Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Однако) в трехмерном случае это пе препятствует интас рируемости уравнений движения. В явном ниде уравнения Эйлера- Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Ли имеют вид [84) 238): 1 1. Рлойцепаые цепочка Тоды щем случае решение уравнений (1.21) ветвится, и система не является алгебраически интегрируемой. Скобка Ли Пуассона, задаваемая структурными константами (1.22). вырождена, ее функция Казимира имеет вид: Л' = ( — е Мгг + (чт — д) Мг Мг + 3мг ) Ул (1.23) где — 2 уМг - ( лг4,3"у + (о — 6)г + (м — д)) Мг У= чче ч (~~очч ( — Š— ( — б))м о ч- д ,АФчч Е:Ег В работе (84) показано, что в случае об — () у ф 0 система пс имеет инварнантной меры с суммируемой плотностью.
Однако, наличие двух интегралов движения влечет за собой существование интегрального инварианта, который можно интерпретировать как сингулярную инвариантную меру. Ке плотность р(М) имеет довольно сложный вид: 2Ух Р(М) = — г [(ечМ, + 11М~) (а М, + с Мз) + ~Л' + 2оЬМ, Мг(егМг + (гМг) ~.уМг + дМг) + + +( М + ЬМ )г(ЬгМг+ егМг)1 У! =(сМ ) (( +э )М 2(сч(У уд)М М - Р Ьд )Мг)» + ~аечМ~г + (аД+ Ьу) ЫгМг + ЬЬМг1 а а, Ь, с - - диагональные элементы тензора, обратного тензору инерции.
Отметим, что хотя трехгаерная система (1.21) интегрируема в отмеченном выше смысле, сс поведение силию отличается от характера решений алгебраически интегрируемых систем типа волчка Эйлера Пуансо. Обсуждая различные определения пнтегрируемости, Дж. Биркгоф советовал не забывать упазание А. Пуанкаре, что система может быть только более или менее интегрируемой (11].
Как правило, в многомерных квазиоднородных гамильтоновых систомах (и > 3) уже пс встрсчастсн случаев, когда существует сложный (трансцендентный) дополнительный интеграл и система является или 31)О Глава 5 32. Ь вЂ” А-пара и бигамильтоионость цепочек Тоды 1. Незамкнутая цепочка, отображение рассеяния. Метод построонип первых интегралов и доказательство интегрируемости незамкнутой цепочки Толы и ее обобщений основывается на представлении Данса- Гсйзспборга ! = [1 е А) (Ч 4 гл. 1).
Без спектрального парах»стра для цепочки (!.8) оно впервые получено Флапекой [237]е Ь1 а ° ° О а,1 Ьз О а1 Π— а1 О А= а„1 О ° ° ав е Ь„ пи †Π° ° ° аи1 О ( ) где а; = е'*1»' «'-е1е 1 = 1,..., и — 1е Ь; = р; 1 = 1,..., 11. Здесь и далее интегралы движения могут быть выбраны в форме 1. = тт1". (2.2) ! 1 и ее 1 При этом гамильтонпан Н = — Тгх з = —, 2 Ьз+ 2, ах.
е=1 е=1 Независимость интегралов (2.2) следует из различия их степеней однородности по импульсам Ь; = р;. Доказательство инволютивностие данное Мазерам [294'. основываетсн на асимптотически свободном поведении: а; » О при ! -«ж»х (частицы разбегаются). Интегралы (2.2) п в этом случае принимают вид 1ь = 2 рве скобка Пуассона (1ье11) = О. е=1 В СИЛУ ТОГО, Чта ФУНКЦИЯ (1ле 11 [ таКжЕ ИптЕГРах ДВИЖЕНИЯ, ИНтЕГРаЛЫ остаеотся ипволютивпы во всс моменты времени. Для величин р~, 11~.
описывающих асимптотическое поведение системы при 1 — 1 жос Оь(1) —:. р+Ь+ е1+ + 0(е в'), ! — 1 4-осе 6 > О, Ь = 1, ..., и, (2.3) дь(1) =рх1-е-д -е-0(еве)е Г -« — ж, алгебраически интегрируемой илп стохастической (многозначный ин- теграле указанный в [34, 35', относится к системе, которан, видимо, не янляетсн гамильтоновой).
,'561 1 зы 1 — А-пара а Лиеалпльтопооость Лепочеп Тода справедливы следующие соотношения ]1 37] (2 4) где 1п(р — р,.), 1(г, Фоч(р-) = — 1п(рт — р,г), д > ': с покоторая константа. Основываясь на представлении (2.1), М. А. Ольшанецкий и А. М. Переломов получили геометрическое описание потока цепочки Толы, как проекции геодезического потока на пространстве симметрических полов~ительпо определенных матриц 137]: Ле(1) = 56(0) + 71п, 1= 1,...,и, (2.5) 1 Ьа ее)(1) 2 Ь,;(1) где Л, — нижний правый минор порядка 1 матрицы сзьее. Матрица Ьо - это 1-матрнца (2.1) в начальный момент времени 1 = 6.
