Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Злквчлннв 2. Орбиты, проходящие через точки с отрицательным зачением квадрата площади (Х,Х) < 0 илн с нулевыми квадратами расстояний нс имеют физического смысла. Построим симплектические координаты на регулярной орбите, аналогичные переменным Лядуайе. -Депри в динамике твердого тела (см. З8, гл. 2).
Для этого применим следуший алгоритм. Для алгебры (Н.7) рассмотрим слсд1чощую цепочку вложошп~х подалгебр я>(1, 2) С ео(1,2) Юе Нз С 1т. На подалгобро ло(1,2) в качество перемешивай действия (импульса) выберем Ь = Ям Для гамильтонова векторного полн с функцией Гамильтона г1 = А е18'г 11 еЖ В е1Нз еД ' гД з' Ж 3. Орбиты и симплектические координаты. В алгебре (Н.7) орбиты, соответствующие физическим движениям системы.
разделяются на два типа. параметр вдоль интегральной кривой 1 является искомой угловой переменной, канонически сопрялзенпой Ь: (1,1) = !. Подбирая константы интегрирования таким образом, чтобы выполнялось соотношение (оз, оз) = — Ь| получаем Яз = ч/Р— Сзсоз1, Яз = ~IП вЂ” Сзз1п1. (Н.11) Фу к . р с= /я — я — 3, бр . г,ч б рем в качестве гамильтониана (Н = С) на подалгебре зо(1,2) Э, Лз. Интегрируя линейные уравнении г1М озЛз — сзЛз ~1М езЛз — 8~Лз <1Лз — езН + ~1Лз С ' г1д С ' г1л С зависимость констант интегрирования от 1,1,С находим из коммута- ционных соотношений длн подалгебры зо(1.2) Ы„Л~. Н1 Я2 Сз Нз Сз С Сз Лз = — о?, — С соз1+ —,,1~ — — А создсоз| —,( — — Ь-зш зш1, С" ' С~/ Сз ~(/ Сз Хз ..
— ъ'| — С ып1-~- — 1 — — Ь соьлып1+ — — Ь ьшьсоь1, ''Сз ' С'1 Сз ' ' ' ~/Сг (Н.12) где Н = (Я,Л), Ь = (Л,Лг). В качестве последней поремонной действия выберем Я = Яз. Окончательно получаем следующие выражения через симплектические координаты (1,да, Е, С, Я) Сз ' С ~( Сз ' ' )' Жз = с" ~ — 'ь'3.' — Сз сов|+ — ' * — 1создсоз1 — "— 1з1пдз1п1), Лз = е" ~ — 'ъ~Х" "— Сз зш1Ь вЂ” ~/ ' — 1созлзш1+~ ( —,— 1 зшьсоз1), о4 = о. (Н.13) 429 Пр хожение Н Переменные Яы Яз, Яз выражаются по формулам (Н.11). Вместо псрсмсппых л, Я можно ввести другую пару канонических переменных ж, р по формулам е« =:с, В =:гр.
Злигчлнив 3. Используя приведенную алгебраическую структуру задачи грех тел, несложно также реконструировать результаты классиков э проблеме понижения порядке. Олнека полученные при этом выражения будут оставаться достаточно громоздскими. Напомним, что в всслсдовапиях Брунса, Уинтнера и еан Еампена в качестве позиционных переменных выбира»ется взаямпыс расстояния.
Папижспис порядка, выполненное Н1арльс, использует расстояния трех тел ет общего центра инерции. Используя алгебраическую форму уравнений задачи трех тел насложно исследовать ес частные решения. Одно пз таких решений было указано Лаграпжом, В этом случае все три тола цаходятсн в вершинах равностороннего треугольника (который в еще более частном случае не меняет своих размеров). Второо решение принадлежит Эйлеру и определяет коллинеарные стационарные конфигурации. Все эти решении можно определить по методу, изложенному в гл.
