Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(8)) (Ьы Ц) — ЕО»Е» ( Ьгг ГГЗ ) — г(ЗЬКЬ г (кв кз) — еЦ»1ы (ЬыЛз) =;,,Л, )ЬГ,Ле) = О, гт„Лз) = — д,зЛО, (В.б) (гг(,Ло) = Л;, )Л(,лд) = )Л„.ле) = О, прп всех!, 1', й, принимающих значении 1г 2, 3. 0 Ьз — о 22 ЗГ1 — ГГ2 0 0 — Ьз кг Лг Е1 112 Л2 0 ггз Лз — Гз 0 Ло 0 0 О 408 Приложение д Скобка (0.5) явлнется вырожденной и имеет две функции Казимира, фигурирующие в лемме 2. Из (0А) получаом 3 з е'г =Рз = ~Х~ Л ~ Гз =Р4 = ~Х~ И~и., (0.6) и — е где И' — четырехмерный вектор Паули — Лк>банского (точнее его ев- клидов аналог для е(4) -- в классическом случае он определен для груп- пы Пуанкаре).
И'о = (Л., Ь), ЪЪ =- ЬЛо + л х Л. (0.7) Кго коммутационные соотпошопия с образующими аналогичны коммутационным соотношениям для четырехмерного вектора Л: (ОЧ=, ", (оЧ=О, (ки 1)=5, ( „И;) = -И;, (Л„,И;,) =О, (И„,Й„) = О. (Л, Ь) = О, ЬЛе -' л х Л = О. (0.О) Скобка Ли Пуассона (0.5) определяет гамильтонову систему в фазовом пространстве переменных к = (1,л, Л, Ло) Ь= — хЬ+ —,хл+ — хЛ, дл дн дл ОЬ дл ОЛ = — х +ОН х1+ ОНЛ вЂ” Лодл дЬ дег дЛо дЛ ' (0.10) Л = — Л,д Л= дн ХЛ+Л ОН ОЬ "д Общие уровни функций Казимира Г~ = сыск = сз,с, = сопаФ представляют собой симплектическис листы, расслаивающие фазовое пространство (Ь, л, Л, Ле) на орбиты коприсоедпненного представления группы Е(4).
В общем (регулярном) случае размерность симплектического листа равна восьми. Однако прн сг = О или при сз = О размерность орбиты падает на две единицы. Как было сказано выше, сингуллрнал орбита при ст ф О., сз — — О гомеолюрфна (ко)касательному расслоению трехмерной сферы ТЯ~ (Т'К~), и для векторов Х, л выполняются соотношения Сингдлнрасаае орбиты ноприсоедиоеннего предсжаеленип 409 М =- г(гг — 1) Х -- —, (ге+1). 1 1 2 а В этом случае алгебра (0.3) разлагаотся на две семимерные изоморфные пересекающиеся подалгебрьь Ранг пуассоповой структуры каждой падалгебры равен шести, и они игнен>т один и тот гке аннулятор Гг = 2 Лз. Коммутационные соотношения для подалгебры (М,Л): 1МоМ ) — е заМа (М ° Ле) — Л, (М;,Л,) = — — (г,,аЛа+ дмЛо) 1 1 2 (0.11) и подалгебры (Х,Л): (Хб Лд) =- гма1уь, (Ло Ле) = — Ло ()Уь Лд) = — (г;,;ьЛа — дНЛе) .
1 1 2 ' 2 (0.12) В этих переменных пнвариантные соотношения (0.9) имеют вид (Х вЂ” М) Л -, '(Х + М) х Л = 0, (Х М,Л) = О. (0.13) С помощью кпатсрпиоппого умножения опи записываются сщс короче: М = Л ~ХЛ (механический смысл этих соотношений проясняется в ~ 2 гл. 1). На орбите Т'Яз справедливы также выражения г = 2 (ЛоЛ х М+ Л(М,Л) + ЛзМ), Х вЂ” 2 (ЛоЛ х М -Ь Л (М,Л) — ЛзМ) . (0.14) Здесь Н = Н (1,;т, Л, Ло) функция Гамильтона. Уравнения (0.10) на казкдой орбите (регулярной или сингулярной) могут быть записаны (по теореме Дарбу) в обычной квнонпческой форме.
