Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Рис. 64 М13 М24 ™З~ ~124 — 33134 = озг ° М12 11334 М1~ Агз = 41234 = 41, (5. 24) Геометрический смысл этих уравнений заключается в том, что вихри, расположоппыс в начальный момент в вершинах трапоцииг образуип трапецию во все время движения 1см. рис. 55). Данная конфигурация прямой ЛХ1;Мз = М,„,, то точка, начиная двигаться внутри одной области, остается там во всс моменты времени.
При достижспяи границ (331 = О) необходимо сменить зпап времени, и траектория проходится в обратном направлении. В случае, когда прямая М1 + Мз — — ЛХ ,3 проходит внутри областой (5.23), траектория, достигая ее, переходит из одной области в другую и описывается другим решением уравнении (5.21). Характерной особенностью фазовых портретов в случае сферы является появление новой неподвижной точки, отсутствующей в плоском случае. В случае выполнения второго необходимого условия коллапса 1Г~ + Г- "= — 4Г1Г1), как видно из рис. 54,с, часть траекторий, выходящих из начала координат.
вновь попадает туда не достигая границы области 1коллинеарных положений), а часть только после ее достижения. Это означает, что коллапс остается однородным лишь вблизи начала координат. Ь. Зеркально-симметричное решение. Для системы двух взаимодействующих вихревых пар Г1 — — Г4, Гг = Гз общая система четырех вихрей на сфере и на плоскости также допускает инвариантные соотношения Глава 4 обладает зеркальной (осевой) симмстриой, Уравнения, описывающие эволюцию сторон и диагоналей трапеции, имеют вид — 4 4Г~Ь~ (5.
25) Здесь ЛХ = Мм, Мл = Мгз — основания трапеции. Геометрические соотношения мел1ду М, Ь (2.19) в данном случае имеют одинаковую форму па плоскости и сфере: 2 Г, ЬгЛХл+ лг(Мз — Мг) = О, л г (Мз — М1) + в г Мг = О. (о 26) и условие разрешимости Интеграл момента (3,16) имеет вид: Х1 = 2Г,Г,(М, — ЛХ,) — Г',Мз — Г',ЛХ,. (5.26) р Из уравнений (5.25), (5.26), (5.27) следует, что траектории системы в пространстве ЛХг, ЛХг, ЛХз, ЛХл совпадает для динамики вихрей па плоскости и сфере. Различие между этими задачами заключается в виде физических областей, определяемых неравенствами (ог.23).
С помощью уравнений (5.26) выразим гзыЬг по формулам — (ЛХг Мг + ЛХз)~ ° г1г = (Ма Мг + Мз)дч и исключим Ь с помощью рсгуляризующсй замспгл времени вй = йт. 4Ь Мз Мз ЛХг — — 4ГгЬг 1— ЛХ4 ЛХз = 4ГгЬг ~— /1 4 Мг = 8Гг лгг (— ~,ЛХ, Мл =6г,гЛг ~— /1 ~М, МгМл — (Мг — Мз) = О (5 27) З гя Раэрегаилзоге задачи диоажиии созрей иа илосиости и сфере 321 'Пз1з х 2(Г1 12) .
Ре ' нх+,, Вр+В'=О. (5.29) Г1+Га Г1 +Ге Используя (5.29) и уравнение (5.27), находим У „Р 4Г ГЗР 4гзгз (5.30) При Р ф 0 из соотношений (5.28), (5.29) и (5.30) все Мы ЛХз, Мз, Ме могут быть выражены через М,р. Для переменных М, р получим урав- нения вида: г19 (и — Р )(1з(Г + Г ) +Р(à — Г )) Йт 4Гз1'з — з (Р(Га — Гз) — д(Гх + Гз)) (18Р 1"дГЛЛ1 + пт 32РзГз Г~з(Р— 9) + 8( — д)' РГЗМ вЂ” (Р— «з)' ) — (Р(1 2 — Гз) — 9(Г2 + Гз)) (16В ГзГзМ2 + 32РзГздГз(Р— р) +8(Р—, р)зРГзМ вЂ” (Рз . рх)з).
(5.31) По аналогии с цептрально-симметричным решением, рассмотрим про- екцию траектории на плоскость Мы Мз. Физическая область помимо неравенств (5.23) онрсдслястся дополнительным условием (следствием соотношением (5,30) Р(В 4ГзГзгзг) > О. (5.32) В каждую точку на плоскости МыМз, удовлетворяющей неравенствам (о.23), (5.32), проектируются дво различпыс точки фазового пространства (два решения уравнения (5.30)). Это можно более наглядно представить себе, если считать, что по линии М| — Лфз = Рзго склеены две различные области, определенные неравенством (5.23). При достилшннн точкой границы сиз = О, она отражается обратно н движется по Для того, чтобы привести регуляризованные уравнения к системе двух уравнений„выполним замену (5.18).
Вследствие существования интег- рала момента, между переменными азу выполнено соотношение 322 Глава 1 той же траектории, а при достижении границы (б.32) точка переходит из одной области в другую (см. рис. бб.,а, бб, Ь). М, 1 = 0.9, Р = -2.0. и ам,=у„ 0 = 0.9, Р = — 2.0. Ь) Рис.
