Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Векторы ссс в (3.1) определяются при этом системой всех положительных корней соответствующей алгебры Ли, в отличие ог цепочек Тоды, где сх;-- соответствуют только простым корням алгебры. Для обычной цепочки Колод~коро. -Мозера гас могут быть взлты в форме гас,; = ес — е.;, 1 < у < а, где е; стандартный ортонормированный базис в Иж. Указанные выше представлении Лакса Гейзенберга систем Каладжсро — Мозера пс содержат спектрального параметра. Однако в отличие от многомерных обобщений динамики твердого тела (см.
Я 9,10 гл. 2) это не препятствует полноте набора интегралов ТгГ ь. Ь вЂ” А-представление со спектральным параметром длл обычной цепочки (Ап) найдено в ]109]. Обобщение анзатца Мозера и построение представлений Лаков со спектральным параметром длп всех простых алгебр Ли (включал исключительные) получено совсем недавно Докером (11'Но)сег Е.) и Фонгом (РЬоп О.Н.) '226]. В этой работе найдены также иптсгрпрусмыс 'з з.
Системы яи иоджера-- Мозера цепочки, связанные с некоторыми пополненными корневыми системами алгебр Ли. Несмотря на интегрируемость систем Калоджера Мозера ни для одной из цепочек до сих пор, видимо, пс найдено бигамильтопово описание. 3. Метод проектирования, отображение рассеяния. М. А. Ольшанецким н А. М. Переломовым [137) предложено явное описание решений систем Калоджеро Мозера, с помощью проектирования геодезического потока на некотором пространстве матриц. Интерпретация метода проектирования с точки зрения отображения момента и при редукции по симметриям приведена в [237).
Каноническое отображение К: (р, о ) — з (Р+, о ь), определяющее процесс рассеянии для цепочек, допускающих асимптотическое свободное повсдопио г1г[1) р; 1-Ь я;, 1 — ~ ='ос лвляется интегрируемым. Для обычной цепочки (3.3) с потенциалом [3.2) при ьз = О отображение рассеяния выглядит особенно просто [137) + Р -3+1 =Рз ° 1= 1,...,н. д' =д.
' н~ — «-~-1 з 4. Задача Якоби. Иптогрирусмость системы трсх частиц па прямой, взаимодействие которых обратно пропорционально квадрату взаимных расстояний. была известна еще Якоби [170]. Он показал. что данпан задача допускает разделение переменных при произвольных массах частиц и константах взаимодействия. Функция Лагранзка в етом случае имеет вид [3.15) Перейдем к координатам Якоби зязйз + згзздз + зяздз изз + знз + ьоз гпзцз + тязйз хз — щ— ьчз — гвз 372 Гзаоа д Кинетическая энергил при этом остаетсл диагональной — 2М 2М~д~+ —,Мгиз яй(глз + ьэз) те газ М = т~ - гяз +тз, М~ = Мз = хй~ + О!з + гнз гяз + эиз а потенциальная не зависит от Й.
Введем полярные координаты г, сэ в плоскости им из по формулам лз = ~/М~гсозу зз — — ~/Мззгз1п;э и перейдем к каноническим переменным в системе центра масс (Л = 0) (3.16) = — ~рг+ —,, + — зНМ) гз / где в(э ) . + 1м зпз у = гоз ~Р— 81п ф 1/ м~ ьэг —, ьнз Яз — ' соз 1о —, з1п сэ Система (3.16) может быть проинтегрирована методом разделенпл переменных. Ее траектории определньотсл уравнением ае а„— 2В(сэ) .2 2л .2 где а константа разделения.,Е полная энергия.
В случае совпадения масс гпз = газ = гнз = 1 и констант взаимодействип дзз = уз = дзз = 1, функции В не зависит от у. В этом случае задача остаетсл интегрируемой таклсе длл потенциалов взаимодействил типа г' = ге, й = 1, 2, 4. Неинтегрируемость систем при других й обсуждается в (339]. 373 54. Гамильтонг7аа динал171ка систел7 оольтерра Вследствие разделения переменных система 13.15) обладает дополнительным (кроме циклического, связанного с инвариантностью относительно трансляций) квадратичным интегралом. В случае рй = тртт. он имеет вид ~253] л „)г =( "--К'"' 4=1 (3.17) 3 4.
Гамильтонова динамика систем Вольтерра 1. Системы Вольтерра и квадратичные скобки. Рассмотрим пример из математической биологии, связанный с анализом ситуации хищник --жертва )4йч в котором естественно возникают квадратичные и 71убнчные псобки Пуассона. В гл. 4 был рассмотрен частный случай трехмерной системы Лотки Вольтерра, который оказался изоморфным интегрируемой задаче о движении трех точечных вихрей. Более общие однородные и-мерш,ю системы Вольторра могут быть записаны в видо 7Г " =.Фукс) =- (4.1) *Фамгглия Детки н таком общем случае обычно отбрасыааотся, тек как обширное нсследоаакие многомерных систем (4.И было выполнено о фундаментальной раба- те 749). твери где 77о = координата центра масс, ро = 2 ре постояннан 2' п14 циклического интеграла.
Зтот интеграл допускает пспосрсдствоппос обобщение на задачу четырех масс ти1...,., гп4 на прямой, взаимодей7В77нт' ствующих с потенциалом 2 при условии гвт = т4 = 1, 1<4<7<4 (41 — 47) 7нг = гвг = тн )253). Однако для полной интегрнруемости етой системы недостает сщс одного иптограла, который пока псизвостсп. Глава 3 где 4 = [~скс [~ — произвольная и-мерная матрица.
