Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Я. Прилее — ение дифференциальных и ревностных уравнений ... Рис. 21.6. Модель Оамуальсоиа — Хикса Таким образом, общим решением однородного уравнения является функция у® = 1,07» (С1 сов(0,181) + Сз гйп(0,181)), где С1 и Сз — произвольиые константы. Следовательно, общим решеиием уравнения (21.19) будет функция у(1) = 2+ 1 07' (С1 сов(0,182) + Сз з1п(0,181)). График этой функции при С1 = Сз = 1 и й Е 14 изображен па рис. 21.6, а.
А Из последнего примера наглядно видно, что решение ураввеиия Хикса у(1) очень быстро принимает иеправдоподобпые зиачения. В действительности такой сильной раскачки значений пациоиальиого дохода ие происходит. Размер национального дохода пе может превышать величину иациопальиого дохода полной заиятости. Это ограничивает амплитуду колебаний объема иациоиальпого дохода сверху. С другой стороны, объем инвестирования нс может быть меньше отрицательной величины амортизации и это ограничивает амплитуду колебания величины национального дохода снизу. В результате колебания размера национального дохода принимают вид, изображенный па рис.
21.6,6. Оии имеют конечную амплитуду и характеризуют экономические циклы подъема и спада производства. й!. !О. !!аутанообраонал модель рынка 21.10. Паутинообразнан модель рынка Опишем еще одну модель., учитывающую запаздывание во времени. Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке. Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение в (вирр!у) товара в текущем периоде на основе цены р (рг!се), установившейся в предшествующем периоде, а спрос е! (е1е!папе1) на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.
Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика цены описывается следующими уравнениями; а(1) = ар(! — 1) + б, е!(!) = — т р(!) + и. Здесь п, > 6 > О, так как при нулевой цене спрос превьппает предложение, и > О,. так как функция предложения возрастающая; т > О, так как функция спроса убывающая. Таким образом, если спрос в(!) равен предложению е1(!), то получим линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами: т р(!) + а р(! — 1) = п — 6. Частным решением этого уравнения является константа и — 6 р= т+а Решая характеристическое уравнение т Л + и = О, находим его а корень Л = — —. т Общее решение разностного уравнения имеет вид Следовательно, динамика цен носит колебательный характер.
а а1! При этом, если — < 1, то ( — — ) — + О (! Е М) и р(!) э р. т, т Последовательность цен сходится к равновесному состояни|о. 446 Рл. В!. Примезение дифференциальных и ревностных уравнений ... 21.11. Модель социального взаимодействия Саймона Модель Саймона является формализацией некоторых постулатов теории малых групп Д. Хоманса. Эти постулаты согласно Д. Хомансу таковы: 1. Если деятельность изменяется, то взаимодействие, вообще говоря, также изменяется, и обратно. 2.
Лица, которые часто взаимодействуют друг с другом, стремятся любить друг друга. 3. Если взаимодействие между членами группы часто осуществляется во внешней системе, чувство любви между членами растет, и это чувство, в свою очередь, способствует проявлению взаимодействия во внешней системе. 4. Лица., которые имеют чувство любви друг к другу, будут выражать это чувство сверх деятельности внепшсй системы,. и эта деятельность в дальнейшем будет усиливать чувство любви. 5. Чем более часто люди взаимодействуют друг с другом, тем более в некотором отношении они становятся похожими как в своей деятельности, так и в чувствах. Саймон осуществил «перевод» постулатов Хомапса в следующую математическую модель: (21.20) Т = а1Е+аз И', — = 11 (Т вЂ” 1з!), й1 й1 (21.
21) и'И' — с1 1! т И/) + сз (р И/) йг (21. 22) где ТЯ интенсивность взаимодействия среди членов группы; ! (1) - степень дружелюбия среди членов группы; И'(1) — уровень При гп = а значения р(~) чередуются вокруг равновесного значения р. а а\1 Если — > 1, то ~ — — ) -+ оо (равновесие неустойчиво). В репа т альности бесконечно возрасгающих колебаний не происходит, так как при больших отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными.
