Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Топологический тип изоэнергетической поверхности ф~ = (Н = Ь) можно изучать при помощи проекции 18~ па сферу Пуассона Я~ = (иг + ьг + э, '= 1) (см. (159). В данвой задаче при этой проекции поверхность Щ переходит в некоторун> область на сфере Пуассона, выделяемую условием (Р.1) у(ь) < 1н где у(э) - функция на сфере Пуассона, заданная формулой Напомним, что эта область называется опластыо аозжиэсности деигиения (ОВД). Для различных значений 6 ОВД имеет следующий вид: область пуста при 6 < — 1/2, имеет вид двух дисков при — 1/2 < 6 < О, Приложение Г кольца при 0 < Ь < 1/2 и совпадает со всей сферой при 6 > 1/2.
Это означает, что при Ь < -1/2 поверхность 1;1~ пуста„ при -1/2 < 6 < 0 она состоит из двух Вз. При 0 < 6 < 1/2 изоэноргстическая поверхность гомооморфпа У х Яз, а при 6 > 1/2 опа гомооморфпа ВРз. Уравнения бифуркационной диаграммы находится из условия зависимости градиентов тУП, ЧК, 'ч'Гп и т/Гз. Эти уравнения имеют вид: К=О, К =:: (2Н вЂ” 1)2, Н > (1, К = (2Н+ 1)з, Н > — —.
2 Послодпио два уравнения могут быть получены по-другому. В работо [163) найдено преобразование, раздсляннцео переменные. В новых переменных Л~., Лз динамическая система выглядит следующим образом: 1,=,2я ео, о), ь =,/зр ~,'х лд. где о = 26 — ~/й, /1 = 26+ т/й, К = й = соней Это раздоля|ощсс преобразование вырождается при й = О, поэтому условно кратности корней одного из полиномов Рд =- (Л вЂ” 1)(Л вЂ” Д), Рз =- (1 — Л')(а — Л) дает только часть бифуркационной диаграммы (кроме кривой К = 0). Бифуркационпая диаграмма построена на рис. 70.
Там а~е отмечено количество торов в каждой из областей, на которые бифуркациоппая диаграмма разбивает образ отображения момента. Количество торов можно найти, анализируя формулы перехода от координат (К, а) к координатам (Лы Лз). Топологичсский анализ показывает, что при переходе к случаю я ф О некоторые топологпческпе характеристики обобщенной задачи (как, например, вид бпфуркационной диаграммы) меняются непрерывно, а некоторые (такие как топологический тип поверхности 1/з ) изменяются резко, скачком. Действительно, можно показать, что ОВД на сфере Пуассона описывается функцией 1/з з йл . а1 2(, ~ 2 — эз ез!' Тополоеичеенна онаанз обобщенноб задачи Чоплнзнна Рис.
7б которая при и = 0 дает фунпцизо у(з). Наличие переменной зз в знаменателе при д ф 0 говорит о том, что длл любого значения 6 ОВД исключает окружность оз — — О, том самым поверхность Я~ всегда состоит по крайней мере из двух несвязных кусков. Исследование морсовских особенностей этой функции при д ф () даст слсдузощу1о картину: ОВД пусто при Ь < 6(д), имеет вид четырех дисков (два в области зз > 0 и два в области нз < 0) прп 6(д) < 6 < д~ или двух дисков (по одному в каждой из областей оз > 0 и лз < 0) при дз < 6.
Здесь разделяющая кривая 6(д) задаетсн параметрически: 6 =,, д'=, 8 б [-1,0) 0 (0.1]. 1 — Зга 1 — 1~ Топологичоский тип поверхности и раздолюощис кривью изображопы в плоскости (ь, 6) на рис. 77. Вифуркац ионную диаграмму получим из условия зависимости градиентов ч7Н, нК, 17Ьд и 17Гз (разделяющие переменные прп д.,е' 0 до сих пор не найдены). Можно показать, что она является частью поверхности кратных корней зпобого из слсдузощих полипомов: Рз — ал1 + азй + аз1 + аз1+ ао, зззг = Ьаг -Ь Ьзг + Ьзг — Ь!г Ье; 418 При 1ежеиае Р ьоо ае 0.0( а, Рис.
77 где (1+ 11)з, — 2(а(1 + 71з + а + 3,9 — 88з + 2), ч 4а ') + 77з ь 6(а + П -ь 1) + 48з ф — 2а — О), — 2(аз + аД + За + (7 + 28з(Д вЂ” За — 6) + 2), (1 + а)з + 482(82 а — 1). (1 — а) з, — 2(аз — ' а13 — За — )3 88з — 2). аз + 4а(1+,'Р— 6(а+ Д вЂ” 1) + 48з(а — 211+ О). — 2(а)1+ 18з — а — 3~9+ 28з(а — 3(т+ 6) + 2), (1 — д)' 48з(8з — Л+ 1) ач— аз = нз ое = ао = Ьз = Ьз = ь,-- Ь1 = Ьо = Здесь по-прежнему а = 2Ь, — ~/Х,,Я = 2Й+ и%. На рнс. 78 указано также количество торов в различных областлх образа отображения момента: О, 2 илн 4. При э О эта бифуркационпан диаграмма постепенно прсвращаотсн о диаграмму длн классического случая. Однако количество торов в некоторых областях удваивается.
Это можно объяснить тем., что некоторые торы, пересекаьощне при л =. О окружность лз:. О а проекции на сферу Пуассона, лперерезаготсюе этой окружностью па два тора при д' ~ О. Бифуркацнонная диаграмма и построенные в (301) топологические инварианты позволяктг утверждать, что рассматриваемая задача (являнэщаяся аналогом случая Еовалевской) и классический случая 11ова- 419 Топологической анализ обобщенной задачи Чапльоиша Ь 2.00 ела Ь., ьоа о.аа она %,. -ода Рис. 73 левской пс явля~ется топологичсски (а такжо траокторпо) эквивалентными.
