Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ИспользУЯ канонические пеРеменныо г,У,Ре,Рт, нахо- дим скобки Пуассона для р,,е,иг,иг: 226 Глава 3 и функцию Гамильтона (6.6) 2р 2Лг 2 гг 1~ — ", Лг Из (6.5) и (6.6) следует, что прн Л вЂ” > оо переменные р,е,ы медленные„а гг быстрая. Для определения векового изменении параметров орбиты при Л» г отбросим слагаемые порядка выше — и усредннм 1 Лг уравнения движения по периоду нсвозмущенного двиавения. Получим следующую систему р~ 2ерй ( „.- ез/Регию совы~ совы + Лг (1 ег)% 2 1 — ег о р ' / 5 ет/Р81пысовы совы+ — е Лг ~1 г)'~„~ 2 о 'Р в /1 — 2г.г г в 1 е вгны+ — о/Р(6+гйп ы — 4сов ы) Л (1 — ег)'Л 1 е 2 (6.7) Параметр о = ыЛ имеет смысл линейной скорости движения неинерциальной системы отсчета.
0.8 0.8 0.4 0.4 Ог 0.2 Рнс. 10. в = 1.0, С = 1.0 Рнс. 9. в = 0.1., С = 1.0 8 6. Сиви1виив ивригвлин 0.8 ел 0.4 он 0.2 0.2 Рис. 12. в = 1.5, С = 1.0 Рис. 11. в = 1.25., С = 1.0 ои 0.8 0.8 0.2 0.2 Рис. 14. е = 100.0, С = 1.0 Рис. 18. в = 10.0, С = 1.0 Уравнения (6.7) допускают интеграл соответствующий отсутствию вокового изменения энергии нсвозмущенной системы 16.3) в данном приближении (теорема Лапласа). Фазовый портрет системы 16.7) зависит от отношения ", его проекция на плоскость ы,е при различных в, С приведены на рис. 9-14. Из (6.2) следует, что от знака кривизны внд траекторий не зависит, а меняется лишь направление движения по ним.
Как видно из приведенных рисунков, скорость смещения перигелия зависит от эксцентриси- 230 Глава Э пространстве Минковского Мв. Потенциальная энергия У(«1) соответ- ствует задаче двух центров Я 3 гл. 1). У = Ут»сг30 + Утгсг30», на Я~, су = утгс«ЬВ + утгс«ЬВ», на л~, где ты тг — массы «тяжелых» частиц, а В, 0.» — «углы» между ними и легкой частицей. Направим ось Ог вдоль угловой скорости и», а неподвижные центры поместим в точки «1«(зупйыО,вшВ»), суг(вшдг,О,вупВг) на Я~, щ(зЬ ВИО, сЬВ,), «уг(зЬ Вг, О, сЬВг) на Л~.
Параметры Вы Вг, и» при фиксированном взаимном расстоянии «» и массах точек тг,тг могут быть определены нз уравнений: зуп 20» — — — зш 2««, гй г зуп20г = — „, в!п2«», тг 2ту Угг вупг о в1„2о ' для Я~, либо вЬ20» = — „, вЬ2««, вЬ20г = ™' вЬ2««, 2 у г г т= ВгвЬ оьЬ2«« для Хг. Положение равновесия легкой частицы во врашающей системе отсчета называются точками лийраиии. Из (7.1) следует, что они являются критическими точками приведенного потенциала (У* = УУ вЂ” 2( х Ч, х Ч) (7.2) В сферических (псевдосферических) координатах выражение (7.2) для приведенного потенциала пришумает вид т, (сов В«сов В + в1п В, згл В соз ф уу = — ,"» г »/г (1 — (сов В«сов В + луп 0; вш В сов у) г) 1г«г«аг вупг В 2 (7.3) 'г' 7.
Ограниченное задача трех тел в искривленное«ззросжранстнве 231 пространстве Минковского с«1~. Потенциальная энергия Г(«1) соответ- ствует задаче двух центров Я 3 гл. 1). на ггз У = Узпз «ЯД —, 7тп «И30«., Г = утс с1ЬВ + утзсьЬВ«., на Е,г, «1г(я1пВыО,яшВ«), цг(яшВг,б,ьшВг) на Я~, па Лг «1»(яЬ В~., О, сЬ Вз), «1г(яЬ Вг, О. сЬ Вг) Параметры ВН0г,аз при фиксированном взаимном расстоянии о и массах точек зп,,зпг могут быть определены из уравнений: язп20« = „', гйп2о, я1п20г =,Ь я1п2««, тг п«з 2ту Лг яйсг с»яш2о для Яг, либо яЬ20г — — — яЬ2ек яЬ20г = — яЬ2«г, зпг «пд т' ' ' т' 2Г~~;) аз —, т ЙгяЬ ояЬ2о' для 1~. Положение равновесия лсгкой частицы во вращающей системс отсчета называются точналси либрации. Из (7.1) следует, что они являются критическими точками приведенного потенциала Г, = У вЂ” -(из х «1.