Уравнения движения тпердого тела с закреплонной точкой, приведенные в ч2 гл. 2 (2.9) записаны для иного представления е(4), соотвотствующаго каноническому разлоягсциао подалгобры ео(4) но(3) аЭ ео(3), Для парохода к нему следует ввести новые переменные М,Х по формулам б)О Ирнложеяие В Злмвчлнин. Сингулярные орбиты алгебры и(н) танже могут быть описаны при помощи изложщшой конструкции. Лействитсльпо, С" кад полем вещественных чисел изоморфно 1к~", поэтому существует естественное вложение и1гг) С ло(2и). Это позволнет длн описаннн орбит использовать инварианты ло(2н) (П.1). Можно показать, что сингулярные орбиты минимальной размерности задакзгсн матрицами ранга 1.
Интерпретация таких орбит с точки зрения отображения момента содержится в д б гл. 4. 11РИЛОЖЕНИЕ Е Неинтегрируемость системы Дайсона Динамика системы и взаимодойствующих частиц ращюй массза описывается гамильтоновой системой с гамильтоннаном (гд) Здесь хы...,.г„- кооРдинаты, Уы..., 9„— импУльсы частиц, 1' потенциальная энергии взаимодействия.
Рассмотрим, следуя Дайсону [230]., случай, когда (Е.2) Ъ'(з) = 1п[з1пз[. Системы с таким потенциалом изучались в работе [230) в связи с анализом статистических свойств уровней эноргии одномерного классического кулаковского газа. Аналогично ситуации, отмеченной Калоджеро, для системы точечных вихрей на плоскости [205), положения равновесия системы (Е.1), (Е.2) определают стационарные коллинеарные конфигурации на сфере (точечные вихри располагаютсл в экваториальной плоскости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, также лежащей в этой плоскости (см.
гл. 4)). Поскольку функция 1г 2я-перподична (она даже я-перподнческая), то мщкно считать, что частицы двилзутся по окрузкности. Система с гамильтонианом (ЕЛ) всегда допускает два интеграла Отысканию условий на потенциал Ъ', при котором рассматриваемая система вполне интогрируема (допускает набор из я независимых интегралов, полиномиальцых по импульсам ры..., 9„), посвящено большое число работ (см. обзоры в [91, 137'). Если Г' непостоянная аналитическая периодическая функция без сингулярностей, то при и ) 3 система с гамильтоциаком (Е.1) не может быть вполне интегрируемой [91, 137). Приложение й Потенциал Дайсона (Е.2) имеет вещественную логарифмическую особенность.
Задача об интегрируемости этой системы обсуждалась в работе 1214]. Как отметил Дайсон., система с потенциалом (Е.2) допускает сомойство равновесий х: =хо+и//п,,/= 1,...,п, хз Е П' Частоты малых колобапий, вычислоеные в (214), равны (К.Д) ыз =. 2е(п — з), е -- 1,...,п. (Г.4) Равенство ыи = 0 связано с неизолированностью равновесий (3). Рассмотрим простейший нетривиальный случай, когда и = 3. С помощью интеграла момента Г можно понизить число степеней свободы на единицу.
Длл этого перейдем к неинерциальной барицентрической системе отсчета с помощью канонического преобразования х,р — ~ о,р: Рл Р! Грз Уз Рз Рз+Рз~ Рз Рз+Рз: лз =хз — тз, пз = хе — хз; па =-хз+хз+хз. С учетом равенства Рз = 0 и четности потенциала гамильтониан реду- цированной системы имеет вид Н = рз — рзрз + рз + К(ят) + Ъ'(Пз) + Г(гй + аз). (К о) Эта система имеет устойчивое равновесие Пз = оз = и/3 с равными частотами малых колебаний ыд — — хз = 2 (согласно (К.4)). Вычитая из потенциала 1п з/3/2, можно счнтатзч что в состоянии равновесии полная энергия равна нулю. Естественно о.кидатгч что при малых положительных значениях полной энергии 6 система с потенциалом (Е.2) будет демонстрировать интегрируемое поведение.
