Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 56
Текст из файла (страница 56)
1»олее нвно это можно показать, перейдя к другому базису в пространстве 1Гв. Рассмотрим базис е»,ег,...,е„следующего вида: е»,...,еи...1 ортонормированный базис в гиперплоскости $~, а е„= () б. Класеифилацин и алеебраичеснан иитерлретаяин 331 = (1/ч~я,...,1/т/я). Переписывая матрицы (6.2) из вихровой алгебры в этом новом базисе, мы видим, что они приобретают вид А„1 0 О ... 0 0 (6.5) где Аи 1 — косоэрмптова матрица размером (я — 1) х (я — 1).
В этом базисе изоморфизм вихревой алгебры с и(п — 1) стаиовится явным. Недостаток такого базиса в том, что его польза сделать симмстричиым относительио всех вихрей. Обобщим эти рассуждсиия иа случай произвольных интенсивностей. Переход к новому базису в С" задаст сопряжение матриц в алгобре (6.2) вида А = СЛ'С ', где С вЂ” матрица перехода. (В нашем случае ее можно считать вещественной и ортогоиальиой С 1 = С~). При такой замене коммутатор вихревой алгебры преобразуется к следующему виду: АГ ' — ВГ 'А = Сй'С 'Г 'СВ'С ' — СВ'С 'Г '( А'С ' = = С(А',В'] С ', где Г' Г'=С '1' 'С= 1 Ъ~ — ил ,'1л 7л — 1,л 7н,н Здесь Г'„1 симметричная (я — 1) х (и. — 1)-матрица, соответствующая ограничению формы Г ~ на гиперплоскость ты Это следует из соотношения С = С Учитывая, что последние строка и столбец матриц А и В обращаются в нуль, находим, что вихревой коммутатор преобразуется к виду (А'„ыв." )г„, Отметим теперь, что матрица Г'„положитольпо определена и пс- 1 щсствеина, следовательно, из нее можно извлечь корень (Г'„) 4.
Тогда замена 332 Глава Л приводит коммутатор (Л'„ ,, В„' ,)г к стандартному. При этом матрицы остаются косозрмитовыми. Это рассуждение также показывает, что рассматрнваомый нами вихровой пучок является подпучком стандартного пучка на пространстве косозрмиговых матриц. Главный вывод, вытекающий из этой конструкции следующий .- свойства вихревой алгебры Ли. отвечающей параметрам Гк,..., Г„полноскью определяются свойствами билинейной формы Г'„,, которая АвлЯетсЯ огРаничением фоРмы Г <, на подпРостРанство Рк = (хк + ° + хн 0) (попросту сигнатурой этого ограничения). Найдем условия, при которых алгебра Гг компактна, то есть нзоморфной алгебре Ли и(Х вЂ” 1).
Необходимым и достаточным условием является з~акоопроделенность формы Г'„,. В этом случае имеются следующие возможности (мы предполагаем, что интенсивности конечны и отличны от нуля). 1) Форма Г ' знакоопределснна, то есть все Г„ одновремонно либо положительны< либо отрицательны, 2) Форма Г ' имеет сигнатуру (и — 1.1) (то есть все Г,; положительны кроме одного). Действительно, для положительной определенности ограничения па Кк требуется, чтобы на одномерном ортогональном, относительно Г, дополнении к 1<к форма Г ' ' была отрицательно опрсдсзспа. Это условно легко найти, если заметить< что ортогональным дополнением к 1'к в смысле формы (ОА) является одномерное надпространство, натянутое на вектор эг = (Гк<...,1 „). Оно имеет вид (ег,эг)г — = ~~< Г ч О.
3) Аналогично, для случая сигнатуры (1, и — 1). Окончательно получаем следу<ощее Предложение 4. Вихревая алгебра Ли л'г является нолпантной в следующих и только в следующих случаях: 1) Все интенснвносл<и из<еют одинаковый знак. 2) Все интенсивности кроле одной полшеительны, и 2 Г, ( О. <=1 З 6. Классификация и алгебраическая интерпретация ,'5 5,'5 3) Все интенсивности кроме одной отрицательны.
и 2 Г, > О. Зямичянив 1. Это утверждение совпадает с тем, что уже было доказано в случае трех вихрей Я 3 гя. 4). Аналогично определим условия, когда вихревая алгебра не будет <полупростой». Это случаетсн тогда и только тогда, когда форма Г'„ , вырождспа па )гы Из линейной алгебры следует, что это условие эквивалентно тому, что ортогональное дополнение к (гх лежит в )гы Последнее в свою очередь означает, что ег Е )г), то ость Г +...+Г -О. ()тметим еще одно обстоятельство.