В более реалистической нелинейной модели устанавливаются колебания болыпой, но конечной амплитуды. й!.М. Модель социального взаимодействия Саймона деятельности, выполненной группой; Г(1) обьем внешненавязанной деятельности («внешняя система»). Уравнение (21.20) алгебраическое (структурное). В этом уравнении Т выражается как функция 1 и И~. Из этого уравнения вытекают постулаты Хоманса о взаимосвязи между степенью дружелюбия среди членов гру~чпы (1), уровнем деятельности, выполненной группой (И') и интенсивностью взаимодействия среди членов группы (Т). Для того чтобы получить постулаты Хоманса о связи этих факторов с объемом внешней деятельности (1г), подставим уравнение (21.20) в (21.21). Получим дифференциальное уравнение, которое вместе с уравнением (21.22) образует систему двух дифференциальных уравнений с тремя переменными, две из которых (1 и Иг) экзогенные (модель должна объяснить их динамику), а одна (1с) эндогенная (она влияет на процесс, но сама пе зависит от него).
В матричной форме эта система двух уравнений от двух экзогенных переменных запишется в виде (21. 23) = АХ(1)+ В, сй где а числовая матрица А = йа, '0 выражена соответствующим образом через семь свободных параметров (пы ав, сч, сз, 6, 1з, т). Решение этой системы в матричной форме имеет следующий вид: Х(1) = е~' Х(0) + (е ' — Е) А В. (21.24) Саймон исследовал систему (21.23) в условиях устойчивого равновесия (числовым аналогом этого является случай А ( О). Анализ решения (21.24) позволяет заключить, что рост В ведет к росту Х и обратно, т.
е, увеличение обьема деятельности, навязываемой внешней системой, увеличивает степень дружелюбия среди членов группы и внутригрупповую деятельность. Обратно, увеличение степени дружелюбия и внутригрупповой деятельности способствует проявлению взаимодействия во внешней системе.
Другой вывод из модели; если система находится в устойчивом равновесии и внешняя деятельность В стремится к нулю, то Х также стремится к нулю. Этот вывод также согласуется 448 !'л. 8!. !!рилееаение дифференциальных и разнаетных уравнений ... с гипотезой Хоманса, касающейся обьяснения социальной интеграции и различия в численности современной и первобытной семьи. Кроме того, модель дает ряд других качественных выводов, отсутствующих в теории Хоманса, и тем самым иллюстрирует преимущества математики в получении выводов из формализованных постулатов.
Однако модель Саймона является в основном иллюстративной и, ввиду неопределенности соответствующих коэффициентов, не дает возможности применить ее на практике. Следующая модель, которую мы рассмотрим, содержит коэффициенты, которые поддаются измерению.
Это позволяет использовать ее для прогнозирования. 21. 12. Динамическая модель Леонтьева Напомним, что статическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева записывается следующим образом: Х = АХ+У. Предложенная Леонтьевым динамическая межотраслевая модель является классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Эта модель, включающая дополнительно матрицу коэффициентов капиталоемкости В, определяет траектории сбалансированного экономического развития.
Качественные свойства этих траекторий зависят от матрицы В (! — А) '. При некоторых условиях величина, обратная наибольшему собственному значению матрицы, определяет максимально возможный (етехнологический») темп прироста экономики, а соответствующий этому значению собственный вектор характеризует необходимые пропорции между объемами производства продукции па амагистральном» (с максимальным темпом прироста) участке экономического развития. Динамическая модель В.
Леонтьева выражается системой дифференциальных уравнений (2>.25) Здесь У(!) вектор-столбец национального дохода, С(!) вектор-столбец потребления, К матрица коэффициентов полной 21.1а Динамичееаал модель Леонтьева приростной капиталоемкости, т. е, полных затрат производственного накопления на единичные приросты элементов используемого национального дохода. Система уравнений (21.25) является матричным аналогом дифференциального уравнения (21.14). Заметим, что матрица К и матрица прямых материальных затрат А связаны уравнением: К= В(Š— А) где А матрица коэффициентов прямых материальных затрат (в отличие от коэффициентов статического межотраслевого баланса, коэффициенты динамической модели включают также затраты на возмещение основных производственных фондов);  —- матрица коэффициентов капиталоемкости приростов щ>оизводства (затраты производственного накопления па единицу прироста соответствующих видов продукции); (Š— А) 1 матрица коэффициентов полных потребностей в выпуске продукции для получения единиц соответствующих видов конечной продукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
