Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 70
Текст из файла (страница 70)
При сч' ) 8 неустойчивь! в лииейнолс приближениис 2. По сравнению с плоски,н случаем при Х = 7 добааление кривизны нарушает утпойчивостьц д. При приближении к экватору (>!ли> что тоже самое, увеличении кривизны) конфигурации (6.7) с с>> = 4, 5 и 6 >соследовательно теряют устойчивость.
Предельньсе >аиро>пы устойчиоости Во опреде.тются формулами 11РИЛОЖЕИИЕ Н Алгебраизация и приведение задачи трех тел Попил|ение порядка в задаче трех тел небесной механики впервые в систематической форме обсуждается в лекциях Якоби [170). Оп подробно остапавливастся па барицонтричсской системс координат, позволяющей игнорировать прнмолипейное и равномерное движение центра масс., а также на процедуре исключония кинетического момента (исключения узла). Конструктивно этот процесс, приводящий в плоском (пространственном) случае к системе с греми (четырьмя) степенями свободы был выполнен Радо, Ьрупсом. 1Парльс| Ли| ЛсвиЧивита и Уиттекером, обзор исследований которых содержится в трактатах [154, 166). Наиболсс сстсствсппоо и полное попнжсшю порядка в задаче трех тел принадлежит ван Кампену (Е.Р.
хвп Кап|реп) и Уинтеру (А. Ж(в|пег) [268]. Она обсуя|дастсн также в книге [153). Все зти классические резулыаты основаны на теории канонических преобразований и связаны с громоздкими вычислениями. Здесь мы приведем более геометрический способ понижения порядка в плоской задаче трех тел, который без труда можно обобщить на пространственнную задачу я тол. Оп связан с.предварительной алгобраизацисй редуцированной системы и последун|щим введением канонических координат на симплоктичсском листо.
В отличие от классического подхода зта процедура использует только (алгебраическук|) пуассонову структуру редуцированной системы и никак не затрагивает гамильтонпан (а позтому справедлива и для других потенциалов, завнслщнх от взаимного расстояния между телами). Излагаемый алгоритм приведения является универсальным и использует только алгебраические методы. Аналогичные результаты для динамики твердого тела имеются в ~ 8 гл. 2. Несомнено, что само изучение алгебраической формы задачи п-тел помимо более естественной симметризации представляет для небесной механики большие перспективы.
1?рилезееиие Н 1. Алгебраизации системы. Гамильтониан плоской задачи трех тел можно представить в форме 1 2 3 О= — ~ — „,' —.— ~ Г1(~1 —,~), 11И Рнс. 79 Выберем новые образую1цио, характеризу1ошие относительную динамику частиц, в виде квадратичных форм от канонических переменных: К Квадраты взаимных расстояний М1 = (гз — гз)~, 1~12 (Г1 13~ > Мз = (Гз — Г1! .
(Н.2) 2. Скалнрпыс производопия импульсов и прилсжасдих сторон треугольника, образованного точками (см. рис. 79) Хз = (Г1 — гз Р1) Аз = (гз — Г1..Р1). У1 = (ГЗ вЂ” Гз~р2)~ Уз = (Г2 — Г1~Р2)' Я1 = (гз — гз,р,), Яз = (г, — гз,рз). (Н.З) здесь г;(то у1), ре(рз, р1„) двумерные векторы полол1сция и импуль- СОВ ЧаСтИЦ, ДЛЯ КОМПОНЕНТ КОТОРЫХ (Рим ж;, Рзи, д1) КОММУтаЦИОННЫЕ соотношения канонические. Вследствие того, что гамильгониан (Н.1) зависит лишь от модулей импульсов и взаимных расстояний он может быть выражен через отпоситсльпыс псрсмсппыс (Н.2-Н.З), которые образукзт скобку Пи— Пуассона.
(Хз, У1 ) .: О1 (Х, Яз) = — Хз — Яз, (Лз Х,) =О., (1'1.Х1) = У1 + Х1, (1;з.яз) = о, (Х,Хз) Х -ьхза (Х„г,) =Х,+Хзч (Лз.. Гз) = Хз + Уз, (1'1, 1'з ): — 1'1 — 1'з. (1;, У1) = -г, — гз, (Хг, 1з): —. — 11 — Уз, (Хз,У1) =-Х,-хза (Хз; Х2) — Х1 з Х2; (У1; ~2) -' — 11 — 1з, (г„л,) = гг-~Я„ (Хз,М1) = О., (Хз.мз) = — 2мз, (Лз,мз) = М1 — Мз — Мз, (Лз М1) = 0: (Хз Мз) = М1 - Мз+ Мз (Хз Мз) = 2мз; (11, ЛХ1) = 2М1, (У1; Мз) = О; (У1.
Мз) = — ЛХ2 + ЛХ1 + Мз, (Уз,М1) = ЛХ2 — М1 — ЛХз: (Уз: Мз) = О; (Уз Мз) = — 2ЛХз: (Хг,мз) = — 2ЛХм (Х1: ЛХ2) = Мз — М1 — Мз; (Хг,мз) = О; (Х2,М1) = Мз + М1 + Мз, (Я2 М2) = 2ЛХ2 ° (аз,мз) = О (ЛХ1, з~хз) = О, (м,м) =о. (М1,ЛХз) = О. (Н.4) 2. Барицентрическая система координат и пуассоновы подмногообразия. Приведенная пышс родукция относится к произволь- Можно показать, что переменные ЛХ,Х,У,Я коммутируют с интегралом полного момента системы относительно произвольной точки и квадратом полного импульса. Следовательно отабралгение (Н.2)- (Н.З) соответствует редукции по этим интегралам, прп этом ранг первоначальной скобки (равный 12) падает на четыре единицы. Таким образом ранг скобки (НА) равен восьми, функцией Еазимира является квадрат полного импульса (который и отличие от момента выражается через относительные переменные (Н.2)- (Н.З)). Зливчлннв 1.
