Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Увеличение угловой скорости можно обьяснить тем, что при роз»- денни пары вихрей из одного возникает коллннеарная конфигурация, вращающаяся вокруг осн, проходящей через третий вихрь. Этот вихрь практически не оказывает никакого влияния на это вращение, а зависимость угловой скорости от расстояния для пары вихрей дастся формулой (3.31).
292 Глава З Рис. 40. Коэффициент устойчивости длн случаев а) различных положитсльньсх интенсивностей; Ь) положительных интенсивностей (две совпадают): с) равных положительных интенсивностей; сз) одной отрицательной интенсивности. Как видно из рис. 40, коллинеарные конфигурации, происходящие из аналогичных конфигураций на плоскости, неустойчивы уже в линейном приблнсссесзии. Однако коллинеарные конфигурации, появляющиеся из задачи двух вихрей, являются устойчивыми, Природа этой устойчивости хорошо пидна из геометрической интерпретации, представленной на рис.
37. Возмолсно, что явления такого сорта, происходящие в атмосфере Земли ~заведоьсо обладающей диссипацией), ответственны за возникновение различных катастрофических процессов (тисса ураганов), сопровождающих резкие перестройки динамики вихревых образонаний. Обратный процесс, приводнщий к коллапсу (слипншо) двух вихрей. невозможный для моделсс идеальной жидкости, в случае небольшой диссипации и уменьшения лл может приводить к образованию атмосферных вихрей с большой угловой скоросгью вращения.
З йс Доиокение трех вихрей. 0йигий компактный случай 293 Томсоновские решения являются устойчивыми до момента прохождения через статическую конфигурацию. Аналогом формулы (3.32) для томсоновских конфигураций на сфере являетсн выражение г Р— 3гс (езз по+ аз) Л = " изигиз(аг + иг + оз), (ЗА2) 9Рг которое показывает, что томсоцовская конфигурация неустойчива при значении момента (3.43) Р > 3Нг(аг + аг + аз), соответствующего максимальному значению момента для таких конфигураций. Интересно заметить, что формула (3.43) определяет также условия существования статических конфигураций на сфере. Длп этого неоходимо, чтобы Па; 2 а; > 0 (устойчивость конфигурации).
Геометрическая интерпретация па рис. 37 иллюстрирует возможность достижения М своего экстремального движения. Вопрос об устойчивости статической конфигурации не может быть решен прп помощи линейного приближения (как для относительного, так н абсолнзтпого двилеспия). Исследование статичоских конфигураций Х вихрей равной интенсивности, расположенных на экваторе, привезено в приложении С" (29]. Заметим, что возможны также пространственные статические конфигурации, когда вихри расположены в вершинах платоновых тел (тетраэдр, куб и пр., см. также 3 5) [50, 47]. Для случая одной отрицательной интенсивности (Гз с. О, — Гг > > Гг е- Гз) бифуркационная диаграмма приведена на рпс. 34,, и, В этом случае поведение бнфуркационных кривых при увеличении Р аналогично поведению в уже рассмотренных ситуациях.
Существующие в случае плоскости томсоновская и коллинеарнан конфигурация сливаются в точке 4 (см. рис.,'54,<!), а затем по мере увеличения Р исчезают, слившись с одной из коллинеарных веток, родившихся из задачи лвух вихрей. Отличие от случая только положительных иптопсивпостей проявляется в существовании коллинеарных решений, не ограниченных по энергии сверху. Эти решения появляются также благодаря стационарным конфигурациям задачи двух вихрей. Все поллииеарпые конфигурации в данном случае являю ген устойчивыми, в то время как томсоновскап — неустойчива (рис. 40).
Измевонио параметров абсолютного движения вихрей качественно ничем не отличается от случая положительных иптопсивпостсй. 204 1лава 4 В заключение параграфа явно выделим основные отличия сферического случая от плоского. возникающие при увеличении полного момента 0: 1. слияние томсоповских и коллипсариых конфигураций па сфере; 2. рождение устойчивых коллииеариых коифигураций из задачи двух вихрей, вращающихся с большой (бескоиечиой) угловой скоростью в момент появления: 3. наклон и эволкшия плоскости томсоиовских конфигураций: 4.
существование статических конфигураций па сфере. В 4. Движение трех вихрей. Некомпактный случай. Проблема коллапса и рассеннин 1. Движение на плоскости. Рассмотрим движопис вихрой па плоскости при условии (4,1) А = аьаз + азиз + оьаз ~ <О. В этом случае алгеброй скобок Пуассона при 4 < О является алгебра Г4 В ао(2, 1), а в случае А = О разрешимая алгебра. Как указано в () 3, симплектический лист в обоих случаях является иекомпактиым (в первом случая " гиперболоид, во втором параболоид), а траектории изображающей точки па цем могут быть как финитными, так и ипфипитпыми (то жс самос относится к динамике трех вихрей в относительных расстоякиях). Во втором случае говорят о рассеянии вихрей.
