Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 31
Текст из файла (страница 31)
связывающей бигамнзьтоново описание системы (10.7) и представление Лекса Гейзенберга [20]. 2. Картановсное разложение и согласованные селчейства скобок. Рассмотрим алгебру Ли 6, представленную в виде картановского разложения С = ХХ -ь 1:., где Н подалг ебра и выполнены слодующие соотношения [ХЕ, ХХ] С Н, [Н 11] с 1', (1г Р] с Н. В этом случае алгебра С допускает ипволютивный автоморфизм и: С вЂ” > С, для которого О]н = Ы. д]з = — Ы (инволюцнп Картона).
Алгебра С прн этом называется симметрической, а пара (С,Н) рижапооой спжметрической пирой. Двойственное пространство С* мозкет быть представлено в виде ЕХ' . Н*+ Ъ', так, что Н'1Х, $" Н. Рассмотрим еще одну алгебру Ли ЕХв, которая совпадает с С как линейное пространство, а коммутатор отличается только тем, что надпространство 1' коммутативно (коммутативный идеал): [)г, г'] = О. Для (Н, Н] и Н, г'] коммутатор остастсн прежним. Несложным вычислением можно доказать следующее [152]: Предложение 6. Алгебры ср и Св образуют ливв пучок, а па Рвойщпвенпож пространстве С* возникают две соглосовонимв спайки ХЕуассони (, ) и (, )в.
Еще одна скобка (, )„описанкан в (] 5 гл. 1, связана со сдвигом аргумента И.а) (и) = (а [йХ( ):йу(ю)]). (10.10) Если а Е г'*. то в формуле (10.10), коммутаторы [, ] и [, ]„можно взаимозамспять. ту 10, 1 — А-иары и бигамильтоновостпьг нирнгиновсьое разлозггении 169 Предложение Т. Если а Е й*, то скобки ( . ), (, )„и (, )з образуют свлгейство согласовиннык скобок Пуиссона. Пусть С полупростан алгебра Ли (или хотя бы алгебра Лн, на которой существует псвырождсппая ад-ипвариаптпая квадратичпан форма, в этом случае ад = аг1*). При этом разложение ХХ+1' ортогонально. Оказывается, что в этом случае скобка (, )„р., = а( г ) + уу(ч )в + + у( г ) может быть представлена в следующем паном виде.
Действительно, для элемента к Е С*: — С, представимого в виде к = 6+ о, 6 Е П':— Н, гг Е 1'*:— 1т и функции Х на С' = С., дифференциал ду может быть записан в виде ду - сг+ ту, где с Е Н, ту Е ут. Явная формула для гамильтонова векторног.о поля, порождаемого функцией Х и скобкой (-г.)ил нмсст вид (чс(Х) в = ьйгаг1„р Х(к) = =- а аг(г и(6 — и) -ьуу(адв)г+,„(уг+и) + у аг(гз..на = а([аргу] + [Е, и] — '[ту, и] з- [т66]) т,З®6 + [С,гг] — 'ту,и]) 1 ту([а.,а]+ [ту,а]) = = ((тг+ (у)([ьг.6] + [ту, гг]) + 1[ту тз]) + + ((о:+ (У)[ц, о]+ гг ц66] -Ь у[ц,а]).
(10.1Ц Две последние фигурные скобки отражают разложение по Н и 1т. Спра- ведливо следующее Предложение 8. Если а+ ту у': О, тпо скобка Пуассона (, ) уз эквив лентно, (сводитпсн линейной,заменой) скобке, (, ) (котороп является полупростпой)т и любил, система, дотгускаюиуая голгильтонову запись относительно семейства скобок (, )илт (и, стало быть, являющуюся бигазшльтпоновой). г)опускает првдслитлвтит Латтеа Хейзеттберга с рациона.гьным спектрильным параметром.
6=(а+)у)([4',6] [ту,уг])+э[ту,а] и = (а+(У)[с,6]+ а[ту,6]+ у[с,а]. В качестве доказательства уиажсм явно процесс сведения в Ь вЂ” А- паре. Используя разложение ю = 6+ и, ту( = г, + П (6,с Е Н, и, П Е 1"), векторное поле ге = (,ду] р можно представить в виде 170 Хлаогг й Эквивалентным 1 — А-представлением нвляется — (Л6+ рлг -ь иа) = ~ — + —, Л6 -ь ро -ь т а, (10.12) гХ [4 Ч гй ~6 гт' где Л = 1 1 , и = - - -- . Формула (10.12) "гг г Г.+ггт ( го) гтг+о может также быть записана в виде г11 ~ ~/ гт Д ' гт + г7 / = (а-:д) с' —, . -о;-тд.
