Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для такого представления имеются некоторые препятствия, вызванные тем., что сстсствсппос представление Лакса — Гсйзспбсрга с рациональным спектральным параметром тесно связано с интегрнруемостью в В-функциях (',241)), тогда как общее решение уравнений (3.6), вообще говоря имеет логарифмическое ветвление на комплексной плоскости времени.
Укажем на интересную аналогию между задачей о трех вихрях (на плоскости и па сфере!) и системой Лоттки- — Вольтсрра, возникающей в математической биологии (34). 1! ля етого представим уравнения (3.6) в виде 'З 3. Деежелее трех вихрей. Общий лехелалтаый случай 273 При прохождении системой вихрей коллинеарного положения (Ь = О) знак в формуле (3.8) следует поменять, поэтому указанный траекторный изоморфизм является, вообще говорн, кусочпым.
Из этой аналогии, в частности, следует, что системы трех вихрей на плоскости и сфере траекторно кусочно-изоморфвы. 2. Три вихря иа плоскости. Алгебраическая классификация. Скобка Пуассона задачи трех вихрей на плоскости мелеет быть получена из (3.3) предельным переходом П, -г оо.
Получившаяся скобка Ли-- Пуассона является вырожденной и обладает двумя центральными функциями. Одна из них (линейная) интеграл полного момента (3.4) В = ~~~ аьМю ь (3.10) где аь = 1/Гл. Другая (квадратнчная функция Казимира) возникает из геометрического соотношения Герона, связывающего площадь треугольника с его сторонами Е = (2Ь) +М, + Мз + Мз 2(ЛХзМз+ МгЛХз+ ЛХзЛХз) (3.1Ц Ь 2чгА (аз — аз)Мг — (аз — аг)ЛХз + (аз — аз)Мз 2~/2АВ (езаз — а1)ЛХг + (еиаз — аз)ЛХз + (агаз — аз)Мз ез— (3.12) где 4 = а1аз + азиз -' а1аз~, В = (аг — аз) + (аз — аз) + (аг — аз)~, Для реальных движений Р = О. Злмвчлннв 2. Для алгебр дг вихрей (Лг > 3) формулы Герона определяют лишь инаарнентные соотношения, а не функции Казимира (З 1).
Вещественный тип алгебры скобок Ди.--Пуассона (3.3) зависит от значений интенсивностей Гы Гз, Гз. Действительно, выберем попые образующие 11, еы ез, ез в виде 274 Глава 4 а В определено соотношением (3.1О). При условии (агаг, агав -~ агав) > О получаем, что вихревая алгебра разлагается в прнмую сумму !(4)— К бг во(3): (В.
еь) = О, 1 = 1, 2, 3, (ем ел) = ез. (ег,ез) = еы (ез;ез) = ег, а при условии (а1иг †' агав + агав) ( О (3.15) в прямую сумму !(4) К В зо(2, 1): (В, сь) = О, й = 1, 2. 3, (ем ел) = — ез: (вг,ез) = еы (вз,ег) = ег. Хотя для равных интенсивностей коэффициент Л = О. с помощью предельного перехода нетрудно показать, что базис (3.12) может быть корректно опродслсц н в этом случае. Симплектический лист в вихревой алгебре !(Л) двумерный и является поверхностью уровня функций (ЗЛО) н (3.!1).
В новых образующих (3.12) функции Казимира имекгг вид В = сопз!., С~ = ег + ег г+ гз гпРи Условии (3.13), са = ез г— ег — ег~ при условии (3.!5). (3.17) П связи с тем, что длн реальных движений в (3,11) Г = О, констан- ты б7, В связаны соотношением г 47г ! ( азагазВ 16 1 а1аг+ азиз+ агав (3.18) Таким образом, относнтельнан динамика вихрей эквивалентна движе- нию некоторой лизображающейь точки на спмплектическом листе, ко- торый является либо двумерной сферой., либо одной из полостей двупо- лостного гиперболоида, определяемых уравненинми (3.17) и (3.18).
З У. Движение трех вихрей. Общий нвжиантниб ахуна!1 275 В случае (3.13) движение изображающей точки (а стало быть трех вихрей н системе центра завихренностп) при любых Р является финитпым, поэтому этот случай будем в дальнейшем называть компактнмж, а случай (3.15), при которозл могут существовать разбегаюшиесн трав!г!Ории не'нвйпактнныль Дви!копия, возникал!щис при условии (3,19) (й1из -' йзйз + й1йз) = О гробу!от отделы!ого рассмотропия.
В базиса й1М1 ! й2М2 ! НЗМз (й! + йз) Ь (й1 — йз) Мз 2(й1 т й2) (й1 й2 + йз)МЗ (М! + М2)(й! + й2) (3.20) 2(й1 + йз) скобки Ли - Пуассона алгебры вихрей приводятся к форме (Р,еь) — О, (ез,сх) = ез, (ез.,е1) = — Р, (ез,ез) = е1. (3. 21) В этом случае алгебра вихрей не разлагается в прямую сумму одно- мерной и трехмерной алгсбр, а является четырехмерной разрешимой алгеброй с максимальным разрешимым идеалом Х Х = (Р, с1, ез). (3,22) С = е, .! ез — 2Рез. (3.23) Реальная динамика вихрей происходит па симплсктичсском листе, задаваемом соотношениями С = О и Р = сонат, которые определяют параболоид„проходящий через начало координат. При Р = О„являющимся необходимым условием коллапса (слинния вихрей), параболоид вырождаотся в прямую, совпада!ощую с осью сз.
