Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 57
Текст из файла (страница 57)
находим соответствУн1шие коэффиЦиенты б рп1'„.1п<ь . В Данном слУчае 1 4( з )' ( ~1 ~12 + '~З ~4); 1 4 -(М12 — М24) 1 — (М12+ М24+ М12+ М24— 1 (М12 + М34 М13 М24 + 1 4 1 1 — ( — Мш — Мзл + М12 + Мзл тг = - ( — Ж1 4. Ьз — ~з 4- А~), 1 4 61 = -(М14 — М22), 1 4 дз — (М12 И24) 1 4 Цз М1 4 — Мзз), М14 + М23) - М14 + Мзз). 112 = (6.18) Канонические координаты (6.14), которые обозначим (я; С, Ь, Н), зада- ются соотношениями 62 Ь1 —— яз = 1% — Мм — константа функции Казим14ра и(3), прн этом 42 м «Н«Р.
где Р О«С вЂ” ъ/(Н вЂ” С)С 8!ПФ -~ТК- НДН- с1. и Ю ,ЛЬ:О~В 4 ~Л, Р— Н, С, шг = ъ/(Р— Н)С вш(Ь + д), ,42 — аТс .-а, ~=,то-луи-о~ь: ~., э~е й,=Н-С, "3 б. Клаееификаиггя и алеебраииеекая икпгерярегяаиия 339 Гамильтонпан в новых переменных может быть представлен в фор- ме Я = — 1!гг(( — С) — 4( — Н)(Н вЂ” С) соко Ь) + 4гг 1 +1п(( — Н+ С)з — 4(Р— Н)С сова(Ь+ К)) + + 1гг(Нз — 4(Н вЂ” С) сове К) ). (6.20) го о'" о о .оооо и Рис.
61. С =03, =я/2 Рис. 62. С = 0.3, К = ягг4 Оо г ге ог К ';;; .;"оо * о'оо Рис. 63. С = 0.3г р, — 0 Построим отображение Пуанкаре на плоскости (д, С) при различных значенипх энергии Е = Я(Ь,Н,К,С). Приведенные на рисунках 61 — 63 поверхности функции анергип при фиксированных К= Ко, .Г- Е и'и 4 Я Ог-- К-оГ э -гг. !'.~ава .,' ол 02 02 01 он о а Д т Овт она Рнс. 64. Н = 0.5. Е = — 3.2 Рнс.бб Н =06 Е= — 33 0лк Рнс. 66.
Н = 0.5, Е = — 3.4 Рве. 67. Н вЂ” 0.5, Š— -3.6 Тогнсоцовской конфигурации прп .0 = 1 соответствует макси- С = Со, Х(Ь,ХХ) = 34(/г.,ХХ.д;С) указывают на слоленое устройство изозпсргстичсской поверхности. Определим секущую плоскость уравпонием Н = Н, значение П. необходимо выбРать таким обРазом, что ЧЕо,Со < Н. УРавпенис Х(Ь,,ХХ,) = Ь имеет единственное решенно с цоловсительпой (отрицательной) производной — '. Как видно из приведеннгих рис. 61 — 03, зто . НН й' справедливо не для всех ХХ, (аналоги'шые условия длн секущей плоскости Ь = й, практичоски никогда по пьшочпнютсн). 'З б.
Кнаееилтияания и аяеебдаичееиая иитедядетацин ОЛ 04 0.3 0.0 02 00 04 0.0л авл Ркс. 69. Н = О.е., Е = — 7.е Рнс. 68. О = 0.5, 00 = — 6.0 мально возможное значение энергии Ет — — 41п2 2.77..., при этом Н = С = '/з: фазовый портрет па плоскости (тС) в этом случае состоит пз единственной прямой С = 70. Фазовые портреты при меньших энергиях (Е < Гт) приведены на рис. 61 69. Закрашенным областям па рис.
64 69 соотвстству~от области, где движспнс невозможно (Д)ь Н,) = Е не имеет решений). Хорошо видно, что при уменьшении энергии стохастнческнй слой сначала увеличивается, занимая фактически ванч плоскость (рнс. 66, 67), а затем уменьшаегсп, сохраняясь лишь вблизи неустойчивых решений н сепаратрис рис. 68, 69. В предела Š— ~ — ос одна из пар вихрей сливастсн и получаотся пктсгрирусман задача -- задача трех вихрей. 5. Представление Лекса — Гейзеиберга. Как мы уже видели, в результате редукции уравнения могут быть записаны па орбите копрпсоодиненпого представлопия алгебры .1и и(п — 1).
Эта орбита сишгулярна и состоит из матриц вида 1 -т 2 где 2 =; = 0 (в системе, связанной с центром завнхренности). Согласно общему принципу (в силу полупростоты. 09 гл. 2) мы можем переписать уравнения в форме Лекса. - Гайзенберга: Ль Й 34В» 1»»аеа 4 где А = ЫН(Ь) дифференциал гамильтониана» который имеет вид Н(Ь) = 'Е". Гурт 10К Мо(Ь). Здесь М„.,; интерпрегируетсн как элемент алгебры н(п — 1), а М; (Ь) .-. это стандартное спаривание между алгеброй п коалгеброй, т. е. при сделанном нами отождествлении М;».(Ь) = + Тг МПЬ = — )э» э»( Явная форма для дифференциала гамильтониана следун»щан: ПН(Ь) =~ Г,Г, 1 М... * 'Мб»(Ь) г,г, г,г г.г » «,д глг !«2 « А=АН(Ь) =1 1 г, е Кслц все интенсивности совпадают между собой и равны единице, то матрица А упрощается: 1 с («»-«н« » 1 ~:»зг««Р 1 » ,«» — «,П» » )«»-«»! (««(« )«„-«»(« В случае, когда интенсивности различны гребуетсн дополнительная процедура, приводнщан коммутатор к стандартному ниду.
