Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Случай, когда условие —, = О выполнено тождественно, является особым, (При атом Р ОНа д1~ является интегралом системы при е = 0). Уравнения (12.5) описывают в атом случае решение для Р/е и ф которые не удовлетворяют (12.3)., и вообще каким-либо гамильтоцовым уравнениям (цри атом, как працидНд ло, = О). Зта ситуация соответствует так называемым ограниченным задачам типа ограниченной задачи трах тел в цобссцой механикс. ГДΠ— — = — хы+ — 'х у, ддй дЕ дй !11 ды ды д.у (12.6) у=2 хы, лагранжиан задачи в случае осесимметричного твердого тела можно представить в форме 1 — (ы1 + ыг + еыз) х'у! г'уз~ 1, 2 2 2 2 (12.7) где е характеризует отношение моментов инерции осесимметричного тепзора инерции, (зд О,г) — координаты центра масс. При е — у О (обоснование возможности придать механический смысл этому предельному переходу см.
в [101)) обычный пероход от уравнений Пуанкаре (12.6) к уравнениям Пуанкаре — Четаева (см, г 6 гл. 1) с помощью преобразования Лежандра теряет смысл и получаетсн первичнан связь = О. «=е выраженную через М1 ды1 Мз —— —, дХ дыз Введем функцию Гамильтона. М дй !Пщг Н=ыг ' +ыг. — 1 = — (М, +Мг)+луг+ту! (128) О! дА 1 г г "11 Ыг При этом скобка Пуассона определяетсн алгеброй с(З).
Полагая Н* = = УХ+ ЛМз, получим условие совместности Мз = 1Мз, Н') = — луг = О (12.9) Рассмотрим дпе задачи динамики твердого тела, в которых производится предельный переход в инерционных характеристиках твердого тела двумя разли шыми способами. В одном случае он эквивалентен палов!ению связей в фазовом пространстве и дает возм1пкность использовать процедуру Дирака. При атом как первоначальная скобка, так и скобка Дирака, являются вырожденными.
В другом — получающаясн предельнан система, которан не может быть получена процедурой Дирака и априори пегамильтопова (ограниченная задача динамики твердого тела) . 2. Движение твердого тела в осесимметричном ноле. Уравнении движения твердого тела с неподвижной точкой в лагранжевом виде можно записать в виде уравнений Пуанкаре на группе ЯО(3) (см. г' 1) 3 И. Ограниченные задачи динамики твердого тела и мезанини Дивана 181 и вторичную свнзь 72 = О. Определим новый гамильтониан Н* = Н+ Лмз + 1272. Из условия совместности связей М,=(М„Н) =О, 7, =(7„Н) =О, получим Л = М273/7ы И = О (как отме галось в г 9 гл.
1, вторичная связь не сказываетсл на уравнениях движения). Можно составить урав- нения двилгения, пользуясь скобкой Дирака, вычисленной по форму- ле (9.3) 39 гл. 1 и гамильтонианом Н (12.8) (72.-1)о = О, (12.10) илн, записывая уравнения движения на алгебре е(3) с функцией Га- мильтона Н'. В обоих случаях получим систему М,мг7з 71 М = . Мг — з Е 73л — тгг 273 1 72 (12.1Ц 71 = — 73М2; 7, =-7,М„ имеющую, кроме интеграла энергии и связей, геометрический интег- рал и интеграл площадей 72 73 = 1.
М172 = С. 2 2 (12.12) Из (12.12) вытекает, что 72 — — 31пВ, 73 — — созВ и поатому В = — Мг. Вырагкап Мд — С/ уы получим уравнение для В: Сг  — соз  —. л соз  — 3 мп В. .;пз В (12.13) которое можно записать в лагрангкевой (гамильтоновой) форме с одной степенью свободы:  — — —,. Ъ вЂ” — лып — гы)ьВ. д1', Сг (12.14) ВВ ' 231п'В ( Мы Мг ) о = Мг — „,, 7з (Мы 71)о = О. (Мг: 72)о = — 7з. (Мз;72)о = О, (Мымз)о = -2мг, (Мы 72)о = 27з, (Мю 7г)о = О, (М3,72(о = — 2уы (Мг,мз)о = 2мы (Мг 7з)о = О., (Мг: 73)о = 71 (МЗ 73)о Глава 9 Система (12.14) эквивалентна приведенной системе для сферического маятника в осесимметричном поле 1У = — т эшд — з сов В.