"-В -6-~. н+ —,— а '[) гт >,д 11 гт.[.г3 гт-, 'гй нли форма 1 = [1.А], где Ь =-, 6+о+ а, А = (гт+й) с+. т1 ьг о+В гт+)1 ' гх-~-гД / ' Ь = Л6+ о - Лза, А = (гх ь 1)(с+ Лт1). Прн этом Л = . —, а 6-, тт дифференциал гамильтониана исходной 1т гх+ Г системы с рассматриваемой скобкой. В этом случае также необходимо, чтобы гт ф -.1. 3.
Ь вЂ” А-пара системы Брука. В качестве примера рассмотрим получение Ь вЂ” А-пары системы (10.7). которую запишем в виде Е М ..- [Мгьг) — [т67) 0 = [п,ьг). (10. ГВ) В этом случае Г" = 3(3), Н = то(3), гг пространство симметрических матриц размера 3 х 3. Рассмотрим в качестве следствии частный случай 7 = гх, ~9 = 1 и соответствующее ему семейство скобок (, -)а + о((ь ) + (, 1,). Вигампльтопова относительно этого семейства система допускает представление Дакса -- Гейзенбергаг где 'з зО.
Ь вЂ” А-нары и ннганильншноооеть: картоноеекое разложение 171 Для применения рассмотренной схемы необходимо ввести следунэщие переобозначения М вэ 6 Е во(3), и вэ и Е Вуш (симметрическая алгебра 3 х 3), В э-э а Е пуггп — 1 <-> и Е Куш, ьо еэ Л О во(3). При атом для матриц В и аз выполнены следующие соотношения [В,7) = О, [В,аэ) = [М,7). В силу представления (10.8) система (10.13) явлнется гамильтоновой относительно любой из скобок (, )о+ а(( э ) + (, )р), и и — 1. (10.14) Действительно, полагая как и выше Л = . ~, рассмотрим гаэг ге -: 1' мпльтониан вида Н„= ( —,(М,оз) — (1,н)) .
(10.15) Х = [ т ). нэ Е во(3). эгз с во(2) Я /н, Я1 згз матрица размера 3 х 2. Х /0 Н1 некоторая постояннан 5х5 матрица вида т . В разложении Картана подалгебра Н явлнется примой суммой эо(3) Е во(2э), 1' состоит из /О Я матриц вида [ т ц . В переменных М, оц В уравнении движении обобщенного волчка Ковалевской в двух однородных полях задаетсн гамильтонианом (см. 34) Н = (з1зэ + К 1 2Мэ4) — еэг —. Вг 2 (10.16) Непосредственной проверкой можно убедится в том, что гамильтопова система со скобкой (10.14) и гамильтонианом (10.15) совпадаот с (10.13). 4. Волчок Ковалевской и его обобщения.
Как было указано в 3 1 гл. 2, наиболее естественное представление длн обобщенного случая Ковалевской было указано в работах [141, 137]. Получим его с помощью изложенного метода. В качестве алгебры С рассмотрим алгебру во(3,2) матриц размера 5 н 5 таких. что Хт = — ТХ7, Х Е во(3. 2), 172 Π— 2Мз Мз 2 ма 0 М, 0 М, -М, 0 0 0 0 0 1 = Лй+о+Л 1, А =ы — ЛХ.
(10.17) Ь вЂ” А-пара волчка Ковалевской. найденная в ~141], получается из (10.17) при помощи процедуры редукции, приведенной в ~ 8 гл. 1 (раздел 4). Для зтого необходимо исследовать интеграл М4 + Мз -::. С. Как несложно проверитги приведенные уравнения совпадают с обобщенным случаем Ковалевской Я4 гл. 2) на алгебре ао(3) Ю, К~ = 1АХ,об~у) и гамильтопиапом ХХ = — (Мз — АХз~ 2Мзз — 2МзС) — ои — дг (10 18) 2 Постоянную циклического интеграла С можно интерпретировать как вектор гнростатнческого момента. Ь вЂ” А-пара отой интегрируемой системы получается, если заменить в матрице Ь переменную ЛХ4 па С вЂ” Мз, а матрицу А представить как дифференциал ( ПХХ при атом —, = 0). Полный набор первых интегралов может быть ПМ4 получен при разложении ТгХь по спектральному параметру.