со х «1). 1 2 (7.2) В сферических (псевдосферических) координатах выражение (7.2) для приведенного потенциала принимает вид тн (соя В«соя В + жп В«жп В соя со) 77,= — -~~ ~ ™ 1/г 2 -Л аРяш 0 (1 — (соч 0; соя 0 яш 0; яш В соя аз)г) (7.3) где ты«с»г "- массы «тяжелых» частиц, а В,Вл «углы» мел«ду ними и легкой частицей. Направим ось «зг вдоль угловой скорости ыз а иоподвижные центры поместим в точки 232 Глава В иа сфере яз, и гьи(сЬВ1 сЬ — зЬВ'зЬВсоз~р) 1 ((сЬ В; сЬ В вЂ” зЬ В; зЬ В соыр)з - 1) на плоскости Лобачевского.
В плоском случас существует пять точек либрации. Три из пих, расположенные на одной примой с неподвижными цонтрами (тяжелымн частицами), были открыты Эйлером, и называются коллинеарными. Две другие трсугольныо, находятся на равных расстонниях от притягиваюших центров и были найдены Лагранжем. Злнвчлннв 1. Лагранек также указал частные решения в неограниченной задаче трех тел. при которых тела движутсл по эллипсам, оставаясь все время в вершинах равностороннего трсугольпкка. Нахождение и анализ подобных решений а искривленном аространсзее налнетса гораздо более сложной задачей и до сих вор не выполнены.
По аналогии с плоским пространством критические гочки функций (7.3), (7.4) можно разделить па 2 типа: а) Коллинеарные критические точки обобщение эйлеровских точек либраций. Они расположены в плоскости двух неподвижных центров и вектора оз. Ь) Нсколлипсарпыс критичсскис точки — обобщение лаграпжсвых точек либрации, которые в случае плоскости расположены на равных расстонпинх от притягивающих центров. 2.'Гочки либрации на сфере Яз. а) Коллинеарные точки либрации.
Зафиксируем начало отсчета азимутальпого угла зз от меридиана, расположенного в плоскости, проходящей через притнгивающие центры. Н этом случае для коллинеарных то юк либрации ~о = О,л. Из симметрии задачи следует, ИУ. что, *, поэтому для нахождения широты точек либрации необд~й о=с,е ходимо найти критические точки функции 2 Г(В) = У, = — ~ 7зп; свц~( — В;~ — — Л~озз япз В. о=о, 2 1=1 з) 7. Огриниченнин задача трех тел в иснргсвленно»г пространстве 233 Выполння дифференцирование, находим, что критическим точкам соответствуют корни уравнения 1 з з ., в1гг(1! — Ое) гЛ со~ешдсозд=т» птс '(В - Ве) ! ' ( б) где О й ( — ггг.н). Уравнение (7.5) может имать 2, 4 илгл 6 корней (в зависимости от параметров).
Схесо матглчно глх положение не сфере показано на рис. 15. Выбором масштаба, приняв длину ду- „' гни гн между «тяжелыми» теламн за единицу, мож- 1 по положить Л = —, (сг — угол между «тяжс- Х,,' лыми» телами). Тем самым мы ограничиваем область изменении параметров до прямоугольника (тз/н»г 6,0,1),сг е (О, т)). Рассмотрим 'Х" отдельно случаи о < .г/2 и о > "г/2, которым Т,' ,' Ц" (см.
зб) соответствуют различные типы движений. Рис. 15 а < тг/2. При малых сг существует шесть точек либрацин Хы Х'„Хз, Ц, Ез, Ц. Причем при устремлении сг к нулю (Л вЂ” » оо), точки Ц, Х г и Х.з стремятся к нулю как сг и переходят в эйлеровские точки либрации. Точки Ц и Цз стремятся к экватору как гг/2 — оз, а точка Ц уходит па южный полюс как сг. — р22 Рнс.
16 глпвп У Па рис. 16 приведена зависимость положений точек лпбрации от о прн тз/тч = 0.2. Как нндпо из рисунка, 6 точек либрации существует в интервале о от 0 до и,'. При а = о,* точки Ез и Ц сливаются и исчезают. Таким образом, в промежутке а 6 (ог, аз) сущестнует 4 точки либрации. В точке аз происходит исчезновение второй пары точек либрацин и при о 6 (а.",о,") существунп только 2 эйлеровских точки либрации. В точке аз вновь образуется пара точек Аз, Ц и затем вплоть до г« = г/2 существует 4 точки либрации. Зависимость критических точск а", о" и а' от соотношения масс ьпх/гп» представлена на рис.
17. Здесь в области 1 сушеству»л'2 ет 6, в областях П,1Ч вЂ” 4, а в области 1П 2 точки лпбрации. с«) «г/2. ,т~З При а больше и/2, но меньше чем пскоторос критичсскос зпачса ние о«(тиз/ьч») кроме двух цен- тральных точек либрапии в сисЫб теме наблюдаются еще две точки либрацип пара точек, ближних к легкому телу. При г«л~е больше чем аз(п»з/пт») возникает еще 0 02 04 06 06 одна пара точек. Обе эти точки т,,~«п, будут «полюсными» (т. е. вместе с точкой Л',лежат в промежутке между отталкивающими частлми потенциалов «тлжелых» тел (рис. 16)). Зависимость положений точек либрапии от а в промежутке (х/2, х) показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