Качественный анализ решения (12.13) содержится в [10Ц, где разобранная задача и редукция Дирака рассматриваются в канонических поременных. При к = 0 в (12.9) задача Дирака имеет бесконечное множоство решоний (Л произвольно). В этом случае Мз - - первый интеграл, поэтому редукция Дирака должна быть заменена редукцией по симметринм (см. Я8,9 гл.
1). Однако, если произвести предельный переход пепосредствоино в лагранжовой форме (12.6), предположив, что Е' = (ы«+ "'з + ешз) е7« — з7з~ 1,,з з,д 2 (1о 16) ы« = аазыз + з7со агз: айше х71 агз = — 7з у у хм. (12.16) Уравнении (12.16) при з = 0 исследованы в [97], где методом расщепления сспаратрис показана их псиптсгрирусмост«ц в [28] приведены картинки стохастического поведения. В общем случае, когда з ~ О, система (12.16) нвляется квазиоднородной, в смысле 888], и имеет следующие наборы частных решений ац = ы;/«: Ъ = 7;!г"; где 72 = 2«; 'уз = О! ыо =О., « 7о = 2, ,1 ««о .
О, ы'~ 2«, ого 0 о 21 71 73=Ы. о 2 70=0, Показатели Ковалевской, соответствующие выбраннын«частным решенинм, имеют вид: р=(-1,0.1,р„р„р,), и с — > О, получим уравнения «ограниченной задача днналшни твердо- го твлш. Физический смысл предельного порехода и геометрическая интерпретация движении в этой задаче обсуждаютсн в [58, ОУ], З уе.
Ограначенныо задачи динаггини игоердого тела и ггезанана Дарана 183 ДДЬ Ду,, ДА Р— — = — х ог -: — х 7-~ — ез х ы, ,ф Диг Ды ' Д-,, 2 (12.17) гу=; хи:, с лаграняеианом (огз + ео2 еыз) ' (е171 е2 12) 1 2, 2 2 1 2,2 2 2 (12.18) Выполняя предельный переход с — у 0 в (12.18), снова приходим к динамической системе, вырожденной по (квази)скоростнм. Использование процедуры дирака приводит (при сз у': сг ф 0) к одной первичной и одной вторичной связнм: (12.19) Мз = 0; 'уз = 0 (нли уг — — 0).
Условия совместности приводнт н исследованию системы с гамильто- пиапом 22 = -(Мз + М22) ~- -(гд у, + сз '2) + ЛМз + Д уз, (12. 20) прп Л = М;у, ~ у,. д = О. Уравнения движения М,,'уз Ме = — — — с2 ~2 уз 72 М2 .: ~1.~1 ". 'уз ',2 (12. 21) уз ее где (ры рг, рз) янлюотся корнями кубического уравнения рз — Орз+26р— — (24+ 82) = О, рсгпення которого при любых 2 именует слоекный алгебраический вид. Зто, видимо, препятствуе~ существованигс у системы (12.16) алгебраических интегралов дпижспня. 3. Твердое тело в суперпозиции однородных полей. Редуцированные кватернионные уравнения длн твердого тела в суперпозиции однородпгдх силовых полей (см.
д 5), могут быть записаны в лагранжевом виде 184 Глава й а —., ~ сглгпдсоай, сг / (12.22) в пй яв (х 31пгй „. й которое легко интегрируется. Если в уравнениях (12.17), (12.18) сг 1 сс;, е -у О, то., с точки зрения процедуры Дирака, задача вновь поставлена некорректно. Предельный переход, выполненный непосредственно в системе (12.17), приводит к следующим уравнениям ограниченной задачи 331 = а1гюз — — Щг: 'Уз 1ВЗ Ы11 ~З + г Щ1 Г, Уз а12 = (с1 — с2)'У1'У2, (12.23) у= ухы. Система (12.23) имеет интегралы (ы1у1 + ыг'Уг) 13~ 3~1 + ыг 213~ 71 + уг + 73 1. 2, 2 .2 2 Вводя новые переменные по формулам ы1 = ъ'263шС, щг = ъ'211соее, и используя Выражения 71 12 чо11ез 73 уз, ( полу чим 1 л' а'1 ° 1 л ~'~2 у1 = 23 ) 71~" — 'У2312( тг = 2ь ) уг ы1'Уз Из геометрического интеграла получается дпфферегшиальное уравнение для 'уз: 21 -г-уг = ИЗУЗ(1 — 78) — 2Ггй., которое рещаетсл с помощью зллиптических фупкпий.