Поэтому эти две задачи являются существенно разными и не могут быть получены друг из друга при помощи аналитического (гладкого) преобразования (вклнччая замену времени вдоль траектории). Интересно было бы сравнить результаты методов качественного анализа для обоих задач (77). 11РИЛОЖЕНИЕ С Устойчивость томсоновских конфигураций на сфере О; = Ое = совах, ~; = ш(Ое)1 + и (1 — 1), Х Г(Х вЂ” 1) сгейОо ы(Оо) = 4лдз в1пОе (О.1) Рассмотрим устойчивость этих частных решений в линейном приближении [184;.
Для этого выбором вариации 6О; н Юд в видо: О~ = Ос+ ООк у~ = ш(Оо)г+ у(1 — 1) + б~р» (О 2) Линеаризованные уравнения для ОО; н Ар; автономны и имеют вид: г — -А.1М, Г 1 4пйх 2 з1п Оо Г(1~' — 1) 1+ совх Оо (С.З) ыпОодуь — — Аыдд; — ООы 4л.Л~ 2вшз Оо 4хй~ в1п Оо здесь А — (Х х Х)-матрица с злементамн М вЂ” г Ам=ба,"~ ' — (1 — бм), ' . (0.4) т=1 в1п — (й — 1) Х Рассмотрим па сфсро систому Х точочпых вихрей одинаковой интенсивности Г; = Г, 1 = 1,..., Х. В абсолютных переменных уравнения движения приведены в 1 2 гл.
4 (2.7). В данном случае система инвариантна относительно дискретной группы перестановок вихрей, и., следовательно, допускает различные симметричные частные решения. Рассмотрим те из них, которые являются аналогами хорошо известных томсоновских конфигураций на плоскости. Вихри при этом расположены па одной широте Оо, в углах правильного Х-угольника и вращаются вокруг его центра с угловой скоростью аи Дифференцированием по времени уравнения (1м2) могут быть приве- дены к системс,>>> уравнений второго порядка следующего вида: 2 В>)>ь = (Аь,; — 2(Х вЂ” 1)(1+ соаз В>)бьд) А,,В>л>.
(С.5) 'Л8к17х зп> Ве (Аналогичные жо уравнении получаются д>ш Вь при исклк>чепии;рь). Рещение уравнения (0.5) имеет вид 6>рь = ~~> С~~ ~си"', где константы Сь, й„, выра>каются через собственные числа и веккио>О торы матрицы Аь;. Элементы Аы зависят только ат разностей (Л вЂ” >). вследствие чего матрица А диагоназнзуется преобразованием Фурье. Собственные значения матрицы представимы в виде Л„, = 2т(Я вЂ” т)> т = О, 1, ..., [Х>>2]. (С.6) Каждому собственному значению соответствует 2 собственных вектора 4> = соз ~ш> и В> ~ = аш ~~н>, > = 1,...,Х В случае четного Х значениям ги = О и т = Х>>2, а в случае нечетного Х только значению тп = О, соответствует единственный собственный вектор >р,.
> [184). Используя (6.5), (С,'.6), находим частоты И И =,, (Л вЂ” 2(Х вЂ” 1)(1+ созе Во))~>~Л~(~ = 8яПз аш~ Во (Сь 7) Г(т (Х вЂ” >я)) » х — (т(Х вЂ” т) — (Д> — 1) (1 + соаз Во)) '> ~. 4лЛ~ аш> Ве Наличие нулевой частоты (0.7) при гп, = О соответствует абсолютной неустойчивости томсоновских конфигураций. Действительно., при возмущсгитх ВВ>, б>>»> соответствующих я> = О, конфигурация (Г'.1) переходит в близкую томсоновскую конфигурацию, которая удаляется от исходной линейно по времени.
При этом устойчивость относительного движения вихрей определяется оставшимися частотами. Для относительной устойчивости необходимо, чтобы оставщимисся Йм бь>ли 422 Приложение 6 соа ВО 1 созе В* = —, ,2 > 1 сове В' = —. 4 о 5' Х-4 при сч' = 5 при Л> = 6 при 4'. Конфигурации с Л = 2, 3 являются устойчивыми в линейнол! приближении. Зьмвчьнс!е 1. Устойчивость прн Вь = Вь требует отдельного анализа с учетом нелинейных слагаемых. чисто мнимыми ~165).
Как видно из (6.7) при приближении к тсватору конфигурации (2.3) теряют устойчивость. Отдельного рассмотрения требует случай Ве — — к/2, когда томсоновские конфигурации становятся статическими (а>(к/2) = О). Как видно из (С.7) при этом длн сч' = 2, 3 все частоты 11,ь равны нулю. При >ч' = 2 устойчивость статических конфигурация следует из сохранения расстояния между вихрями во нремя их данн!ения Я 3 гл.
4). При су = 3 условие псустойчивости томсоцовских конфигураций, найденное в 3 3 гл. 4, 13.43), не выполнено, и статические конфигурации являются устойчивыми. Для Х ) 2 статические конфигурации нвляются неустойчивыми, т. к. появляется частота й>и с положительной вещественной частью. Таким образом, справедливо следу>ощсс обобщение теоромы Томсона об устойчивости правильных лУ-угольных конфигураций вихрей па сфере. Теорема 1. Нравильньсе, счс-уеоль>сьсв конфиеурации вихрей >са сфере> 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