и скобкой Пуассона, определяемой алгеброй ао(3) ~В Ка (перед компонентами си ХХ в (10.16) произвольных констант к., р можно не писать, в силу ипварнаптпости структкры атой алгебры по отношению к преобразованиям подобия а -> жа, ХХ -> рД, изменяющим только орбиту. Представление Пакса. -Гейзенберга системы (10.16) можно представить в виде 'з 10. Ь вЂ” А-пары и лига,иильтонооостьо нартаноасное разложение 173 Знмвчлнив 1. Гамиоьтоннан (4.9) случая Коваленской является функцией Казимира ллн скобки (, )е — (., ) — (, ) . Отметим, что описанпап процедура родукции проведенная длн алгебры (оо(3) Жно(2)) Ю, ка, входящей в пучок, не может быть проведено одновременно для всех скобок пучка, и соответственно, не может индуцировать новую (редуцированную) бигамнльтонову структуру.
Повидимому, волчок Ковалевской (в отличие от интегрируемых систем, рассматриваемых ранее), вообще не допускает бигамию толока описании. Интересно было бы найти к этому алгебраические или даже аналитические (исслсдуя систему вблизи особой точки или цикла) препятствия. Со своей стороны сделаем лишь одно замечание. Бигамильтоновость систем Ляпунова- -Стеклова, Клебша, Манакова была обисловлеыа нх определеннои вырожденностью в том смысле, что соответствуюп1пе системы допускают интегрируемые обобшения на целом семействе алгебр Ли. Причем в этоы семействе суп1ествовалн две неизоморфшае алгебры (например, ао(л) и е(п — 1)) для волчка Манакова).
а соответствующие интегрируемые случаи переводились друг в друга коптракциой или даже линейным преобразованием. Указанный в (18, 104) аналог слу чая Ковалевской на алгебрах ао(4), ео(3, 1) тазике контрагируетсл в классический случай. Для него несложно найти разделяющиеся переменные, однако вопрос о линейном изоморфизмс этих случаев, видимо, пс изучен. Интегрируемый случай Адлера и ван Мербеке [177), существуюший на но(4), нвллется примером, не выдерживающим контракции на е(3). 5. Построение интегрируемых систем на римановых симметрических парах.
"1аким образом, общая схема получения интегрируемых систем на римановых симметрических парах (П,П) может быть сформулирована следучощим образом. Для скобки (10.14) выписываетсн полная система функций Казимира. которые определяютсн параметрами элемента сдвига аргумента. Среди этих функций затем отбираются динамические системга на О (или на бй) имеющие реальное физическое обоснование возможно, после редукции на линейные интегралы, которыми обладает первоначальная система. Этот рецепт во многоы аналогичен схеме Адлера Костанта Симса (Ае!!сг — Кояскп! — Яугпез (АКЯ)) (324)з н обобщающему сс методу 174 Глава 9 г-матрицы ~132, 311, 146], в которой, однако, все рассуждения нроводнтсл для систем в форме Ь вЂ”. А-пары и связаны с методом орбит в теории групп и алгсбр Лн. В мстодс г-гиатрицгл элементы опсратороп Ь, А принадлежат, как правило, бесконечномерной алгебре петель.
Интегрируемые системы на рнмановых симметрических парах, указанные в работах ]139, 140, 310, 311] 1и связанные, например, с системами взаимодействующих волчков), также могут быть получены указанным выше способом. ЗАмечАннв 2. При указанном выше способе построенил П вЂ” А-пары, связапом с существованием согласованной пуассоповой структуры (как и для способа 5 9), полнота инволютиепего семейства интегралов будет следовать нэ теоремы Волсннова Я 5 гл. !). Для 1 — А-пары со спектральными параметром, полученной иным способом, полноту ннволютнвного семейства интегралов надо доказывать, что может являться непростой комбинаторной проблемой (252]. Полнота ннволютнвного семейства, полученного с помощью Формализма алгебры петель )399], хотя и слсдуст из общей схемы этого мстода, пе является естественной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