Отметим, прежде всего, что уравнения (4.1) сохраняют иннариантную меру с плотностью тогда и только тогда, когда существует такой вектор оь что Ага = с11вд(А), где сйадА = (акы..., а„„). Исслсдовапис гамильтоповостн систем (4.1) выполнено в [304]. Однако, результаты етого анализа не являются окончательными. В [304[ разобраны частпыс случаи систомы (4Л), прсдставимыс в виде уравнений Гамильтона со скобкой Пуассона, задаваемой квадратичным структурным тензором вида [х;, х,. ) = ссх хс хк. (4.2) Лагко проворить, что тождостпо Якоби для тспзора (4.2) выполняется тогда и только тогда, когда матрица [[с; ~[ кососимметрическая. Зто также следует из возможности приведения структурного тепзора (4.2) к постоянному координатным преобразованием х; = еа'.
Центральными функциями структуры (4.2) нвляются выражения вида ~~с 'ск;1пх; (нли П х' '), ии 1.Н ~~ с0,хс, с3с с К, с — 1 и сс 2 Н:и Пх';*'(ЕВссгс)с сс„гт, Е В. с —...1 (4.3) (4.4) В первом случае (восходящем к Вольтерра [49[) гамильтоновы уравнения сводятся к (4.1) без замены времени, во втором случае необхои димо ввести новос время с)т = П т,,'"Й (зто прсобразовапио приводит, с —.к вообще говори, к потере гампльтоновостп).
с —.. 1 с — 1 где я = (жк,...,оа) — собственный поктор матрицы ! сс ((, соотвотствующий нулевому собственному числу. В качество гамильтопиапов, порождающих па скобка (4.2) уравпония (4.1), в [304[ рассмотрены следующие функции 375 Галагыътоноео, дггнамона светала Вольгперро Составляя уравнения днпжения с гамильтонианом (4.3) и сравнивая их с (4.1)а можно заметить, что должны выполняться соотношения гаад ода ад " Это условие заведомо вьпголнено для систем, описываемых уравнениями ха = 1 ата~хаоьа ха-1) а = 1....
а и в пспсриодичоском ьтг —— ш„.ег —— 0) и периодическом (шг „= ж;) случаях. Например, в периодическом случае матрицу (~гной можно представить в ниде — г,Гп 0 ГгГз 0 — Г,Г 0 ГзГз — г г о ((со ~ = о ㄠㄠ— г„,г„о гго о а гамильтониан Н = ~„г; л;. а=1 Структурный тензор,Уа- в этом случае лвляетсн вырожденным и имеет функции Казимира: при н четном (и = 2Й) Г-а х =П"'- а=.1 при и почетном (еа = 2Й л- 1) Вследствие существования этих функций Казимира. система (4.ое) является пполпс иптсгрируомой при и, < 4 и любых Го Отметим такжс, Глава Б что она всегда обладаег я-мерным интегральным инвариантом с плотностью П х,.
'. При Гг — — Гг = ° . = Га система (4.5) является пнтег«=1 рирусмой для любой размерности. Для псчстпого гг = 2Й 1 полный набор инволютпвных интегралов нейден комбинаторными методами в 1«аб«оте [2о2)«а представление Лаков Гейзенберга со спектральным параметром без ограничения на четность и приведено в [18). При и =- 25 система [4.5) также иптсгрирустсн, если Г| = 1з = ° -. = Гга = о«Гг — — Гв — — . — — Ггь = ~3. Зтот случай сводится к предыдущему нри помощи замены хгь — 11хгь йгь «г = ихгь ««.
Злмвчлнив 1. Интегрируемыми леляютсл также системы вида х,=х,(~~ х«,ь-~,'зч,). 5; = ~~ дчх ---. Н = 1п й 5"'« дН 1=о [4 б) определнемую постоянным кососимметрическим тензором [[1йх[ и по- стоянным вещественным вектором [Йе«... «Й„). при произвольном т < и. Квадратичная скобка в этом случае имеет вид ~х,.ь««х,) = х« «х„.... [х«+««,,«««) = х«+«вв«о Представление Лаков Гейзенбергв се спектральным параметрам приведена н [18).
Квадратнчпью алгебры, опрсдсляомыс структурным тспзором (4.2), не исчерпывают всех возможностей гамильтоновой записи системы (4.1) при соответствующих ограничениях на матрицу [а, ~[. Так, в Х 5 гл, 1 был рассмотрен восходящий к 55 В. Ковалевской пример трехлюрпой системы типа [4.1), допускающий продставлоцис в виде уравнений Гамильтона на трехмерной алгебре Ли. Изложпм, с некоторыми модификациями, другую конструкцию, предложенную в [18, 48) «приводящую к кубической зависимости структурного топзора от фазопых поромопных. 2. Кубичная скобка Пуассона. Рассмотрим гамильтонову систему нида 877 Гамильтоиоеа давал>ика систем Волътерра Введем избыточные координаты У> = очи .
(1 ф у), где а„= >>,. (при этом Уе = У,.;). Скоб>ка Пуассона переменных У„моа>ет быть записана в видо (У>>ч Рм) = Уз>ри>(111>У>1 + Р>кУ>ь + дпрп + /цлУ>ь) (4 7) ()па яоляотся вырожденной и обладает двумя наборами центральных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