Квадратичная функция Казимира, следующая из соотношения (3.11) имеет вид Хаааа 4 Р = асМс + агЛХг+ азЛХзс 6 ™1 Мг Мз 13.24) (нсстограл зпоргни, из соображений удобства, прсдставлоп в зкспопоп- циальной форме). Интегралы (3.24) являются зависимыми, т.е. матрица Нкоби первых интегралов (3.24) вырождена с)(Р.
Ь.) гап1с < 2 (3.2Ь) толысо в одном случае: М, = Мг = ЛХз (в трехмерном пространстве Мс, Мг, Мз вихри образуют правильный треугольник). Решение в видо правильного троугольника понвляотся при касании поверхности 6 Бифуркационный анализ движения вихрей на плоскости. Опишем наиболее наглядную геометрическую интерпретацию днижепнй, исссользусзсусс> в 1327] и продставлосшую па рис. 30. В пространство ЛХ,сМг, Мз уровень линейного интеграла момента (3.10) задает плоскость. Неравенства ЛХь > О еыделсссот не ней область, и которой происходит движение.
Из этой области необходимо исключить нефизичсскио значения расстояний, длн которых псвыполпопо неравенство треугольника (Лсг ( О). Эта область показана на рисунке черным цветом. Прн подходе к ней относительные скорости вихрей ЛХь стремятся к нусно. Поэтому удобнее воспользоваться регуляризованными уравнениями (3.7). После достижения кривой сзг = 0 в уравнениях с3.7) происходит смена знака и движение происходит по той же траектории в обратном порядке. Для абсолсотного движения это соответствует зеркальному отралсепню траектории при прохождении через коллинеарные конфигурации, Злнвчлник 3.
Описанная геометрическая интераретацня не эквивалентна движению изображаюшей точки по симплектическому листу, а смены направлений дзнлсення есть следствие особенностей проекпии из пространства гз, Мс, Мг. Мз в пространство ЗХс, ЛХг, ЛХз. Пусть выполнено условие (3.13), и скобка (3.3) определяет алгебру К СО зо(3). В этом случае симплсктичсский лист компактен (о~), а движение вихрей финитно. Предположим, сначала, что знаки всех ннтенсивнссстей одинаковы в этом случае условие 13.13) заведомо выполнено.
Первые интегралы движении вихрей на плоскости запишем в виде 277 З Я. Делзсенио трех елхреч1. Общая колшактлна случай и плоскости Р в одной точке. Они ограничивакэт по эноргии сверху область возможных двиясоппй (ОВД) и пм соответствует бифуркациоппая кривая нида 13.26) от+а -'-аз Кривыоч получаеощисся при пересечении уровней интегралов 13.24) при уменьшении Ь, аналогичны полодиям в динамике твердого тела 1интерпретацпя Пуансо случаи Эйлера) н явлнются, в компактном случае, овалагеи 1рис.
30). 1'нс. ЗО. Темная часть соответствует нефнзической области на плоскости, задаваемой линейным интегралом Р = сопле и ограниченной условиями Мк > О, для компактного случая а) все интенсивности пололнчтельны,. б) одна из интенсивностей отрицательна. Точка А соответствует томсоповским рсшспиям; à — — коллипсарным: В, С, Р— точки, при которых два вихря слиты в один.
Злнвчлнив 4. Частные решения, соответствующие данной кривой три вихри а вершинах правильного треугольника, вращающегося как твердое тело вокруг ценз'ра завихренности, называючся етомсонолскимн» и являк1тся устойчивымн при выполвоннн условна (3.13).
Дек. Томсон указал их длв прокзвольного числа вихрей равных интепсквностей и показал, что в линейноъ~ приближении такие конфигурации будут устойчивы для числа вихрей чч' < 7, а при чч" > 7 — неустойчивы (теорема Томсона) [117). Однако из-за паличия резонансов в системе, линейное приближение не является достаточным. Устойчивости в нелинейном приближении с использованием нормализации Ввркгофа для кр ( б была доназане Хазпиыгн в )158).
Случай Ж =- 7 требует отдельного исследования ввиду наличия дополнительных резонансов. Вопрос Глава Ч' Ь=О. (3.27) которые приводят к решениям, имеющим одну п ту же степенную функциокальнук1 зависимость, и в общем виде меняет быть представ- лена как Л(Х ) У(оы а2> пз)Х (3.28) где Х(о1, вз, вз) некоторая функции от параметров. Переходя к однородным координатам ш,р М1 . шЛХЗ, М2 -'.' ОМЗ Ч = (1+ и)2 (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
