Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Гллвл 4 Гамильтонова динамика вихревых структур й 1. Динамика точечных вихрей на плоскости Гф; = с Г)Р5 с гамильтонианом Н = — — ~~~ Г;Г 1и'1'5:г.; — «::) + (р; — р.) ). 8л (1.2) Скобка Пуассона, отвечающая 51.1), имеет вид: 51.:5) Система уравнений 51.1) обладает, помимо энергии 11,2), первыми интегралами, связанными с ипвариаптпостыо гамильтопиапа относительно параллельных переносов и вращений системы координат: Я = ~~~ Горо Р = ~~~ Г;Р;, 1 = ~~~ Г,(т~ -Ь Р,').
11А) 1. Динамика в абсолютных переменных. Рассмотрим движение в безграничной идеальной жидкости Х параллельных прямолинейных вихревых нитей с ннтеисивностнми Г;, точки пересечения которых с перпендикулярной им плоскостью имеют координаты (ло р;). Еирхгофом ~74) было показано, что уравнения движения такой системы мол~но записать в гамильтоновой форме 257 5 Ь Динпнинп точечных нагрей нп пеи1снпспи1 Набор интегралов (1.4) не инволютивен: 1Ч йн= —,~~1~, 5=1,...~%~ '2яе зь 1г т (1.6) ГДЕ ЛЛ = ВН вЂ” чрн комплексно-сопряженные числа. Если в правой части (Еб) убрать комплексное сопряженне1 то при равных интенсивностях Гн = Г1 = Г.
й,( = 1, ..., 11' получастсн интегрируемая система при любых Х (188). Действительно, дифференцируя получивп1иеся уравнения по времени, получаем известную систему Калодзееро — -Мозера (3 3 гл. 5) 3. Представление в относительных переменных. Уравнении (1.1) описывают абсолютное двиекение вихрей по отношению к фиксированной системе координат па плоскости. Наличие первых интегралов (1.5), связанных с инвариантностью системы относительно группы движений плоскости Е(2).
позволнет выполнить редукцию системы к отпоситсльпым псрсн1сппым. В канонической форме процесс редукции, аналогичный переходу к координатам Якоби в псбсспой механикс [188, 258), приводит к исключению двух степеней свободы. Понижение на три степени свободы возм1икно лишь в частном случае 2 Ге = О., Р = 12 = О, при этом интегралы (1.5) находятся в инволюции. Ниже Я 3) этот случай более подробно разобран для задачи чстырсх вихрей. 2.
Комплексная форма уравнений вихревой динамики. Приведем еще одну форму уравнений движения вихрей на плоскости (1.1), которая более удобна длн исследования частных решений общей задачи ч' вихрей (см. также 56). Зададим положение вихрей при помощи комплексных чисел вида зь = ли + уь, Й = 1, ..., 1ч', где (:1:ь,рн) декартовы координаты Й-го вихря. Е учетом (1.1) (1.3) уравнения движения можно представить в форме (1! 7) 288 Глава 1 „„)г+ ( )з (1.7) и удвоеные ориентированные площади треугольников.
натянутых на тройки вихрей 1, у, Й ДИь = (т, — т;) Л (ть — т;), т~ = (яя р). Функция Гамильтона в относительных переменных (1.8) Н = — — ~~~ Г;Г 1пМ;1. 8з (1.9) Прямая проверка показывает, что набор переменных МН, Д;уь замкнут относительно скобки (1.3): т1 1 т 1 1 (МИ,Мы) = 4( — дц... — — Бть)Дсд Ч-4( — дл — — дт)Д;.ы 71 1 (М1,Ды ) = ( бм -- ---ддь)(Ми — Моя+ М.яу — МД) Р Гз г1 1 + ~ — би — — Ц~)(М *' — Мга — Мь' — Му ) + г1 1 + (,Гбы — Гд )(Мь — Ми+МИ вЂ” М, ) бп Аю (Д„' Д ..) = Г(Д1.. - Дд. )+ Г (Д,' -;-) + бз„ + Г,(Д вЂ” Д )+Г' (Д*- — Д )+ 81ш ббаа Г (Дсео — Дм)+ Г (Ды — Дя )+ бы Бь Бь„ + Г (Д --Д*'-)+ (Д" - Д'-)- --(Д"--Д').
(1.10) Рассмотрим редукцию к относительным переменным в алгебраической форме Я8 гл. 1), Формальное ее изложение и алгеброгеомстрическая интерпретация приведены в ~ б. Здесь мы ограничимся более наивным описанием. В качестве новых координат выберем квадраты язаимных рассто- нний З 1. Л[инамика токочкак вихрей ка плоскости (1.11) ( !.12) Г;„ы = Л;,ь + Ьм, — Лпй — Ь!1ь = О, р;"и = (2ЬОь) — М;~1+ М~„м + Млл — 2(МО М и -Ь Л1„Мга + Мйг„. Мга) = О. Соотношения (1.1!) отражагот тот факт, что четырехугольник, натянутый на вихри г!и! может быть составлен из треугольников двумп способами (рис. 28). Уравнения (1.12) представляют собой формулы Герона, выражающие площадь треугольника через его стороны.
