Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ее независимые первые интегралы, не являющиеся центральными функциями скобки Пуассона (71 есть гамильтониац Н). По определению алгебраической ивтегрируомости, данному в [175), потоки всех первых интегралов липсаризуются иа якобианах отображением Абели. Взнв произвольный линейный поток па якобианс и применив отображение. обратное преобразованию Абеля, для кан1дого из интеграж1в Д получаем систему уравнений Абеля, аналогичную (С,1): й»гебрс-гесл<етриксскис скобки Пуассона и ик приложения 401 выполнено тождество Якоби индуцпруется из первоначального фазового пространства, в котором система гамнльтонова.
Это влечет за собой существование 1-формы Ц (определенной глобально только на накрытии Г)< позволяющей вычислить переменные действия. В работе [133] тождество Якоби использовано длн вычисления констант интегрировании длп уравнений Абеля в случае Стеклова Лнпупова дли уравнений Кирхгофа (которые, видимо, гак и не были найдены Ф. 11еттером, проинтогрировавп>им эту задачу).
ЗАмечАние 1. Другое гамияьтоново представление уравнений йбелп (<14), отличнос от рассмотренного выше. приведено в работс [179]. В работе [42] рассмотрены лиувиллевы замены времени. сохраняющие гамильтоновость интегрируемых дифференциальных уравнений (но, возможно, в новой симплектической структуре).
Такие замены в моханико хорошо известны: преобразование Колосова в задаче Кооаловской [103]< замена параметра в задаче Якоби о геодезических на эллнпсоиде [170]. Замена Колосова, приводпщал задачу Ковалевской, аписываемую в переменных Ковалевской уравнениями (С.1) при л -- 2 соотвотствуст замспс вромспи <1г = (Л< -~- Лз)<>т„ которая приводит (С.1) к системе с двуми степенями свободы и разделяющимися переменными.
Этот пример также показывает, что разделение переменных часто бывает естествешням не в том времени, в котором система пвллетсл вполне алгебраически интегрируемой (по Адлеру и ван Мербеке,175, 176]). Такая замена приводит также к неабелевым торам [42]. ПРИЛОженне 1) Сингулярные орбиты коприсоединенного представления групп ЬО(п), Е(п) В этом приложении приведем в более систематической форме сведении о сингулярных орбитах коприсоединонного представления групп Ли ЯО(п) и 11(п). Как было показано в гл. 2, 3 гамильтоповы систомы на сингулярных орбитах алгебры е(4) естественно возникают в различных механических и физических задачах. При изложении результатов, касающихся многомерных обобщений сингулярных орбит гпз(п) и е(п), мы будем в основном следовать работе [204). 1. Сингулярные орбиты бо(п).
Рассмотрим алгобру Ли бо(п), реализованную как алгебра антиспмметричных матриц: 0 тб ... т„ т1 0 ° ° ° тз — 3 Х с бо(п). вн — з ж 1 0 О 2 Как известно, орбиты присоединенного представления алгебры бо(п) (изоморфного для полупростой алгебры ьоприсоединенному) зап(п — 1) х даются в 11~, ~Ю = ~ как совмсстныс поверхности уровня сис- 2 темы функций Казимира Яь = ТгХ". Иногда вместо этой системы удобно рассматривать эквивалентную систему функций, а именно коэффициенты рь характеристического многочлена: Ьх(Л) = )Х вЂ” ЛЕ! = Л" — р1Л" — рзЛ" — — р . р = , Яз, 1 2 рб ~4 ' 2К2~ рб Кб ' 4~2'~4 ' Оаз; 1 3 1, 1 2 Переход от первой системы ко второй осуществляется при помощи фор- мул!! рь = Я» — р~ Яб-~ —...— рь дом Пля ло(п) справедливо светло[попив Язьг1 — — ТгХ~~~~ = О. из которого следует, что рзь+1 = 0 н Сингулярные орбиты коиригоединенного представления 403 Лемма 1.
Для Х Е во(п) имеет лгесто соотношение ( ) Е ~-„....,( ( ) Е (л,....( )) и«.,.О ы«..,м Здесь и далее Х;,„л, обозначаются матрицы, получаемые из Х вычер- киванием 1ы...,гь спзрон и ум...,гь столбцов, а Р)н л„(Х) — пузауз- зрианы этих матриц 1 р1ц..л (Х) = (Ыхг " ' = Г1 Е ез - 1 -д — зЫ '''зΠ— -ы'.— 11<" б». ь элементы матрицьи Х, (п — ь' чепзньге, твк кок рзььз = О,). где хО с(ос А = ~~ апб а;„;, с(е1МО,;„.
