд(х) и С2(х) с помощью интегрирования отыскивают Сд(х) и С2(х) и подставляют в представление для частного решения 7 Пример 5.
Найти общее решение уравнения д +д= —, !8.ф. Л!!пейные неоднородные вп!олово порядка .. Решение. Характеристическое уравнение имеет вид к~+1 = О. Следовательно, а=О, Поэтому частными решениями однородного уравнения д!!+д=О являются функции д! = совх! дв = в!их, а общее решение однородного уравнения есть функция д одн = С! совх+ Сэ вшх.
Таким образом, частное решение заданного уравнения имеет вид д = Сг(х) сов х + С2(х) еап х, где функции С!(х) и Сэ(х) находятся из системы уравнений < Сг(х) сов х+ С2(х) щах = О, — Сг(х) вп! х + Св(х) сов х = 8!п х умножая первое уравнение этой системы на в!их, а второе на сов х и суммируя их, получаем Сэ(х) шп х+ Сэ(х) сов~ х = —, 8!в х Су( ) сов х 8!и х Интегрируя находим С2(х) (здесь не пишом 1п ~ в|п х~ + С! так как ищется не общее, а частное решение.
Поэтому можно считать, что С = О). Подставляя С2 (х) в!и х в первое из уравнений данной системы, получаем С!(х) сов х + сов х = О, 396 Гл. 18. Днйгференцнальные»уравнения вышнего неравна откуда С»(х) = — 1. Следовательно, С»(х) = — х. Таким образом, частное решенно заданного дифференциального уравнения представляет функцию у = — х совх+ япх!п ~япх~, а общее решение - функцию у = (С» — х) сов х + (Сг +!и ! в»п х!) вш х. А Задача 4. Найти общее решение уравнения П+,! в»п х, Ответ: 1 д = (С» — 1п ~ вш х ~ ) сов х + ! Сг — — с!5 х — х) яп х. 2 Задача 5. Найти общее решение уравнения до+ 4у'+ 4у = е 2 1пх. Ответ: д= С»+Сгх+ — х !пх — — х ) е ,,2 й .2 — 2г / Принцип наложения. При решении неоднородных ураннений часто оказывается полезным принцип наложения !или принцип суперпозиции.) Теорема 2.
Если правая часть линейного неоднородного уравнения предппавлена в виде суммы двух 4днкций,. т. е. дано уравнение д + р д + Ч д Ь!х) + 12(з) и д» есть»астное решение уравнения У + Р У +»1 У = 1»!х), а дг есть частное решение уравнения + Р»1 +»!»У = 12'»х); то д = у» + дг есть чистное релиение задинного уравнения. 78.4. Лппейные неоднородные второго порядка 397 Ч Пример 6. Найти общее решение уравнения у" — 7 у' + 10 д = 4 е * + 10 х + 3. Решение.
В данном случае д"г(х) = 4 е, а д'9(х) = 10 х + 3. Ранее в примере 1 (с. 387) уже было найдено общее решение неоднородного уравнения у" — 7д'+10д = 4е *. Общим решением этого неоднородного уравнения с правой ча- стью )1(х) является д = С1 е * + Сз е" * — 2 ев*. Частным решением уравнения у" — 7у'+ 10 у = 10х+ 3 с правой частью ~з(х) является функция уз = х+1. Следовательно, согласно теореме 2, общее решение исходного уравнения таково: д = Сге2*+ Сзе~* 2е~*+х+1, Эадача 6. Найти общее решение уравнения ул — 3 д~ + 2 у = 3 е2 ~ + 2 х2 Ответ: у=С1ев +Сзе +Зхев +хв+Зх+ —.
7 2 Колебания цен. В предыдущем параграфе рассматривалось однородное уравнение колебаний цен л(~)+24 '(~)+авва(~) =0., где в(г) рассматривалось как отклонение рыночной цены от своего «естественного» значения. Экономический смысл имеет также и неоднородное уравнение л(~)+24 'Я+ в (~) = ~Я. Оно описывает колебание цен на рынке при внешнем воздействии 7" (1). Внешнее воздействие может быть интерпретировано, зчя Рл. 1о. Дифференпиальные драанениа аыыиего парадна например, как завоз на рынок большой партии аналогичной импортной продукции или же как государственные дотации и т.
п. 18.5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейным неоднородным уравнением п-го порядка называется уравнение вида У + Р1(х) У(™ + Р2(х) У + " + + Рп-1(з ) У + Рп(х) У = 1(х), (18.21) где Р;(х) (г = 1, 2, ..., н), 1"(х) . заданные функции. Если правая часть уравнения (18.21) 1" (х) = О, то получаем уравнение д(п1+Р~(х) у1п 11+ р2(х) у~" ~~+ ..,Рп (х) д'+ рп(х) у = О, (18.22) называемое линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (18.21). При отыскании общего и частного решений уравнений (18.21) и (18.22) важную роль играет понятие линейной зависимости и НЕЗаВИСИМОСтИ фУНКЦИй У1(Х), У2(Х), ..., Уп(Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
