Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 37
Текст из файла (страница 37)
' Ч1/ При подходащом выборе сферических (псевдосферичсских) координат это уравнение приводитсн к виду у = то = сопя1,. Рассматривая движение па такой ипварпантной поверхности, получаем следующую функцию Лагранжа Х,— -(О +агп теео ) — — соьРоф . з,-з еуЛ (3,30) (Длл Ез необходиъю заменить в (З.ЗО) яьпз на а11~). Поскетыеу коорди- ната е циклическая и знергия сохраняется, уравнения движения ип- тегрируютсл в квадратурах. 3 4. Кватернионная регуляризация Кустаанхеймо — Штифеля в небесной механике Б качество одного из прнмопопий кваторпиопов, которые угко использовались в динамике твердого тела (32 гл. 2), рассмотрим регу- Чтобы установить законы сохранения, удобно записать уравнения движения в избыточных координатах 9о, Ч = (еХг, 9Я,9з) (1.1). Представив в них функцию Лагранжа п обозначив через Л неопределенный множитель.
учитывающий свинь (еХо)з т (Ч,Ч) = Х(з. получим уравнения движения 210 Глаеа 3 лиризапик> пространствоцной задачи Кеплера, предложеш>ую Кустаанхеймо и Штифелем (КЯ преобразование см., например, (108)). Геометрия задачи Каплера и ос рсгуляризация обсужда>ется такжо в (29>)). Пусть в восьмимерном фазовом пространстве (Р.ь4) Е лгз задана гамильтопова система с гамильтопиапом Н = — —;„.(Р>Р) + -~... Я = (©1>). (4.1) >гь4 1 ОН Ат 11 ОР дР 1дН Йт П дЯ' (4.2) Если ввести новую функцию Гамильтона 6 = — (Н вЂ” 6) и ограни- 1 П читься рассмотрением системы па уровне зпсргии Н = 6 (г = О), то уравнения двнжония системы с гамильтонианом г на уровне У = 6, эквивалентны уравнениям (4.2): >(Р ОГ 1 ОН д >'11 1дН вЂ” (Н вЂ” 6)— Ат ОС4 П ОЯ дь4 >,П) Пдь4' >!(4 дь' 1 ОН д 11> 1дН вЂ” — — — + (Н вЂ” 6) —, г1т дР П ОЯ ОЯ >П) П дР' Рассмотрим также проекцию на йа = (х, у), заданную формулами х = Е(ЩСЗ Я = (Че Чычг-Чэ); х = (х>;гг,хг;тл), (4.3) у = 2ЦЯ)Р, Р = (ре,р>, рг, рз)> у =- (р» рг> уз..
р>). где Ь(Ц) -- матрица. задан>п>ая лреабраэоеание 1>угтаанхебмо Н1>ли>)>ела (КЯ-преобразование) Чг Чз Че Ч> -Чз Чг Ч> -Чо Че Ч> Чг Чз — Ч> Чо -Чз Чг (4Л) Па уровне зиергии Н = 6 после замены времени й)йт = Яг зта система сводится к уравнениям простого осциллятора>то сеть рсгуляризустся. Действительво, если произведена замена времени дт = П(Р, Я)>11, то дифференциальные уравнения Гамильтона преобразуются к виду 77еатернианная регуляризаиия Ьуетаанзепжа Штифеля 211 Прн преобразовании (4.3) всегда выполнено:ге — — И, а уе — — — риде + + дорт — дзрз+ Езрз является первым интегралом системы с гамильтопиапом (4.1). Если рассмотроть движения, при которых уе = с4 = О, то уравнении (4.1) переходит в канонические уравнения на Ка .= (х,у) с гамильтонианом (4.5) Этот факт паиболсс просто устаповитзч преобразуя (канонические) скобки Пуассона при помощи (4.3). В силу (4.3) вьшолнено (х,х) = = Я„Щз, и гамильтоннан (4.5) соответствует пространственной (в зез) задаче Кеплера.
Этот способ регуляризации, предложенный Кустаанхеймо и Шттнфеле. обобщает преобразование Волина (3 2) для плоского случал и имеет многочисленные приложения в нобесной механике [168). Взаимосвизь между трехмерной задачей Кеплеры и четырехмерным осциллятором, лежащую в основе КЛ-преобразования. можно также установить, пользунсь локальными координатами в 11з. Действительно, рассмотрим в 1з~ новую систему коодинат (г, д, р, зр), определяемую формулами ф+зз,,д,,ф У, д до — Лсоз, соь 2, дз — Лсоз аз = Лзш соз —, оз —— Лзш з1п —, з где Лз = ~" д~. Если обозначить Лз = г, то гамильтоннан четырехмер«=о ного гармонического осциллятора з з Н = 1 ~~~ р,'.
+ — ~~> о,', Л = сонат (4.5) з —.. о в новых координатах и соответствующих импульсах может быть пред- ставлен в виде: 2 ~Р е + Ре — 27з„7нд соз д з1п д 212 Глава 3 Координата дтт входящая в гамильтониан (4.7)т является циклнческойт а поэтому ре нвляется первым интегралом. Если положить рэ = О, то уравпсппс для энергии Н = Ь системы (.1.7) можно записать о видо 8 2 ~ т гз(. пз())) 4т (4.8) Быраятопио (4.8) можно иптсрпротирооать как закон сохранения энергии для трехмерной задачи Кеплера (при отрицательных энергиях).