Ситуация здесь точно такая же, как и в известной системе Хенова---Хейлеса ((248). см. таклзе [120)). Применля метод нормальных форм с учетом резонанса ыз = ыз, можно найти «квазииптсграл», который очень модлеппо мопяотся со врсмспсм о окрестности положении равновесия (длн системы Хенона-- Хейлеса такую функ- цито вычислил Густавсоп 1244)). Численные расчеты подтверждают это предположение.
На рис. 73 показано почти нптогрируомое поводопно системы при Н = 10. Для 413 Неинтегрируетоеть еиотеиьь доаеонгг гпу~;' им ......— °" р, Ча -о ь р~ Рнс. 74 Рис. 73 болыпих Н система хаотизируется в окрестности сспаратрис. 11ри этом формальные ряды., определяюшие еквазиингеграль, расходятся и для больших Н оп по аппроксимируст поведение системы. Рис. 74 и 7б соответствуют значениям энергии Н = 20 и Н = 22, при которых начинается реальная стохастизациа системы. 5 Рг Рис.
76 11 задаче об интегрируемости системы взаимодействующих частиц с потенциалом Дайсона можно подойти с болсо простой точки зрения, считая канонические координаты оц у и время 1 комплексными переменными. Ьудом искать первые интегралы в виде полиномов по импульсам с однозначными аналитическими коэффициентами. (Заметимь 414 Приложеаие Е что ввиду логарифмической особенности потенциала, энергии Н ветвится в комплексном фазовом пространстве). Оказывается. интеграл моментами .
единственный полиномиальный интеграл с однозначными коэффициентами в системе Дайсона. Это утверждение доказывается с помощью результатов работы Щ. Действительно, пусть г'. = оз (1 < ( < и) - полный набор независимых интегралов в задаче о движении частиц по окружности без взаимодействия. Вычислим производные этих функций в силу гамильтоковой системы с гамильтонианом (!), (2): Г,. = ~~~ 'с1к(жт — жь), 1 < д < Й. (Е.б) Попс гавим теперь в правую часть этих равенств какое-иибудь решение «свободной» системы, например, жз .- л/и,..., л:„г:: (и — 1) гг/а„еи - 1. Тогда правые части (6) будут мсроморфпыми фупкциямп па плоскости комплексного времени, причем и — 1 точек 8 -- 1г/и,...,1-- (и — 1)л/и будут простыми полюсами. Вычисляя вычеты в этих точках для функции (лч)м нетрудно заметить, что они (как векторы Си) линейно независимы.
Следовательно, согласно (95), рассматриваемая система может иметь только один однозначный полипомиальпый первый иптограл. ПРИЛОЖЕНИЕ 1г Топологический анализ обобщенной задачи Чаплыгина Изучим перестройки поверхностей уровня первых интегралон Яб гл. 2) и = 1(Кг -Ь К,' ' К„,') -. '(э., '—.',), К = (Кг — Кгг — сэг~) -~- 4КгКгг, Гг = (в, К)эг = а' уравнений движении Я29) Ч5 гл. 2. Как отмечено в г5,6 гл. 2, эта система может рассматриватьсн как аналог случая Ковалевской при наличии двух однородных полей и при значении константы интеграла Рг равной нулю сводится к частному случаю интегрируемости Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Этот анализ., по просьбе авторов, был выполнен О.
Е. Орел н П. Е. Рябовым (301). Мы излолгим его в несколыго укороченном видо. Рассмотрим сна гала случай Чаплыгина (при этом Кг = 0 и алгебра скобок (5.10) является обычной алгеброй е(3)). Симплектическнй лист задается уравнениями Рг — — О, Гг = (в,в) = 1 н гомеоморсрен ТБг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