56 11а рисунках мы длн удобства развернули области. склеенные по 0.2 0.4 0.5 0.8 Г! =2.0, Гз = 2,0 й = О О, Р = — 2.0. 02 04 ОЯ 08 1 12 !4 М, Г! = -1.0, Га = 2.0 0 = 0.0. Р = -2.0. Г! = — 1.8,Гг = 20 /с = 0.0, Р = — 2,0. 05 ! !5 М, Г! = 2.0, Гз = 2.0 Г! = -1 О, Гг . 2.0 0 = 0.9, Р = — 2.0. 05 ! !5 М, Г = — 1.8, Г = 2.0 'з' й.
Ризрешильъье. зада т динамики вихрей на плоскости и сфере 323 2. траектории, заключенаые между границами зль = О. дтььм случеям соогветстнуюь' различные движения вихрей: в первом случае вихри разбегаются, проходя лишь один раз через коллинеарпую конфигурацию, во втором .-- вихревые пары попеременно подходят друг через друга (чехарда Гельмеольци), оставапсь на ограниченном расстоянии. Для сферы существуют только траектории второго типа. Анализ чехарды на плоскости проведен другим методом в [1!7]. Приведем также для полноты уравнения движения и гсомстричсскуьо нптерпретацинз при нулевом моменте О = О, (необходимое условие коллапса (128").
Согласно (5,29) в етом случае у = 77, и все взаимные расстояния Мь, ..., Мл могут быть выражены через псромсппыс х, М по фор- мулам М 1'зх М Гьх,у х Гь(Гь + Гз)з Гз(Гь + Гз) Гь + Гз' 2 ' 2 УРавнениЯ Движении Длн зп = (Гь + Гз)М и х. имеют вил — '= — 2х з 71х 2 Йт 717!ь 1 Гь 1а 2 1 11 Гз 3 — — — + — ти — 2хзи — — — + — х 71т 2 \ Гз Гь/ 2 хГз Гь/ Траектория, определяемая системой (5.33), находится из уравнения Схлз' — 1 1 ьсг Г Ь яь=х' ', а= — ~ — + — /, (5.34) Сха/ 1' 2 (ьГз Гь / ' где С вЂ” константа иптсгрировапин.
Уравнение, опрсдоляьошсс оид об- ЛаСтИ (злз > О) Па ПЛОСКОСТИ 7П. Х ИМЕЕТ Внд (апз — хз)х ГьГз х(рн — ах) — > О. 8Д(Г,+Г,) ) (5.35) линии Мь — Мз = зУоз гдо Аьо — корень уравнения (5.32). Отличие плсзскости от сферы проявляетсн в виде физических областей. Для плоскости (см. рис. 56,а) сущсствуьот 2 типа трескторий: 1. траектории, касающиеся один раз гранины 737 =!) и уходящие на бесконечность; 324 Глава 4 Анализируя (5.34), (5.35) вблизи начала координат >и = к = О, можно заключить, что для зеркальносимметричкого решения одновременный коллапс четь>рох вихрей невозможен. Разобранные вьпце интегрируемые системы вихревой динамики допуская>т достаточно полный анализ с помощьк> качественного исследования динамических систем на плоскости.
В то же время применение для них классических методов явного решения с помощьн> теории специальных (абелсвых) функций приводит к очень громоздским выражениям, но позволпющим составить какого-либо представления о реальном движении (52). л > л>Х>> М >,> (5.36) Значения Ь,>л(АХ) фиксированы функциями Казимира (1.12) и (2Л7). Большинство известных стационарных конфигураций вихрей на плоскости содержится в Лос-Аламосском каталоге (см. (216)).
В нем собраны частные ре>пения, найденные с помощьи> компьютерных расчетов, когда вихри располагаются не только па одной, но н на нескольких концентрических окружпостнх — «атомных оболочках» по терминологии Кельвипа. Стационарные конфигурации на сфере с такой общностью еще не изучены. Условия стационарности (5.36) очень наглядны для нахождения симметричных кояфпгррацпд (!17). На плоскости такое решение представляет собой конфигурацию ЧХ вихрей одинаковой интенсивности Г„ располага>ощихся в вершинах праоильпого многоугольника, вписанного 3. Стационарные и статические вихревые конфигурации.
а. Стационарные конфигурации. Приведенные в Я1,2 формы уравнений динамики вихрей на плоскости и на сфере могут быть использованы для нахождения стационарных конфигураций, явля>ощихся частными решениями уравнений движения. При этом вихри в некоторой вращающейся системе координат являются неподвижными.
Условиями стационарности вихревых конфигураций являются требования сохрапопия Аг(>У вЂ” 1)>2 взаимных расстояний: ЛХО = О. В относительных переменных они имеют одну и ту же форму, как для ковфигурадий на плоскости, так и на сфере: 2 б. Разрешклые задачи дикал!Ока вихрей ка плоскости и сфере 325 в окружность радиуса ЛО.
Система вращается с угловой скоростью Г(1х' - !) ,1 .Л2 (5.37) Г(Ж вЂ” 1) Й соь оо. 4, Л2 (5,38) 11птсроспо, что угловая скорость цепочки вихрей убывает от полосов к экватору, н на зкваторе конфигурация становится статической. ЗАмвчлние б. Для плоских ко!!фигураций ВО- прас об устойчивости в линейном приближении Х был решен еще Томсоном. который показал, что такая конфигурация при 1У < 6 будет устойчивой, а при Ас > 7 — неустойчивой (теорема Томсона). Анализ устойчивости в нелинейном приближении с использованием нормализации Биркгофз был проведен в [158'. Оказалось, 0 что теорема Томсона является справедливой в О точной постановке е смысле устойчивости по Ллпу нову. Обобщение зтих результатов на случай сферы представляет собой содсржатслысую и интересную проблему (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
