Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Отметим, что если приводимость возмолсна не для всех нерезонансных торов, то на этих торах в отличие от гамильтоцовой ситуации происходит еслабос» псрсмсп»нвапис (которос влечет за собой еслабый» хаос). Прн этом спектр динамической системы на таких торах может быть непрерывным [102], том пс мопса, все другис характористики «пастоншсго» хаоса (максимальный показатель Ляпунова, энтропия и др.) равны нулю. где Ях), »1(д) - 2х-периодические функции от ж и р, получающиеся из обращения абелевых интегралов (В.9). При этом, число врап1ения касательного векторного поля на двумерных инварпантных торах задачи Чаплыгина равно отношению вещественных периодов абелева интегра- ла 396 Прллозселие Н ЗАмичАнив 1.
Уравнения (В.б) могут быть записаны в виде, близком к гамнльтоновым уравнениям на алгебре ао(4) (34 М вЂ” Мх —, С дН дуУХ дН у — К ух —, (В.11) где «гамильтонианл 11 определкетсн формулой Н = -(ЛМ, М) -г -д(ЛМ,'у)., К = . (В.12) ХУ(ЛМ, у) 1 — ХУ(Л у,'у) М = (М вЂ” ну) х -~- у х— Х д1Х . дН дН у= ух —, ду (В.13) Системы (В.11), (В.13) могут быть записаны в скобочнолг виде з = (з, Н), однако получающаяся скобка ие удовлетворяет тождеству Якоби. ззмвчлпнв 2.
В статье (122) приведен ряд систем неголоиомной механики, связанных с качением динамически симметричных тел, которые допускают запись в гамильтоновой форме. Это представление возможно в силу сущест- вования первых интегралов. линейных по скоростям. Злмнчлинв 3. Как показал Ю. Я. Федоров (23Ц после замены времени па пуле- вой постоянной площадей уравнения (В.б) изоморфиы интегрируелзоиу слу- чаю Клебшв в задаче Кирхгофа (которая является гамильтоновой), ЗАМВЧАНИВ 4. В дополнении к кингс (72~ указано одно из возможных обобщений теоремы Якоби, .с помощьаз которой можно проинтегрировать, гишример, задачу о движении неголономного шара Чаплыгина в суперпозиции линейных силовых полей (типа поля Вруна) (17). При атом движение в компактном случае будет происходить по торам (фиксируемыми общими уровнями первых интегралов) размерности ьв ) 2, по существует пз — 2 независимых коммутирующих полей скмметрий из, ..., и и инвариантная нмформа Й такая, что Хлм Й = О, 3 < л ч гь Эти условия нвляются достаточными для интогрируемости в квадратурвх.
Уравнения (В.б) могут быть также записаны в форме, близкой к уравнениям Гамильтона па алгебре с(3),34): ПРИЛОЖЕНИЕ С Алгебро-геометрические скобки Пуассона и их приложения 1. Уравнения Абеля. Гиперэллиптические кривые. Нахождение то шаго решения многих интегрируемых задач механики (случай Ковалевской, Клебша и Стеклова в динамике твердого тела, задача Якоби о геодезических на эллипсонде) приводится к интегрированию системы уравнений Абеля (Абеля- Якоби).
Зги уравнения некоторых переменных (Лг,..., Л ), называемых переменными Абеля (введение которых в каждой конкретной задаче является нетривиальным), могут быть записаны в виде Л', дЛ, Л',.г(Л + ° + '" = бг1Г,; = О....,й — 1, (СЛ) ,Ф(Л,) 'Я(Лл) где бг,...,бл . - вещестнеиные числа, зависящие от значений первых интегралов (константы Абеля), В(Л) полипом степени 2И+ 1 или 2л+ 2 от Л с вещественными коэффициентами, зависящими от констант первых интегралов. При этом каждан из переменных Л; пробегает отрезок, на котором значения полинома Л(Л) неотрицательны, причем знак корня „/Л(Л) меняется всякий раз, когда Л; достигает конца отрезка.
В задаче Якоби о геодезических на эллипсоиде переменными Абеля являются эллиптические координаты, в задаче Ковалевской введение псрсмсппых Абеля является существенно более сложным и пс имеет естественной геометрической интерпретации. Важной особенностью задач., которые проинтегрированы указанным образом (при помощи сведения к уравнениям Абели), является то„что их переменные и время, а также замену, определяющую переменные Абеля, можно считать комплекспозначными, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Система (С.1) имеет особенности в нулях Л(Л).
В окрестности простых иудой полипома особенность можно устрапнтгч введя попую локальную переменную шз = 1г(Л). Поэтому правильнее считать, что Приложение С каждое из уравнений системы (С.1) при фиксированных значениях первых интегралов задано па гипервллиптической кривой Г = 1ю~ = Л(л)), (С.2) а сама система задана на пространстве Янг, тачками которого являются поупорядочсппыо пары (Ры..., Р ), где К С Г (псрсмсшплс Абеля определены с точностью до перестановки). Пусть М" пространство допустимых значений первых интегралов, имеющее комплексную размерность и..