При этом координаты г,д,да играют роль сферичских координат в трехмерном евклидовом пространстве. Пользуясь гномопической проекцией, Х~Я-регуляризацито можно провести для искривленного пространства. Однако, при этом вместо гармопичсского осциллятора получается более сложная динамическая система (см. 2 2).
Злмвчлнив 1. ЬЯ-преобразование и преобразование Болина есть следствие алгебраической теоремы Гурвпца утверждающей, что уравнение ха+хт . ° +х -т=(дон . +Чн — т) т з 2 т 3 2 имеет билинейное по Ч, решение х. = а;т„,д~д„, только для следующих пар чисел (Х и) = (2, 2), (4, 3), (8 5). Число ттт = 2 4, 8 связано с алгебрами комплексных чисел, кватернионов и октавианов. Общая форма преобразования Гурвица длн Х вЂ” 8 имеет внд 3 2 2 3 2 2 2 3 ха — Ча + Чт + Чг + Чз Ча дз Чв Чт: хт = 2(дод4 — Чтдл — Чгдв — дзот), з'з = 2(ЧаЧл — щдт — дтдт + Чздв), хз = 2(дада + дтдт + Чгда — дздв), хл = 2(дсдт дтдв + Чтдв т Чздв)' Преобразование Болина получается из него в случае дт = дт = дт = дт = дл = =. Ча = Чт ..
О. хз =- тз = хл О. Для получения КЯ-прсоттразооания необходима положить тдв = Чз = Чт = дт = О, зи = О. г 5. Задача двух тел в аскраолеанол> аростраастое 2 5. Задача двух тел в искривленном пространстве (Рд,Р>) (Ч>,Ч>) — (Рд, Чд) г 2>яд (Чд, Чд) (рг 1>г) (Чг~Чг) (рг>Чг) >пг (Чг; Чг> (5.1) В случае зависимости потенциальной энергии от расстояния с = д> ((Ч> Чг)) тле (Чд Чг) — сс соеодг ((Ч> Чг) = >д сйодг). По аналогии с динамикой материальной точки, уравнение движепил которой можно продставить па особой орбите алгебры с(3) (е(1, 3)) (см.
г 1), представим уравнения задачи двух тел в вице гамильтоновой системы со скобкой Ли Пуассона. Введем переменные >га = +Чаро Р,Яи ° а е (3.2) 1а=е1ахРа, а = 1. 2. (Нижний знак везде далее соответствует пространству Лобачевского). Рассмотрим задачу двух тел (материальных точек) в искривленных пространствах лг(Ег), движущихся в некотором потенциальном поле 11(>1>,Чг) (Ч>.Чг координаты точек на Яз(1,г)). В частном случае, потенциальная энергия д> может зависеть от взаимного расстояния (измеряемого вдоль геодезической ) мелдду двумя точками. В отличие от плоского случаи, в искривленном пространстве не сущесгвуег такой системы отсчета (связанной с центром инерции), в которой задача двух тол приводится к задаче о дан>кении частицы в поле неподвилдного притягивающего центра (в случае ньютоновского взаимодействия к задаче Кеплера).
Как было уже показано> задача Кеплера в о»(д г) является интегрируемой. Задача двух тел, взаимодействие которых аналогично ньютоновскому в Яг и >,г, улее не будет лепиться интегрируемой. 1. Уравнения движения и первые интегралы. Как и выл>с, полагаеь> сферу Яг (просдранство Лобачевского д ~) стандартно вложенными в евклидова пространство 24 (пространство Минковского М4), (Ч:Ч) — Чо + ч = сд ((Ч,Ч) = Чо — с1 = >д~).
В избыточных канонических переменных Ча,р, (а, = 1,2 нумерует частицу с массой >и„,) гамильтониан системы можно представить в виде (г 1) 214 1лааа 3 И= 1 (Вз,~ „')+ 1 (В|~ 3)+и((В, д,)). 2ги г 2гиз (6.3) Коммутационные соотношения мслгду переменными ггю1ш задаготся формулами (Тац 1аэ) езтйТай: (Гаплат) галлай: (Таи Чах) е13й4ай~ (капка ) = ~г,тййай, «као г1аэ) = Ы,;;г1агп (као ггао) = шг1ао (1,.ид.,) = 6. и=1,2; 1 = 1,2,3. (5.4) Как следует из (5.2), между 1 и ла выполнено инвариантное соотно- шение Ч,"„В, = Г1а Х гГ„(Ьа, ЗГа) = О.
(О.д) Эти соотношения задают сингулярную орбиту в каждом экземпляре е(4) (е(3,1)) и позволяют записать гамильтоновы уравнения движения па прямой сумме алгсбр 1(М,,д,) 6З 1(Мз,дз)г где М, = — (1, — з,) 1 а — 2 а ' а (Ма = — (Ьа — 1я,)) с функцией Гай!нльтона 1 2 н = ' — м' - 1-м' - Гг((4,. 4,)), 2т з 2ьчз (6.6) Уравнения получаются вещественными только для Яз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