Нспользаванный здесь н вихревой динамике (см. гл. 4) метод алгебраизации динамической системы, явллетсл частным случаем абшега метода, который основывается па там, чта для канонической симплсктнческай структуры а1 = 2„. др1 Л гйт,, квадратичные функции образуют алгебру зр(о)(3). Каждой конкретной задача саатвстсвует определенная падалгебра в лр(и), абразукэщие которой каммутируют с интегралами движения системы.
426 Ирз,ызгение Н ной инерциальной системе отсчета, для которой в общем случае две проекции полного импульса и полный момент образуют некоммутатищплй набор иптсралоп. В системс центра инерции (барицсптричсская система отсчета) полный импульс равен нулю, следовательно набор интегралов коммутативоп и возмоззна редукция сщо на одну степень свободы. Для понижения порядка в алгебраической форме необходимо ограничить систему па подмпогообразио пулевого полного импульса в алгебре (П.4). Выберем новые образующие в алгебре (Н.4), соответствующие собственным векторам формы Киплинга (о) Ь'~ = —.(Хз+Хз+У~+Уз+А+ А)~ 2 =,/з Яг = — (1'з + Уз — Хз — Уз), 1 4 Ьз = — (2Хз — Уз+ 27з — Уз+ Хе — Уз), 1 4ч'3 о4 = -(Хз — Хз — Уз +1з+ А — А) 1 6 (Н.б) Лз = Хз — Уз — 1'з + А: Яз = — Хз — Х, + У, + г„ -~1 (М1 + Мз з+ 1 тгб Жз = — (М, — Мз), 1 чг2 Жз = — — (Мг — 2Мз + Мз), 1 Я Переменные Яз, Яз пропорциональны проекциям полного импульса па две стороны трсугольпика (см.
рис. 79). Линейная оболочка Яз,Ьз образует идеал в алгебре (НЛ), следовательно, подмногообразие нулевого импульса Вз=й, Вь=О (Н.б) является пуассоцовым. Ограничивая систему ца (Н.б) и, упорядочивая 427 оставшиеся переменные следующим образом: х = (од, Яг, Яз, Яз, дддд, дддг, Хз), получим таблицу коммутационных соотношений !(шз,*хН = (Н.
7) Функция Казимира структуры (Н.7) совпадает с квадратом полного момента относительно центра масс 14г 1 (К~ ) (Х, Х) (Н.8) где (а,Ь) = адбд — агбг — аз1дз — скалярное произведение в пространстве Минковского. Чддслитель и знаменатель этой дроби являются функциями Казимира цодалгебры ло(1,2) З„Кз с образундщими (Яд, Яг, Кз,ддддддддг;дддз), при этом (Х,Х) = 2дл~, где дл -- площадь треугольника, образованного частицами.
Алгебра 17, соотвстствудошая скобке (Н.7) представляет собой полупрямую сумму. дюдалгебры, образованной элементами од. г — 1...., 4 и трехмерного коммутативного идеала: 1г = (зо(1,2) В Л) Ю, Лз. Квадраты импульсов н взаимных расстояний могут быть записаны в форма 1 (еюХ) од~. 2(еь,Я,Х) Яз — , '2(ед, Я) (ЯдХ) (еь,Х) (Я,Я) 3 (Х,Х) Мд.=(еюХ), Й=1,2,3, (Н. 9) где Я = (од, Яг, Яз), Х = (дуд,1ддг,дддз). векторы ел имеют вид ед †: — (-2, -Л, 1). ед ':- — (-2,(), -2), ез -= — (-2д -Л: 1) 1, .
1, 1 Л ' ' 7бд ' ' ' ' Л и удовлетворяют соотношению (е„, еу) = 1 — дддэ (а, Ь, с) — определитель матрицы из компонент векторов а. Ь, с (форма объема). О -оз О 52 Яд О О О д'д1з — Л'з О ддг ддд — 52 О О . эд О --дд'з О О Х О О вЂ” Л' -Хг Адд Π— 1д7д Хг О О Хз О д'дз д"*г О -Хд Хд Π— дд1г — дд'з О О О О О О Прилежание Н Гамильтониан имеет вид рг рз рз газ ггез 'ггезгиз гятгг»3 г ЛТз ъ"% ъ~Мз (Н.10) 1. Регулярные шестнмерные орбиты являются поверхностями уровня функции Казимира (Н.8). Квадрат площади треугольника неотрицатслен, поэтому для физических симплектических листов (Х,Х) > О.
Топологичсски такая орбита диффсоморфпа Ххз х Ке х 11. Здесь ТХз - касательное расслоение псевдосферы (Х, Х) = сг, «радиус» которой принимает неотрицательные значения сг с 2+ = (О, ос), а последний множитель соответсвует линейной оболочко Яе. 2. Можно показать (ааализируя ранг матрицы (Н.7)). что через точки удовлстворяиощис уравнениям (Х, Х) = О, (Б, Х) = 0 проходят четырехмерные орбиты, дифферморфные касательному расслоению к конусу (Х, Х) = О. Эти орбиты соответсв1чот двиягению частиц по прямой (площедь равна нулнз), и параметризунзтсп постоянной оз = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