Как и в [97), используя ~ = ы1 — †, для ( получается гамильтоново уравнение маятй' 'УЗ никова типа с периодическим по времени возмущением. Это уравнение таюко по является шггсгрирусмым. с помощью замены уг — — ьш0, 'уз = соь0 приводится к одному уравне- нию з 1г. Ограничехные задачи диналзихи твердого тела и механиха зуираха 185 Отметим, хоти обе постановки ограниченной задачи (12.16), (12.23) сводится н исследованию неавтономных гамильтоновых уравнений, непосредственно предъявить вид пуассоповой структуры для пих видимо невозможно (она не получаетсн пз скобки Ли Пуассона алгобры е(3) при помощи предельного перехода).
Аналогичный предельный переход, приводящий к интегрируемой и априори негамильтоновой системе, рассмотроп в приложении А. ГЛАВА 3 Гамильтонов формализм в небесной механике й 1. Движение нерелятивистской частицы в пространствах постоянной кривизны В этом параграфе мы рассмотрим уравнения динамики материальной точки единичной массы, движущейся по трехмерной сфере оз и в пространство Лобачевского ьз (пссвдосфере) (30).
Эти пространства (вместо с овклидовым Ез) нвляютсн пространствами максимальной (шостицараметричоской) группы движений и имеют постоянную гауссову и главные кривизны. Сфера является орбитой группы эО(4), а псовдосфора —. группы ЯО(3. 1). 1. Канонический формализм в избыточных переменных. Сферу Яз (псевдосферу ьз) будем описывать избыточными координатами четырехмерного евклидова пространства к~ (пространства Минковского йты) с метрикой я = <11вд(1, 1, 1, 1) (я = Йвд( — 1, 1, 1, 1)), ограниченную условием связи: +(й) = -'(йн.~л~" ~П') = -'((й,й) ~Л') = б, (1Ц здесь и в последующих формулах верхний знак отвечает сфере, а нижний знак псевдосфере.
Метрика соответствук1щего пространства вложения индуцирует па сфере оз мстряку сферы, а па пссвдосфсрс ьз метрику Лобачевского. Лв1окенис свободной частицы в избыточных коордиаатах описывается функцией Лагранжа и условием связи (1.1), Перейдем к избыточному гамильтонову формализму систем со связнми [4',. Импульсы, канонически сопряженные 187 З 1.
Донесение нерелнтиоистсной частицм избыточным переменным ЧР, имеют вид — +А —, дХ дФ (1.2) Множитель Лагранжа А определяется из условия связи (1.1): А= ("') (Ч Ч)' ( ) После преобразовании .'!юкевдра получим функцию !'емильтове свобод- ной частицы в виде (1.4) а Мр» = ДраЧ Рр ДраЧ Рр' (1 с) Компоненты этого тензора образуют алгебру оо(4) для Яз (оо(3,1) для Х,з) относительно стандартной скобки Пуассона (Ча,рд) = бда (Мр Мр ) = ДдрМ Дг М р+ Д Мре дзрМг (1 б) Введем новые генераторы алгебры оо(4) (оо(3,1)) по формулам Х;=-е;еМ„ьг (1 =г!хр), 1 2 '" г,т',й = 1,2.3, (1.7) л, = Мо„(к = тЧ~р — рог!), здесь и палое греческие индексы приппмагот значения О, !.,2,3, а латинские — 1, 2, 3. Скобки Пуассона между ними имеют вид (Хг,ХХ) = егалХы (пе.7гй) = ~ гйиХы (Хопа) = егйияи.
(1.8) Уравнения движении в переменных Ч, р канонические. 2. Алгебраическое представление. Для представления системы в гамильтоновой форме со скобкой Ли Пуассона рассмотрим компопеггты антисимметричного теизора углового момента частицы 188 Глава 3 Если на частицу действует также потенциальное Г(ОР), то гамильто- ниан системы может быть представлен в виде [55) гг 1 (,„з 1з)+Ия) ~..1.
М М| 1 (~р) (1р) 2Л' — 411з Коммутирун генераторы вращений (1.7) с ов, получим десятимерную алгебру, являющуюся полупрямой суммой алгебры вращений и четырехмерной алгебры трансляций. (7 Ц) = еба1а, (1ч,ял) = еОаяа, (и|;|гз) = ~ела1а, (й|.,д ) = О, [1041) = абай, ( о) а ( ) 01 (1.10) Алгебра (1.10) представлнет собой алгебру Ли группы движений пространства Евклида . е(-4) (|Минковского е(3,1) — во(3,1) Ь„К'). Ее ранг равен восьми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