1, а такжо получить систему соответствующих ипвариантных соотношоний, не являющихся, вообще говоря, пуассоповыми многообразнями. Нсслол«но показать (см. [!93)), что «твердотсльных» стационарных конфигураций в задаче трех тел всего две эйлерова и лагранжева. В задаче гмтел наиболее подробно изучены коллинеарные конфигурации.
»Й По теореме Мультона их число равно — ' [149). 2 В работе [149], где дано топологичсскос доказательство теоремы Мультона с использованием теории Морса. Высказаны также рид гипотез о количестве неколлинеарных конфигураций в задаче п-тел. Насколько нам известно, большинство из них до сих пор не доказаны. Возможно, что алгебраическая форма приведенной системы, предлол«еннея в этом прилсикении, позволит добиться продвил«енин в этом вопросе (см. также ~б гл. 4).
Литература [1) Арнольд В.И. Гомильтоновость уравнений Эйлера динаники твердого гиена и идеальной жидкости. Усп. мат. наук. т. 24, 1969, ге,'Б с 225-226 [2) АрпольдВ.И. Мательатические методы классической механики. Мл Наука, 1991. [3) Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Силтлектическая геометрия.
Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 4. Мл ВИНИТИ, 1985, с. 5 — 140. [4) Арнольд В.И., КозловВ.В., НейштадтА.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Совр. пробломы матсматнки. Фупдамоптальпью паправлопия, т. 3, Мл ВИНИТИ, 1985.
[5) АрхангельскийЮ.А. Аналитическая диналъика твердого тела. Мл Наука. 1977. [6) Багрец А.А., Багрец Д. А. Неинтегрируемость гамилътоновых сис; тем вихревой динамики. Рог. и хаот. дин., т. 2, 1997, гй1! 2, с. 36 43; 58 65. [7) Баркин Ю. В.. Борисов А. В.
Неинтегрирумость уравнений Нирхгофа и родственныт задач динамики гпвердюго тела. М 5037 — В89, Мл ВИНИТИ, 1989. [8) Берут А., Раичка Р. Теория представлений групп и ве приложения. том 1, 2, Мл Мир, !980. Пер. с англ. Ваги!А. НасхЬ~Н. Тйсогу о1 С1ощз 11е!нелеп!а!!опл ат! Арр!и.а!иньч. Рчьт!ч!. Ро!!яЬ Вс!епъ!Бс РпБ!!аЬега. 1977. [9) Белавин А.А., ДринфельдВ.Г.
О реигениях классичесоого уравнения Янга Бакстера для простых алгебр Ли. Функ. ан. и его прил., т. !6, 1982, вып. 3, с. 1 29. 432 чтИТЕРАТУРА [10] Беляев Л.В. О движении многомерного тела с закре ленной псочкой е поле силы т жести Мат. Сборник, т. 114, 1981, с!3, с. 465-470. [11] Биркгоф Длс. Д. Динамические системы.М.-.1.с Гостсхиздат, 1941. Пер. с англ.
В!г!с!соПС.Р. 11угсаспсса! зузгппз. Апсег. Ма!!с. Вос. Со!!ос!. РпЫч ч. сд, 1927. [12] Бирнгоф Г. Гидродинамике. М.-Л.: Гостехиздвт, 1954. Пер. с англ. Вп !с!соПС. Нудтодупаппсз, Ргшсе1оп. [13] БобеикоА.И. Уравненст Эйлера на зо(4) и е(3). Нзо,иорфизм интегрируенвсх случаен Функ. аи. и его прил., т. 20, 1986, 1ч11, с. 61.-65. [14] Богомолов В. Л. Динамика завихренности на сфере. Изв. АН. СССР Мох. жид.