Можно показать, что после исключения с помощью соотношений (1.11), линей- М а но зависимых переменных Ь; ю оставшие'г',' ся Ь, М опрсдслягот скобку Яи Пуассона. У г л "ф," ~й гх Ниже под пУассоновой стРУктУРой сис- М ЬФ Ма томы вихрей мы будем понимать скоб- ф' ку (1.10) на подпространстве (1.11), а определяющую сс алгебру Яи называть аихревой алггейрон Функции (1.12) являютсн инвариантными соотношенилми, то есть Рис. 28 коммутиругот со всеми образующими на совместной поверхггости уровня (1.12). Возникающие в этом случае тождества вида (Ь, Ргуь) - 0 и (М, г;:ь) —. 0 представляют собой геометрические соотношения между взаимными расстояниями и площаднми гУ точек на плоскости.
Как легко показать, скобка (!.10) допускает также линейную функцщо Казимира, которая являстсн следствием существования иптограла момента вихрей 1 (1.10) лг л О = У Г,ГГГГ;, = г (Зсс) à — О' — Г*) . О ЛП гй=г '=1 Ее поверхность уровня совместно с (1.!2) определяет симплектичес- Скобка (1ДО) еще не определяет пуассонову структуру, так как не удовлетворяет тождеству Якоби. Это связано с избыточностью переменных М, Ь.
Действительно, их полное число равно Се~+ С~~ .... Саче, в то времн как число независимых расстоянийг через гсоторые могут быть выражены все остальные ЛХ, Ь, равно лишь 2л1г —,'1, что приводит к паничи~о липойпых и квадратичных соотношений 260 Взава з кий лист (в общем случае сингулярный) размерности 21У вЂ” 4. который соответствует приведенному фазовому пространству системы (1.1).
Таким образом. относительное двизкеиие вихрей может быть описано гамильтоновой системой со скобкой Лн Пуассона (1.10), зависящей от параметров —. интенсивностей вихрсй. Всщсствсппан форма алгебр Ли отвечающих данным скобкам при различных значениях интенсивностей опрсдсляот топологию симплоктичсскнх листов и следовательно динамику приведенной системы. Естественным с физической точки зрения вопросом является нахождспио условий па интенсивности, при которых данная алгобра нвляется компактной, поскольку это влечет компактность всех симплектических листов.
В этом случае все траектории относительного двилсения вне зависимости от значения энергии и момента (1.13) финитны, и кроме того всегда можно выбрать ограниченную область в пространстве взаимных расстояний, которую вихри нс покидают. В некомпактном случае динамика вихрей существенно инан -- дагке если все траентарии на симплектическом листе фипиткы (что в общем случае пе так) можно подобрать значенин энергии (1.9) и момента (1.13) так, что вихри покинут наперед заданную область. Если выразить Ь; ь из (1Л2) и подставить в уравнения двпженил длн квадратов взаимных расстояний М,, получим уравнения Е. Лаура [273, 274]. С гамильтоновой точки зрения эти уравнения получаются при ограничении скобка Пуассона ('!.10) па аппуляторы (1.12) (з 8 гл. 1).
Получающаяся при этом нелинейная пуассонова структура также является вырожденной. Разрешив уравнения движения относительного положении вихрей, можно найти. использул квадратуры и начальные условия, их абсолютные координаты на плоскости в любой момент времени (117]. Укажем пскоторыс осповпыс закопоморпости динамики точечных вихрей, отмеченныс, например., в (117, 325]. 1, Если в момент ! . 1о вихри проходят через коллинеарную конфигурацию (то есть все лежат на одной прямой), то конфигурации в момент времени ! = 1о ~ т получаютсп отра~кением друг друга относительно этой прямой длн любых т. 2. Системы вихрей не могут проходить более чем через две коллинеарные конфигурации.
Время перехода из одной коллинеарной конфигурации в другую в процессе движения одно и то же. При достижении коллипсарпой конфигурации отпоситольпыс скорости ЯХ, раппы пулю. 3 2. Пппплппа точечных ппхрей на сфере ЗАИЕЧАНИЕ 1. Уравнении во взаимных переменных М. Ь в вихревой динамике вполне аналогичны уравнениям Эйлере--Пуассона в динамике твердого тола. Однако, сели скобка )!и Пуассона. возникающая в последнем случае, определяетсн грушюй Ли, представлнкнцей конфигурационное пространсгво системы, а уравнении Гамильтона получаются из лагранжеаа формализма, то в динамике точечных вихрей алгебра скобок имеет более сложное динамическое происка!!!денис. При этом фазовое пространство не может быть представлено как кокасатсльпос расслоение, поэтому лаграпжсво прсдстаолспис уравнений движения невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