Е и=от<о«- О<а Применив его к гаатрицс Х вЂ” АЕ н учитывая, что рзсьз = О, а опре- делитель аптисиммстричпой матрицы четного порядка равен полному квадрату некоторого полинома (называемого пфаффиаиом), получим утверждение леммы. Следствие. Система уравнений РД„г,(Х) = О задает Айэсци>-инва- риантпное подмногообразие в ясз(гг). Доказательство. Из формулы (1з.Ц следует, что равенство р„у = О эквивалентно равопству путо каждого слагаемого, явля~ощсгося полным квадратом. Несложно также показать явно, что (хзз-:РГц з.
(Х))'(,~ Ч 1 < 1д < .. Дь < и, 1 < з, < ... г'.ь < и. ()з.2) Используя коммутационные соотношения (х,„з,хы) = 6зьхгз— — дзчхзь + дахзу — б;ьхзп можно убедиться, что существует трн различных случая.
Доказательсгиво. Для произвольной и х п матрицы А вводом матрицу з1з с элсмсптамн ЛХ; = А; — аиб, . Приводя в выражении для детерминанта матрицы А подобные слагаемые при произведенипх диагональных элементов, получим равенство Прилозссние В 1) Если (1,1) С ~1ы ...1А), то равенство (А1.2) выполняется, так как Р~ц 0(Х) не зависит от тех ты, с которыми т., не коммутирует. 2) Есле (1,.1) ц. (1ы...1ь), то ю0 принадлежит подалгебре зо(п — й), для которой Р(;, и, (Х) функция Казимира, и коммутация (Р.2) заведомо выполнена (не только для Р1" = 0.) 3) Если У С (1ы...1А), 1 Ц (1ы...1А), то, полагая У = 1р, можно показать, что (юиглР)т, ~„лл) = ~Р)'ц ~, ~,, и на уровне РЯ,, и = О обращается в ноль. ЗАМЕЧАНИЕ 1.
Приведенное доказательство инвариантности многообразии Р1п ль .—.. 0 может быть обобщена для тех алгсбр. у которых р„ь пс является суммой полных квадратов (например зо(п,т)). Сформулируем еще одно полезное утверждение, доказательство которого гиояспо найти в (204). Теорема 1. Расслеотрим алгебру,чо(д), реализованную анпшсимлсвтричиыми матрицалст Х ч во(а), Хт $ Х = О. Пусть ра ь полный набор вв у1уннций Рилзилчира, явлзюьцигся ноэ$фициеитами харантвритиичесиого миогочлвна с(ес(Х вЂ” Л1) = = ч" р,,ЛА. А Уравнения Р2 = С2 Р2и зь = Сзи 2А РД, ь(Х) = О, где 1 = 2й — 2. при д = 2п, и 1 = 2й — 1, при с1 = 2п ~ 1, задают вложение о зо(д) слвдуюирлг типов сингулярных орбит поирисоедииенного предспьавлвния группы ЯО(д) 2 1) ЯО(с1)]ЯО(2й+ 1) х,Ю(2)" А, д.
= 2п+ 1, ),црО( ) 1Ю(2.) Ю( )--",, = 405 Сингулирные орбиты ноприеоединенноло предетаелен1 и В качестве примера рассмотрим алгебру ио(5). Ке элемент Х б ио(5) могкет быть представлен в виде а1 51 аг йг аз йг 0 11 — 11 0 0 сз -сг --сз 0 с1 сг — с1 0 -а1 -аг -аг 51 бг 53 Лля сокращения записи определим векторы а(аг,аг,аз), Ь(51,5г,бз). с(с1, сг, сз). В этом случае уравнения Р11(Х) = О, г = 1, ..., 5 имеют вид (а,с) =О, .(Ь,с) =О, ахЬ-~-с11=0. (Р.З) Легко видеть, что два скалярных уравнения при 11 / 0 следуют из векторного и вместе с уравнением ТгХг = а~-6~+с~+11г = сопзг система (В.З) определяет однопараметрическое семейство 6-мерных вырожденных орбит вида ЯО(5)/ЯО(З) х ЯО(2).