Подпространство с» С л, натянутое на векторы г1йии, пвляется подалгеброй для любой алгебры из пучка. условие ее компактности точно такие же, что и условия компактности длп всей Ег. форма Г'„„должна быть положительно определенной. Поэтому вихревая алгебра Ег компактна тогда и только тогда, когда компактна подалгсбра Ь, 2. Редукция по симметриям и сингулярные орбиты. Для объяснения происхождения лиевых пучков, связанных с вихревой алгсбройг и описания (сингулярных) симплсктичоских листов, соответствующих действительным двилсениям, рвссмотрнм переход к относительным переменным с точки зрения редукции по симметриям Я 8 гл.
1). Функция Гамильтона (1.2) и уравнения движения [1.1) вихрей инвариантны относительно действия группы Е[2), которое можно представить в виде (6.6) йп в -> е"'в + аке, ь Е Е[2), где ва — (1...., 1), а а. — »и„. Параметры у», о, а,„определякгг трансляцию и поворот, соответствующие элементу д 6 Е(2). ,'1сйствис (6.6) иепуассоногго [2). Лсйствитольпо., интегралы движения (1.4), соответствующие трансляциям — Р, (~ и вращению 1, образуют пуассонову структуру, которая отличается от скобки ЛиПуассона алгебры с[2) на постоянную воличииу иоцикл.
Легко видеть, что этот коцикз является неустранимым [2] и стандартная редукция по моменту [286) невозможна. Для проведения редукции в алгебраической форме Я 8 гл. 1) воспользуемся отображением момента несколько иначе. Глава Е Рассмотрим действие линейных преобразований, сохраняющих форму (, )г (6.1), Соответствующие линейные операторы (матрицы) образуют группу изоморфную П(р., ц)., р+ д = и и удовлетворяют соотношением ХГХь = Г, Г = ойвк(ГН ..., 1"„), а операторы соответствующей алгебры Ли А Е и(р, д): АГ+ ГА+ = О. (6.7) Учитывая, что Г+ = Г, из соотношения (6.7) следует, что матрица АГ является косоэрмитовой. После такой замены (ф(А) = АГ) стандартный коммутатор переходит в коммутатор [, [г- (6,3): ф([А, В]) = [ф(А), ф(В)[г-~.
Преимущество такого подхода состоит а том, что при любых Г, алгебра (6,7) предстанляетсн на одном и том же пространстве косозрмитовых матриц. Однако вместо стандартного коммутатора необходимо использовать [, [г-~. На соответству|ощой коелгебре и'(р,й) в этом случае возникает пучок скобок Пуассона (, )г- . Линейные векторные полн, соответствующие операторам (6.7) а комплексной форме, имеют вид 'Рл = Ак = ф(А)Г 'к и явля|отея гампльтоповыми [3, 'с гамильтопиапом Вл = в(Аг,к)г = ~бк~АГк = ~(ф(А)г,к) = вйтф(А)г.
(6.8) Прн этом коммутатору [, [г- соответствует скобка (, )г- функций Гамильтоне: (ЕЕа<л1(к),ЕЕе(в1(к))г-1 = .~'[[ф(А):ф(В)[г-~к.к). (6.9) Делал стандартное отождествление и(п) и и'(и) при помощи формы (А, В) — Тг АВ, мы можем нано описать отображение момента Н(к) Т,„,(,)ф(А) . Т, вйтф(А), Т, (йкйт) ф(А) о б. олассифииация и алгебраическая иитерярстация 335 Отсюда хл7с ' ' ед7и р(к) -,~ккт— хяе1 ' " зязя (6.10) Формула (6.10) опрсдоляст отображопис па сипгулярпукз симплоктическую орбиту алгебры н(р,г1) (относительно скобки (ч )г- ). ИнтегРал (1.4) 1 = 2 Ггьесзе ЯвлЯетсЯ фУнкцией КазимиРа, следовательно, выполнена редукция по нему.
В случае всех положительных (отрицательных) интенсивностей орбита топологнчески гомеоморфна СР" ', так как при отобралщнии (6.10) склеиваются все точки вида е'"к--- орбиты действия группы вращения (1>.4). На приведенном пространство матриц (6.10) выполним редукцию по оставшимся интегралам Р,сб (1.4). Вследствие их некоммутатпвпости возможна редукция лишь па одну степень свободы Я8 гл. 1). Постоянное векторное иоле, соогветсгвущес транслнции в направлении и = а, + 1о„порождается линейным гамильтонианом вида Н = (к, Гака) =- (к, око)г Несложно показать, что гамильтонианы (6.8), коммутирующие с Ни, поролсдаются матрицами, для которых АГко = ф(А)ко = О. МВ(к.р) = ~зг — з ~ = 1(ЛХ,к,к), А ©я(.с, р) = 1(Ькщк., к), Где ЛХсн гз;..Е МатрИцЫ (6.2). Отабраженне МОМСПта р(К) В СООтпотетеу- ющую алгебру и(р', д'), р'+ д' = и — 1, имеет в этом случае вид т е (к, ко)Гко (к, ко)Гко ''-2~ ЕГ, ) ~ Его То сеть ф(А) принадлежат надпространству 1, определенному в предыдущем пункте (матрицы (6.10) этому пространству не принадлежат).