Рассмотрим сначала случай 4 < О. Без ограиичепия общности можио положить Гз, Гз > О. Гт < О, — Гз < Гз + Гз. Из формулы — Оазазаз з Л = (а1+ аз+ аз) (4.2) для коэффициспта устойчивости томсоповских конфигураций следует, что устойчивость такой коифцгурации в линейном приближении при различных И определяется величиной суммы обратных иитеисивиостей Я = х агс Поэтому разберем отдельно трп случая, соответствующих значениям Я > О., Я < О, и Я = О. двизиеиие трех вихрей.
Неивжааитлыа случай Рис. 41. Геометрическая интерпретация при различных значениях лзреметров 4, Я, 22. Темным цветом обозначена область пололчительных значений Ие > О, для которой чзз > П. Геометрнческал интернретацил и бифуркационные диаграммы длл различных характерных комбинаций параметров Л, Я и Р приведены соответственно ца рис.
41 и рис. 30. Случай г1 < О и Ь' > О. Геометрическая интерпретация показывает., что в этом случае нри (2 < О возможны лишь финитные двизкенил. лри которых траектория на плоскости интеграла полного момента ограничена с обоих сторон соотношением сз~ > О (рис. 41, а„Ь). Бифуркацнонная диаграмма (рис. 43.а) нри этом содержит лишь одну коллинеарную конфигурацию. По сравнению с компактным случаем меняется также тип устойчивости: устойчивые при положительных интенсивностях томсоновскис конфигурации -- становятся нсустойчивымн (рис, 43, а)), а коллинеарные конфигурации устойчивы. Как томсоповскис, так н коллипсарцью решения определены только в области В > О (рис, 41,г).
Прн ноложительных значениях полного момента воз- Гласа 4 Рис. 42. Бифуркапионные кривые нн плоскости для случаев а) А < 0 и Я > О: Ь) А < О и Я < 0: с) А < 0 и Я = О; д) А = 0 и Я > О. можны как финитныс, так и ипфннитные движения. В силу неустойчивости томсоповского решения„допустимы решения с любой положительной энергией. Случай А < 0 и Я < О.
При этом для любых значений полного момента движение пвлпетсп финитным (рис. 41, д Г). Тоьчсоновские и коллинеарные решения определены только при Х> < 0 и замечательны тем. что энергия всех конфигураций стрсмитсн к бесконечности при уменьшении абсолютного значения полного момента до нулн (см. рис. 42., Ь). Кривая томсоповских конфигураций лежит выше кривой коллинеарных и ограничивает сверху область возможного двпжевия.
Они соответственно устойчивы и неустойчивы в линейном прибли~кении (рис. 43,Ь). Случай А < 0 и 5 = О. При значениях В < 0 возможно касание траекторной границы области, что соответствует устойчноой (см. рис. 43, с) коллинеарной конфигурации (рис. 41,с), энергии кото- 'з4.
движение трех вихрей. Ненимлвктный случил Рис. 43. Коэффициент устойчивости па плоскости для случаев и) Л < О и Я ) О; Ь) А < О и Я < О; с) А < О н Я = О; е1) Л = О н Я > О. рой при уменьшении Р стремитсн к нулю (рис. 42,с). Томсоновские решения присутствуют только при В = О, являются вырожденными, их равновесие — безразлично (Л~ = 0), а сами они возможны при любых расстонниях между вихрямн и заполняют целую прямую (жирная линия на рис. 41, Ь).
Зависимость угловой скорости от расстояния ллежду вихрнми также определяется формулой (3.31). Прямая. соответствующая томсововским конфигурациям, разделяет области рассеивающего и коллапснрующего поведения трох вихрей, Под «коллапсом» понимается процесс одновременного столкновения (в данном случае, трох) вихрей. Полое подробный анализ возникновения коллапса приведен далее, При Р ~ О финитные двилсения присутствуют при любом значении момента, а инфннитные появлянзтся только при отрицательных значениях. Зависимость угловой скорости вращении как томсоновских, так и коллинеарных конфигураций в первых двух случаях (рис.
41,а Г) Риала 4 Рис. 44. Бифуркационные кривые на сфере для случаев а) Л < 0 и э > О: Ь) Л<ОиЯ<0;с) Л<ОиЯ=О;д) Л=ОиЯ>0. качественно одинакова и задается монотонно спадающими, при увеличении абсолютного значения момента, функцпнми. Длн случая Я = 0 угловая скорость вращения коллинеарной конфигурации медленно увеличивается с ростом абсолютного значения О. Последний случай, соответствующий некомпактному движению вихрей, возникает при условии Л = 0 ~разрсшиглая алгебра). Движение возможно только при положительных значениях 17, при которых существуют только две стационарных конфигурации одна томсоновскап (прп этом оихри доил~утек поступатольпо) и одна коллипоарпоя (рнс.
42, о). При В =- 0 трн вихря располагактгся на одной прямой, причем каждый вихрь располагастсн в цсцтрс завихрсппостн двух остальных. Это является следствием возможности сведения задачи и+1 вихря к н вихрям. рассмотренной в )) б. 2. Движения на сфере. Аналогично О 3 построим бифуркациопные диаграммы для сферы, а также графики параметров абсолютного Даиииение трех иихрей. Не>сиииаитний случай движении, используя при малых Р соответствующие зависимости для плоскости и подьзулсь методом продолжении по параметру. Геометрическая интерпретация длл движения по сфере приведена па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