Однако для полного описания этого вложении (с учетом 11 = 0) нужно рассматривать всс пить уравнений (Р.З). 2. Сингулярные орбиты е(а). Как известно, группа Е(о) = ЯО(п) бу, Вн может быть реализована в матричном виде следующим образом: 111 11 = ' ' ''', 17 й Е(и). 0 0 0 1 Соответствующая ей алгебра Ли е(а) =-= ао(а) Ю, Ли образована матри- цами вида ео(н) Ун О 0 О 0 олемент из 1 с и" (и) представим в видо пары 1 = (1л,и), где 11 е ио*(а) ло(и), и Е К„" = Ви. Тогда а11~ „~(11,1л) = ((ж.р) — 2йди,т,"(и)).
Все орбиты коприсоединенного действия группы Е(п) делятся на орбиты, проходящие через точки с нулевым вектором у (топологически 406 Приложение В устросин«ае так же как орбиты КО(а)), и орбиты, проходпщие через точки с ненулевым у. Длн описании явного влон«енин орбит второго типа в алгебры необходимо изучить структуру функций Казимира, которые описываются следующей леммой'.
Лемма 2. Полный набор функций Кизил«ира алгебры е(п) имеет еид: з р„(х,у) — ~~, ( ~ РЛ., з л„(Х)уз), (11.4) 1<0<...осо 1<З' и где, Х 0 ео" (и) . гн>(п), у б Л"* = Л". Длн доказательства достаточно применить метод «контрактировацил» ннвариантов к функцинм Казимира алгебры еи(п + 1), определнемым фо1»мусой (Р.1). Интересно отмстить, что все функции Казимира будут квадратичными по «абелевым» координатам уз. Из (1».4) следует, что при р„ь = 0 выполнены равенства Р г;,,,зч,;„(Х)у.
= Р)п „ль(Х, у) = О, «„, = 1, ..., и и размерность 1<З"..к орбиты падает. Компоненты „,(Х,у) = ~~ Л~.., „(Х)04=в РСо „(Х,у) 1".з<ь определяют многомерные аналоги вектора Паули Лнзбанского. Уравнении »1'«, л,(Х, у) = 0 задают Ад*,<„й-инвариантное подмпогообразис в с*(п).
Справедливо следующее утверясдение, доказательство которого также можно найти в (204). Теорема 2. Рассмотрим алгебру с(д), реализооанную л«атридами аида Х у'1 гдеХ ело(а), уеЛ. а Луапь ра, — функции Казимира для группы Е(д), получаем»«е при помощи нонтпракции из полного набора функций Казилгира группы ЯО(д+1) Р~„тй --. коэффициснтоа хаРактеРистического многочлена: (ач-0 «.~(( ' ") — »с) =ч „,"„,",, 'с, Сингулярные орбиты коприсоединенного представ гения 407 Р/ц ...зт..ц(х) =- Ие(хп ...,...й)'Р. Уравнения Рз — 21 — 2 = Г'ге †»и в Р/1,, зт,лг(Х)рз. = О, 1<1<о где( = 2й при д. = 2п — 1, 1 = 2й+1 при И = 2п,, задают вложение в е(11) следующих типов сингуяярнвгх орбит коприсвединеннеги представ гения группы Е(д) 1) Е(д)/Л х ЯО(2(й + 1)) х ЯО(2)" " 2, 11 = 2п — 1, 2) Е(Г()/Л Х ЯО(2(й ~-1) + 1) Х ЯО(2)о " ', Г(= 2П.
При й — и — 2 орбиты имеют вид Е(д)/Л х ВО(Г( — 1) и являются кокасательными расслоениями Т*Яо '. Эти орбиты являются орбитами минимальной размерности сроди енспотупростых» (проходящих чорез точку с у у 0) и их вложение описывается только квадратичными фупкцинмиг квадратичной функцией казимира рг и квадратичшлми пфаффианами. 3. Алгебра е(4) и ее орбиты. Алгебра Пи е(4) группы движений четырехмерного евклидова Е(4) пространства является полупрямой суммой яв (4) Юя Ле и может быть реализована матрицами вида Длл десяти ее образующих зг = (згг,згг.ггз), Ь = (Ь,.зи, З)), Л = (Лг, Лг, Лз), Лс справедливы коммутациоппью соотношения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