(Соотношения (2 4) могут быть также получены при помощи проекции (2.о)). 2. Отображение рассеяния. Уравнения (2.4) задают интегрируемое отображение о': (р,о ) ~-~ (р'",д~), называемое отображенная рассеяния [294, 137]. Полое корректно, отображение рассенния должно быть определено па множество асимптотичсских траекторий (2.3), которос, очовидно, инвариантно относительно действия однопараметрической группы преобразований (2.6) Ф: (р,с1) — ~ (р,с1+ ар). Первые интегралы потока (2.6), параметризующие траектории рассел- ния (2.3) могут быть выбраны в форме (2. 7) (х — проекции радиус-вектора на плоскость перпендикулярнук> р). Глааа 5 Формулы (2.7) задают отображение Кг" на подмножество, определяемое соотношением (2.8) (х,р) = О.
В связи с тем, что действие группы (2.6) гамильтоиово с гамнльтоииа- ном (1201 Н= — р, г 2 (2.9) отображение рассеяния допускает интеграл энергии Н = Е. Мно1юобразие, задаваемое уравнениями (2.8). (2.9), совпадает с Т" Н" г, на нем определено отображение рассепннп (Н: Т*Яа ' — э Т'Я" ') для траекторий с фиксированной энергией. Поясним геометрический смысл данной конструкции на примере натуральной системы с двумя степенями свободы. В этом случае (2.8) и (2.9) при Н = сопле определяют Т*Я', то есть цилиндр. Угловая координата у на нем соответствует направлению скорости налетающей изи расссивающойсн частицы, а координата вдоль образующей 1 соответствует наикратчайшему расстояния> асимптотической траектории до начала координат (см.
рис. 72). Начиная с Шали (4), считается, что у рассеивающие систсмы с ипфипитпыми траекториями в некотором смысле являр' ются интегрируемыми. При этом в качостве интегралов предлагается рассматривать гр значение импульсов на бесконечности. ко- 0 торые определены длл ка.кдой точки фазового пространства (245). Однако такое представление об интегрируемости лвлнетРис. 72 ся наивным. Для инфинитных траекторий с физической точки зрения речь может идти о хаотическом или регулярном поведении системы при многократном повторении процесса рассеяния для одной точки фазового пространства или о соответствующем поведении некоторой фазовой области даже в процессе одного рассеяния. Указанные выше интегралы не определяют интегралов отображения рассеяния в отлично от обычных первых интегралов системы типа (2.2). Такие интегралы, определяемые некоторой аналитической (как збз 5 2.
Е -- А-ннрн и лнгнжнньтннввввжь нвнв«вн Твдн пРавило, Рациональной) фУнкцией Г(ЧьР), обладают длЯ всех известных интегрируемых систем свойством г (Ч+ гр Р) = 11п' г (Ч+ 1Р Р) ь-ь-х Ь+ в« позволающим корректно определить интегралы отображения рассеяния. Иптогрируол«ыо и поиптогрирусмыс отображоппя рассмотрены в (254, 255). 3. Периодическая цепочка Тоды. Алгебраическое описание цепочек. 1 — А-пара (2.!) можот быть легко обобщена для периодической цепочки годы («1„.ьь — — дд) (ДлЯ этого в пРавый аеРхипй и левый нижний угол матриц Х,А необходимо поставить жа„= =е 1«" «О), Хотя доказательство полноты интегралов (2.2), основанвое на асиматотически свободном поведении.
в данном случае неприменимо, можно показать, что данное 1 — А-представление влечет иитегрируемость. Для явного интегрирования в тэта-функциях и построения переменных действие-угол согласно 132, необходимо прсдьявить представление Данса †-Гейзенберга со спектральным параметром.
О.И. Богоявленским (18) предложен метод построения 1 — А-пары со спектральным параметром длл обобщенных цепочек Тоды (1А), векторы пы...,с«л которых определяются обычными и наполненными корневыми системами простых алгебр Ли (схемами Дынкина). При этом обычная незамкнутая (1.8) цепочка связана со схемой Дынкипа алгебры Ан„а замкнутая (1.9) — с пополнением этой схемы максимальным корнем, так что образуется цикл. Соответствующие 1, А матрицы имеют внд Ь1 Ла| а« /Л Ьз Лан-ь Ла„ ° ° ан ь/Л Ь„ (2.10) а /Л 0 Лаг — аз/Л 0 А= Ла -« -Лан -нн /Л 0 Гзаеи б сана.
Для обычной цепочки '1'оды также существует вторая пуассонова структура, согласованная с первоначальной, найденная в (174]. Однако, она, в отличие от динамики твердого тела, является квадратичной (и;,иьы)г = — а,а, ы (Ь,Ььг], = 2и;, 1 2 (Ь;,ач)г = и„1ц, (1лч.ыач]г = — а;Ь,ез (2.11) (для периодической а ьг = аз, длн незамкнутой и„з = 0). Гамильтопиап длн скобки (2.11) липооп В работе (211] обнарулгена еп1е одна согласованная (кубичная) скобка для цепочки Тоды (см. также (228]). Она имеет внд (а,.Ь,)з = --а,Ь; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