Ка~кдая точка из М"-- фиксированный набор констант первых интегралов определнет гиперэллиптичсскую кривую (С.2). Поэтому это нрострапство пазывастсн лгногвобразиел гиперэллинтических кривых. При переходе к переменным Абеля исходная динамическая система переходит в систему (С.1), заданную на пространстве Л" в, расслоенном над АХ" со слоем Ялг. Это расслоение имеет особенности в кратных корнях многочлепа В(Л). 2. Аналитические скобки Иувссоив.
Следуя работам (44, 45), на фазовом пространстве 1н"" л можно определить аналитические скобки Пуассона следующим образом: 1) Пусть А некоторый набор функций на Х"+л. зависящих только от точки базы М", т. с. от гипорэллиптичсской кривой. (В дальпойшем построении 4 играют роль центральных функций скобки Пуассона. которая становится исвырождошюй иа многообразиях Ал, задаяных уравнениями Х вЂ”.: сопэ1 для всех Х Е .4; %4 -+ А|хм Мл Е М").
2) На римановой поверхности Г или на ее накрывающей à — > Г задана мсроморфпая 1-форма 63(г) — ~ Г: д(г) = д(г, л) бл. При этом требуется, чтобы производные Я(Г) вдоль всех направлений базы, касательных к многообразию Мл, были глобально определеннымп мероморфиыми дифференциальными формами на самой римановой поверхности Г (а пс па пакрыоающой). Во всех содержательных примерах оказывается, что форма 1г либо мероморфна на Г с самого начала. либо мероморфна иа регулярной накрывающей Г с абслевой группой монодромии, причем образ групп гомотопий яг(Г) — ~ я1Г порождается набором циклов с нулевыми по- парными индексами пересеченкй.
Если замкнутая 2-форма .н1 Еб®г,лх) А длх Длгвбро-геонвтриввскив скобки Пуассона и ии приложении ЗОО невырождена в точке обшего положения области Хд и пара (АгЯ) обладает приведенными выше свойствами 1) и 2), то говорят, что задана аналитическая скобки Пйиссони с аннулптором на открытой области Л'в ' в (при этом размерность Х,~ должна быть равна 2д). Из этого опродолспия вытекают следующие свойства скобки Пуассона: (Л;,Л;) = О, (1.,)(Лг)г®Л,.)) = О, Я(Лг)гЛЗ) = бб, (У. Лу) = У, елр)) = О, У 6 А. (С.З) Кроме того, для любых двух функций д;, 1и определенных на пространстве ЛХв: (П(Г),Ь(г)) = О. Приведенные выпи: определения являготся абстрактными.
На самом деле, именно такого рода скобки Пуассона индуцирунгтся с фазового пространства исходной динамической системы. При этом выполнение условий коммутации (С.З) для всех этих интегрируемых проблем является скорее неожиданным, чем очевидным фактом. 3. Переменные действие. А.П.Веселов и С.П.Новиков нашли 1-форму Ц для интегрируемых случаев Горячева- .Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела, а также в бесконечпомерном случае — для уравнений Еортсвсга — дс Фриза. Опи также показали, что переменные действия У, канонически сопряженные угловым переменным на торах Лиувилля, задаются формулой У,= —,~д(Г,Л) 1Л, в, где интегрирование производится по элементам группы Нг(Г ~ Р,в".), где Р -- набор полюсов формы е„г. Переменные действия для волчков Горячева Чаплыгина и Ковалевской приведены, например, в обзоре [60).
(Отметим, что классический метод определении пероменной действия, основанный па нахо>кденни разделяюшихся координат, не пригоден для нахождения переменной действия в случае Ковалевской). Переменныо действия для интегрируемого случая Стеклова Ляпунова уравнений Кирхгофа найдены в работе [1ЗЗ[. При решении задачи о нахождении точного решения какой-либо динамической системы впд формы 1,1 пе известен заранее. Заметим, 400 Прзлозгенае С л*,'~гл л,'Вл, + ° + л =Б(дг. 1=0,....,д — 1 (С.4) ,/й(л ) Л(л„) с некоторыми константами б».
Каждая из систем зквивалентна системе ~У Л; = — *ОП(Л1), (С.б) где 1 1 ... 1 л, л ... л„ Ь вЂ” 11е1Р = 11ег лх 1 1 Л~ г Лл '1 М а Ь1 есть определитель матрицы. которая получается из 1Л заменой 1-го столбца столбцом (б1,...,д1)т. В качестве локальных координат на фазовом пространстве 1У "+л можно взнть первые интегралы 11,..., Г, и дополнить их функциями Казимира 7" б А. Том самым мы однозначно зададим кривую Г. В качестве оставшихся я переменных возьмем переменные Л1,..., Л, на пространстве ВлГ. Тогда на фазовом пространстве Ха+а нндупируется следукпцан структура: ~Ц (Л Я 1~В(Л ) (Л Лз) 0 (Д )1) 0 (С б) Скобки с функциями Казимира опущены. Прн произвольных В(Л) и д,' скобка Пуассона нс обязательно удовлетворяет тождеству Якоби.
Однако, если Л(Л) и б1 определены первыми иптогралами покоторой дипамичоской проблемы, то это тождество также, что перейди от исходных уравнений к системе уравнений Абеля, мы получаем пуассопову структуру на Ю"зл в несколько ином виде. Рассмотрим алгсбраичсски иптсгрируомук1 гамильтопову систему с д степенями свободы. Пусть 11,11,..., 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