Теперь легко видстеч что квадраты взаимных расстояний и площадей также допускают естест венное представление вида Глава 4 Матрицы (6.11) удовлстворягот соотпошсшпо ЛХ(к)во = О, т. о. принадлежат подпространству Е, определенному в предыдущем пункте. В компактном случае соответствующая орбита гомеоморфна Сгоп 2 и соответствует приведенному фазовому пространству при редукции на две степени свободы. Зхивчлннв 2.
Устройство н условия компактности нрнаеденко1О фаЗОвого пРостРанства можно цолУчитгч исслеДУЯ (метоДамн аналитической геометрви) совместную поверхность уровня первых интегралов (1А), Интересно, что алгебраический подход позволяет решить и зту чисто геометрическую задачу. Зликчлник 3. (Ко)алгебра и(п) допускает линейную замену переменных Ь, ~-> + Ьз -Ь ЛР, Р = 2 Ьг. Л = сопз1, сохраняющую коммутационные соотношения. При атом орбиты, задаваемые матрицами р 6 п(п) ранга 1, отобрежеются в орбиты. для которых единичный ранг имеет матрица (А — ЛР). Орбита.
задаваемая соотношениями Герона (21) (а компактном случае), после перехода от переменных М, Ь к стандартным переменным алгебры и(п — 1) оказывается именно среди указанных выше орбит при некотором Л. 3. Симплектические координаты. Опишем алгоритм введения спмплектических координат для приведенной системы я вихрей в случае компактной алгебры (и(я — 1)).
Выше был указан способ приведения вихровой алгебры (для етого случая) к стандартному представлению и виде косозрмитовых (а — 1) х (и — 1)-матриц с обычным матричным коммутатором: гйг -шгг + 1Угг ш12 + 1У12 1'Ь2 211,п — 1 + 4У1,п — 1 ш2,п 1 1У1,п — 1 ш1,п — 1 + 1У1,п — 1 ш2,п — 1 + гй2,п — 1 1Ьп (6.12) Зададим пуассоцово отображение В21п 11 — ~ и'(и — 1) па сипгулярнуго орбиту и'(я — 1), которую образуют матрицы ранга 1 (то есть любыс их миноры 2 х 2 равны нулю): Ьг =рг ш11,/Ь11111 агп( рг — у,), Уг = уг)11111 соз(121 — д ), 1, 1=1,..., и — 1. (613) З й. Классифияиггия и алгебраическая иитиряретаяия 337 Каноническая скобка )гггор ) = Б„г переходит в стандартную скобку Ли Пуассона на и'(и .
1). Орбита в переменных Ро иг; задается соотношением Рз+Рз -. 'Р г = С = сопз$. Для вводспил па пей симплсктичсских координат, выполним канони- ческую замену г'о = Рг + Рз + ' ' ' + Р .-г г гг — Рз+ . +Ри згг = Угг иг = — грг+ Рз (6.14) гог — 3 гри — з + гри — 2 ге †Ри — зг Легко видеть. что отображение (6.13) не зависит от зо, следовательно, зг...., зя — г, гг, ° °, ги — з задают симплсктичсскис кордипаты на 2(о — 2)-мерной орбгите. 4. Канонические координаты приведенной системы четырех вихрей.
Сечение Пуанкаре. При помощи описанного выше алгоритма укажем явно канонические координаты для задачи четырех вихрей равной интенсивности. Координаты на алгебре и(3)г соответствующие матричному представлению вида (6.12) газ лз + грз <.в — 2+ гдз Аз вз + гйз газ вг + гуг, (6 1о) лз + гуз — вг + грг г1гз согласно предыдущим рассуждениям, линейно выражаются через пло- Шади и квадраты расстояний и, = р Ь~' Ь„(з), ри = ~~г оз~~' гМы(з), Ьз = ~~г т)~й ~Мы(з), я л<г ь<г г = 1, ..., 3. (6.16) Дли опРеделенио козффнциентов 6~~6,ггг~~г ргп"ь ) воспользУемсл пРедложеписм 3 и матричной реализацией (6.2) элементов гз„„ЛХяг, где Ьг = = азия, глз = — глгзя, глз = Ьгзя, гз я — — -глгзз. Выбором ортогоггалыгуггг 666 матрицу С, приводящую матрицы вихревой алгебры (6.16) с помощью преобразования СТАС к виду (6.5), и следун1щей форме: /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 (6.17) Полагая затем одну пз координат 11;., хи рд в получившейся матрице Аз равной 1, а остальные О, решая систему линейных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