6. Стационарные конфигурации. В терминах Ь вЂ” А — пары стационарные конфигурации описывается естественным образом. Условие стациопарности эквивалентно коммутируемости матриц Ь н Ао (Ь, А) =-: О. В нашем случае это означает, что «„— «„» ! »А -т» -т( Ь (1)т то есть ПН(Ь) это линейная комбинация матриц Мьр Поэтому выражение для матрицы А имеет вид Ь б'. 11 гаелилггхнаин» и а геефгаичеснан интедпдетт1ин 343 ОбозначаЯ Ь = .4лч имеем Ьлт = — з11т. Можно показать, что зто возможно лишь при условии Ь = «Лл., Л с В. В свою очередь это эквивалентно тому, что з явлнотся собствспнь1м вектором матрицы х1 (с чисто мнимым собственным значением).
В результате получаем довольно естественный набор соотнопзений: (хг — х„г 1 З1 «1 зз 2 .— Л хг — «~Р 1 ~~2 хд .1 который переписываетсн в более простой формо: = Ллл где Ь = 1, .,., п. 1 (6.21) зь — «1 Уравнения (6,21) могут быть получены и непосредственно из уравнений (1.6) и условия, что каждая точка вращается вокруг начала координат с одинаковой скоростью Л. Стациопарпыс конфигурации изучались в нескольких работах (см. (185, 216, 117)). По-видимому, новые результаты могут быть получены с использованием следующих соображений: 1. Стационарные конфигурации могут быть интерпретированы как собствсппыс векторы матрицы .4, 2. Стационарные конфигурации могут быть интерпретированы как особыс точки гамильтопиапа па орбите (т. с.
па С7»" '). В качестве гамильтопиапа можно взять функцию Й = П зь — з ~з. это лф~ ПОЛО»ЬнтелЬНая фунКцня, которая обращается в нуль на подмногообразии «коллапсам С помощью зтих соображений, а также исследованием услония коммутадии [Х,А] = Ог интересно было бы дать теоретическое объяснение конфигураций из «Дос-Аламосского» каталога, для которых устойчивые состояния вращения реализуются на нескольких концентрических окружностях («атомных оболочках» по Кельвину) (см. рис. 70, где для системы 11 вихрей указаны две возможности 11 = 2 4 9, илн Глава 4 Ь) о в о о) о о о о о о о о о о о Рлс.
70 3 7. Родственные задачи динамики вихрей В этом параграфе мы вкратце остановимся на некоторых задачах вихревой динамики, анализ которых также может быть проведен с помшцыо пал«иконного выше формализма. Рассмотрим вначале задачу о движении вихрей Кнрхгофа, уравнения движения которых в абсолютных координатах уже пс имеют канонической формы н представляют собой гамнльтонову систему с нелинейными скобками Пуассона.
1. Движение вихрей Кирхгофа. Момсцтпая модель второго порядка ]289] является следующим по сложности приближением к описанию гидродинахяической завихренноя:тн, по сравяяеяяикя с модельня точечных вихрей, и часто используется в задачах адвекции (106]. В рамках этой модели рассматриваяотся вихревые пятна с заданной воличи- И = 3-ь 8) (183]. Эти конфигурации обладают., как правило, некоторым типом симметрии (вращательной, илн»«мелят плоскость симметрии).
Совсем недавно в короткой заметке в «я«а»пге» ]191„'быляя указаны неспмметрнческие стационарные конфигурации для системы вихрей равной интенсивности. Теоретически наиболее простой квллотсл задача о количестве колинеарных конфигураций в зависимости от соотношений интенсивностей. В псбсспой мсхапикс (при положительных массах япя) ответ даатся теоремой Мультоная согласно которой всякой перестановке масс тя, ..., ьч (тия > О) соответствует единственная (вращающаяся) коллицеарная конфигурация (доказательство этой теоремы имеется в (149]). Для системы трех вихрей количество коллнпсарпьях копфигурацийя зависит от типа алгебры, определяемой скобками Пуассона Я 3,4). По-видимому, такая свлзь имеется и в общем случае (для системы и вихрей).
'о 7. Роастоонние зада ш аииазгиии оиареп В основу моментной теории второго порядка. описывающей взаимодействие вихрей Кирхгофа, положены два основных предположении: 1. в процсссс эволюции расстонпис между вихрями существенно превышает размер вихрей. поэтому вихри не испытывают деформации; 2. в раздол<енин гагинльтониана пренеброгаются моментами вышо второго порядка. Соответстнуюшая модель может быть представлона в гамильтоновом видо с пслнпсйпой по Л скобкой Пуассона (280) Гьфи = —. дН дйь ' Гьоь 1 — Ль ° дН 8 Р дЛ' Лз Г,д,=- —, дН дни ' (7.1) Гьд,1- Ль - дН Лз дРь с гамильтонпаном (7.2) Н = Нз +Но +Нз, где иой завихрснностн, движущиеся в двумерной идеальной носжимаемой безграничной среде. '1'акие вихревые пятне могут быть описаны эллиптическими вихрями Кирхгофа (110], для которых во время движения сохраняется эллиптическая форма и площадь, а завихренносгь распределена равномерно (отношение полуосей эллипса Л при этом может эволюционировать).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
