Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 43
Текст из файла (страница 43)
жестко связанной с несущим телом; йз = ь| ~(~ — матрица угловых скоростей несомого тела в связанной с ним системе координат, ы = В ~В, ы| = Яйзь) ' = ЯЯ ' — угловые скорости в системе отсчета несущего тела. Условие постоянства распределения масс,|1,„ = ~ !нх„а„ т,«пг = сопл«, (то есть,7„=- 0) эквивалентно равенству (8.8) Ы»Д2 — 02! |2. Учитывая, что «несомое» тело имеет закрепленную ось в «несущем», найдем решения уравнения (8.8) в виде: 0 0 0 0 Ле 0 О 0 о о о о — о л о о 0 0 0 и ' '2 0 0 Лз 0 О 0 — а О о о о л, В дальнейшем будем полагать, что а = а(!) заданная функция времени. Это условие приводит к тому, что не появляется дополнительных степеней свободы, обусловленных несомым телом. Функция Лагранжа системы равна сумме кинетических знергий обоих тел.
С учетом соотношений (8.9) ее мо|кно представить в виде (8.10) — 21|! ~~г«((71)ли + ( 2)л ) + ыл ~«ю г 251 'З о. Доилголио тогрдосо гасла с гиросттлогя где ьг введенные выше угловые скорости несущего тела. а коэффициенты матрицы кинетического момента несомого тела К = Ззыз -ь гозЛз являются заданными функциями времени, В отличие от плоского пространства К запглсглт по только от направления оси вращогггля по и от точки скрепления тел. Уравнения движении имеют вид (8.3). по теперь Мр = 0 Цдгор '~риГиии + Ыро Ап Крг ° 1р = (уз)ри + ( 12)ро Прн Л (1) = СО11ЗГ (а(2) = сопяг) получается задача об уравновешеяноог гиростате.
Уравнения движения могут быть записаны также в форме уравнений Гамильтона на алгебре во(4) в векторном виде (8.5). При атом гамильтониан длп уравновешенного гиростата мгпкно представить в форме Н = — (Ь вЂ” Р, А (1 — Р)) -ь — (ог — Я, В (ог — Я)), (8.1Ц 1 1 где компоненты векторов Р, В вьгражаготся через матрицу гиростати- ческого момента по формулам 1г = гбиКуи: Вг = ь-Оо г;Л)с = 1~2~3.
1 По-видимому, система (8.5) с гамильтониаком (8.11) прн произвольных значениях параметров не являетсн ннтегрируемой в отличие от плоского пространства. По крайней мере, для нее не существует общего дополнительного квадратичного интеграла и поведение может быть стохастическим прн определенном выборе парамстров. Ицторссной задачей является нахогкдение интегрируемых случаев атой системы (и аналогичных уравнений для ьз) при дополнительных ограничениях на параметры функции Гамильтона. 3. Уравнения Кирхгофа на Яз, Вз. Если в уравненинх (8.5) считать гамильтониан произвольной (положительно определенной) квадратичной формой порсмсппых Ь, ог, то получаготся уравнения Пирхгофа, описывающие движение по инерции твердого тела в безграничном объеме безвихревой идеальной жидкости в Ф(Ьз), Они совпадают с уравнениями Эйлера на алгебре ро(4)(оо(3.1)), обзор случаов интсгрируемости которых содержится в ~) 1 гл.
2. Относительно физической значимости зтих уравнений приведем высказывание Гаррета Бирвгофа из его замечательной книги (12)г «Предшествующие формулы имеют очевидные аналоги для движений воображаемых твердых тел в идеальной жидкости в неевклидовых Глава 0 пространствах. Конечно, сомнительно, чтобы эти аналоги классических формул имели даже ограниченное физическое значение ... Тем не мепсс, может быть было бы интересно установить пскоторыс из аналогов этих (классических аеиь) формул., с тем чтобы проиллюстрировать влияние кривизны пространства (если оно существует) на величину реакдии безгранично простирающейся идеальной жидкости па тело при установивщемсн двигкениим Злмнчлнин 1. Анализ дви.кения двумерной площадки на сфере Нв под действием потенциальных сил выполнен в ~39], где указан аналог случая Лагрангка, вазника~ощий при динамичеСкой симметрии тела.
Злмвчлнив 2. Приведем без вывода уравнения движения свободного тела в пространстве Лобачевского Ьз (см. такаге ]62]). Обозначим координаты в системе, жестко связанной с талом ш, а в абсолютной системе д". Связь между ними определяется саазношениегя д" = = Н" (С)з, где матрица В = ]!Н" ]] принадлежит группе ЯО(1,3). Перейдем к кеазнскаростям ш Е во(К 3) и кеазяимяульсам М(1вя) аа формулам: гв = В В,(в компонентах ш, = (и )„Не), М= =яЛш+шИЛ, дб дш 2 где и = Й!аи( — 1,1,1,1) метрический тензор пространства Минковского Мл, а Л " = ) тз х" — — тензар моментов инерции в системе, свнзаннай с телом. Уравнения движения в переменных Лая имеют вид а=1 х — +кх —, ПН НН д1 дя (8.12) я=ах — — 1 х —, НН ПН д1 дзг и представлнют собой гамильтанову систему на алгебре во(3,1) в стандартном матричном представлении. Функция Гамильтона в псрсмсппых 1, я может быть записана а виде Н = — (1., А1) + — (я.