и газа. !977., Рй 6, с. 57- 65. [15] БогомоловВ.А. О двумерной гидродинамике на сфере. Физика атмосферы и океана, т. 1ог, 1979, чСе1, с. 29 — 35. [16] БогоявленскийО.И. Мепсоды качетпвенной теории дини.иических аисте:н е астрофизоке и гизоеой динамике. Мл Наука, 1980. [17] Богоявленский О. И. Ннпсеграруемые случаи динамики твердого тела и сссстегрссруеные сшлвемы на сферах Я". Ичв. ЛН СССР, сер. мат., т. 49, 1985, чг е5, с. 899 .915.
[18] Богоявленский О. И. Опрокидыеаюсциеся солитоны. Нелинейные интегрируемые. уравнении. Мз Наука, 1991. [!9] БолсиповА.В. Соглагоаанные скобки Пуассона на алгебрах Дсс и полнота семейств функций е инеолюции. Изв. АН СССР, сер. мат., т оо 1991, .чй1. с. 68-92. [20] Болсиссовд.В., БорисовА. В. Представление Лаков и согласованные скобки Пуиссона на алгебрах Ди. (в печати, 1999).
[21] БолсииовА.В,. КозссовВ.В., ФоменкоА.Т. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, еозникаюсцие из интегрируемых случаев дштмики лсвердого тела. Усп. мат. наук, т. 50, 1995. Лй 3(3!!;!), с. 3 32. ЛИТЕРАТУРА ~22] 11олсинов А. В., Федоров Ю. Н. Многомерные интегрируемые обобщения систем Стеклова Ляпуново. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1992, № 6, с. 53. 56 !23] Болсиновд.
В., Фоменко А. Т. Геометрил и, топологии интегриру- емых геодезических потоков на поверхностях. Мл УРСС, 1999. ,"24] БорисовА.В. К задаче Лиуввллл. Вестник МГУ, сор. мат. мех. сб. Численное моделирование в задачах механики, Мл МГУ, 1991, с. ИО 118. '25] Борисов д.В. Необходимые и досгпаточные условия интегрируекости уравнений Кирхгофа. Рог. и хаот.
дин., т. 1, 1996, №2, с. 61-76. ;26] Борисов А. В. Веинтегрируемость и хаос в неголономных системах. Известия института математики н информатики. Ижевск, УдГУ, 1998, №1(12), с. 37 — 49. ~27] БорисовА.В., ДудоладовС.П. Показатели Ковалевской и луассоновы структуры. Рог. и хаот. дин., 1999 (в печати). 28] Борисов А. В., Вмсльннов К. В. Иеинтегрируелгость и стохастичность в динамике, твердого ягела. Ижевск, Изд-во Удм. ун-те, 1995. ~29] Парни«в А. В., Козлов В. В. Иеинтегрируемотпь слетел«ы взаилгодействук«игах частиц с потенциалол«Дайсона.
Принята Докл. РАН. 1999. '30] Борисов А. В., Мамаев И. С. Вырожденная пуассонова структура и алгебра Ли в двух задачах гамильтоновой диналшки. Труды 1Х междуяародного семцнара «Гравитационная энергия н гравитационные волныь. Дубна, 1996, Р2-197-401, с. 71 74. ,31] БорисовА. В., Мамаев И, С, Адиабаптческнй хаос в динамике гпвердого тела.
Рег. н хаот. дин., т. 2, 1997, №2, с. 65 — 78. ''32] Борисов А.В., Мамаев И.С. Птшнейные скобки Пуассона и изоморфизмы в динимике. Рог. и хаот. дип., т. 2, 1997, №3/4, с. 72 — 89. 434 ПИТКРАТУРА [33] Борисов А. В., Федоров Ю. Н. 0 двух видоизмененных инпвегрируемых задачах динамики. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1995, !чя6, с. 102-105. [34] Борисов Л.В., 1(ыгвиицевЛ.В. Показатели Кооалееской е классической динамике 7, П. Рег. и хаот. дии., т. 1, 1996, Л51, с. 29 37. [35] Борисов А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