Вя), 1 (8.13) где .1 = п1ак(ЛО,АшЛз, Лз). З 8. Доижеиое. тоердого тела е гироетатолг При этом а силу того, что в пространстве Лобачевского выполнено соотношение (х ) — (х )г — (хг) — (х ) = В, справедливо неравенство (х ) > (х'), од де ге ге ег,г г = 1,2,3 и поэтому Ле > Л, г = 1,2,3. Система (8.рб) является интегрируемой — дооолннтельнл|й коаорадичный интеграл можно найти о книге (18].
4. Частные решения. Перманентные вращения. Рассмотрим частные решения свободного твердого тела в Вз (без гнростата). В свклидовом прострапстпс соотвстствующис уравнения, опрсдслнсмыс скобкой алгебры Ли е(3) (МпМ,.) = — О М, (дМд.,рг) = — „ьрю (р,,р,) =О с гамильтонианом Н = — (р, р) + — (АМ, М) 1 1 имеют (в общем случае од ~ аз ~ аз ф од) четырехпараметрические семейства частных решений Мз =Мз ° р;=ром (г=1,2,3), Мд =Ма =бг Эти решения онределнкдт перманентные вращения задачи Эйлера Пуапсо вокруг главных осей эллипсоида инерции, дополненные общим равномерным прямолинейным поступательным движением.
Вращения вокруг малой и большой осей устойчивы, а вокруг средней неустойчивы. Уравнения движения свободного тела на Яз допускают два различных семейства двухпараметрических решений: Ьд = яд = Ез = яз = О, Ьз = Х,з, яз = дгзг (8.14) н яз яз яз из~ о о Вд — — яд —— О, (8.1ое) о Лд+Лз о ~о Лд+Лз о В пространстве Лобачевского второй класс решений отсутствует. Это обусловлено большей симметрией группы 50(4) ЯО(3) З ЯО(3) по сравнению с ЯО(3,1). Отметим также.
что если на Яз векторы гг и Ь равноправны, то в пространстве Лобачевского вектору гг можно придать смысл суммарного импульса, а вектору Й смысл суммарного момента. Раааа Я Анализ устойчивости решений (8.14), (8.15), даже в линейном приближении, представляет собой достаточно трудоемкую задачу. Приводом несколько простейших соображений относительно устойчивости более частных, чем (8.14), (8.15) решений.
существующих на ннвариантных многообразинх 1 =а ж и я=О. На инвариантном многообразии Ь = Ыт (длн Яз) получаетсн систома Эйлера (8.16) Ь = Ь х (А~В)Ь, причем матрица А-В нвлястся положительно определенной и существуют два устойчивых и одно неустойчивое перманентное вращение. Матрица А — В, вообще говоря, не является положительно определенной и число неустойчивых вращений может возрасти.
На инвариаптных многообразипх я = О или Ь =- О снова получаются уравнения Эйлера Ь = Ь х А1 нли я = я х Вя с положительно определенными матрицами А и В. В пространстве .'1обачевского инвариантное многообразие л = О (твердое тело не соверп1ает апоступательногоз движения) такя1е определпет систему перманентных врап1ений задачи Эйлера Пуансо Ь = Ь х АЬ. Сами «поступательные двнженияь, опредсляемые вектором я, прн отсутствии момента вращения Ь = О., должны удовлетворять уравнению (Лз — Лз)(Ло — Л1)ят + (Лг — Лз)(Ло — Лз)яз -ь(Лз — Лг)(Лс — Лз)яз ....
О. 5. Заключительные замечания. Рассмотренные в этой главе задачи динамики искривленного пространства подчеркивают различия между природой интегрируемости соответствуюп1их задач в евклидовом пространстве. Интегрируемость одной части задач была существенно связана с группой Галилея, относительно которой инвариантны уравнения динамики к~. Опа пропала при порсходс к искривленному пространству (гиростат, задача двух тел). Интегрпруемость другой части сохранилась (свободное твердое тело, задача двух центров н пр.).
Однако, даже во втором случае, например, длн свободного движения тпсрдого тола отсутствие группы прсобразовапин Галилон привело З о. Деилееиие теердого тела с гиростатоле к существенному усложнению топологнческого слоепия фазового пространства на торы Лиувиллп. Дальнейшее развитие небесной механики в искривленном пространстве сталкиваетсн с большими сложностями. Непосредственное обобщение теоремы Якоби, теоремы Вейерштрасса об устойчивости, теории Зупдмапа ~4] и др. па случай Яз и Ьз вряд ли возможно, все ети результаты существенным образом связаны с существованием барицентрической системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
