Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ЕЕоназатсзльство. Представим гамильтониацы (6.11), (6.13) в виде Н= „' Н =Е(п.Ь) — С(ц). С (о) Пользуясь коммутационными соотношениями алгебры е(4) запишем уравнения движения обеих систем Ь = — ~ —. х Ь+ — х л 1 ЕдР' дГ С чдЬ дя 1 Е ОГ1 Ч =- — (Ч,—.~ Ч=— С ч, '~дл/' С Ег дС вЂ” —,— х с1, Сг дЧ Х' ЕПС дС Сг 1,ддо дЧ вЂ” х с1+йо— Такпги образом, задача о движении точки по трехмерной сфере с потенциалом Н(д) является частным случаем движения в том же потенциале ЕЕ(д) = Н(Л) (физическоо пронсхождоние которого может быть иным) твердого тела вокруг неподвижной точки с шаровым тензором инерции (17, 8Ц. Докажсьц слсдун .'32; Предложение 1.
Галзальтонова система (6.10) при ЕУ(о) з— в О (задача Якоби на трехмерном элминсоиде )Ейд)) на многообразии постоянной энергии Н = 1 триенторно эквивалентна системе с галсильтонианом 136 Глаза 2 1,= — хЬ, — хя — — хс1, дР дР дС дЬ ' дя дс1 й= --- хх-- х1 дЬ дя дно дс1 дР 1 дР дР :дя,) дЬ д Произведя замену времени г1т = — сй и учитывая, что на выбранном 1 С уровне Н = 1 справедливо уравнение Р = С, нз первой системы получим вторую.
Распространим аналогию, замеченную в (78. 291) для двумерного эллипсоида и случая Клсбша уравнений Кирхгофа па с(3) па случай трехмерного эллипсоида. В работе Переломова (135] приведено обобщение случая Клебша для произвольной алгебры е(я). Для гамильтониана где М„. генераторы ло(п), а р; генераторы зКач в стандартном представ- лении, аналог условий Клебша имеет вид (при з ф гч )с ~ т, ф з) и .ь (с — сл) †, а,,~ (сь — с ) + а,„у (с — с,) = О. (6.14) Несложно проверить, что гамильтониан (6.13) удовлетворяет условиям Клебша (6.14). Таким образом, геодезический поток на трехмерном эллнпсоиде на класном уровне энергии является траекторно эквивалентным гамильтоновой системе (6.13) на нулевом уровне энергии.
ЗАмечАние 6. Б [21! указано. что если геодезический поток имеет частный интеграл Г(х,р) при одном из значений энергии. то оп имеет н полный интеграл, который равен Р(х,р) =1 х, где (р' = чар,рз и гзмипьтониан Н =- лм(х)р;р;. Злмкчлпив 7. Задача Неймана на Кз, которая описывается гамильтонианом (6.11) с произвольным квадратичным потенциалом Н = ~ его~, задает 137 З б. Изокерфихжы ентеериррежнх случаев Зливчлннв 8. Записав гамнльтоииан задачи 1!копн Лля двумерного зллнпсо- ила в переменных алгебры е(3) Мсь получим интегрируемую систему не алгебре е(3) прн произвольных значениях постояной площадей (М,т) = с (полпятис задачи Якоби с сингулярной орбиты па есю с(3)). Злнечлпне 9. Аналогичные результаты о траекторном изоморфизме справелливы ллл п-мерной задачи Якоби и многомерной системы Клебша Нереломова [133) (уравнения Кирхгофа иа е(п)).
То, что на е(и) существу- ют сингулярные орбиты копрнсослнпспкого представления, гомсоморфпыс Т" Ь'"' 1, яаляетсн хорошо известным фактом (см, приложение 4). 3. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта. Рассмотрим систему Леггетта (5.21) без магнитного пол~ [239, 283, 129); в этом случае гамильтониан в кватерннонных переменных М, Л, Ло можно записать в виде: 1Мз+ (7(Л ) (6.15) Сравнивая с (6.12), нетрудно заметить„что задача Леггетта эквивалентна задаче о двилсении материальной точки по Вз.
В силу того, что потенциал У зависит лишь от Ло, можно считать, что материальная точка движется в попс неподвижного цсптра, помещенного в северный (южный) полюс, а сила взаимодействия зависит лишь от расстояния до него (аналог задачи о движении в центральном поле для Кз). Как и в плоском случае сохраняется вектор кинетического момента частицы: Ь = —, (Х вЂ” М) = сопз$, 1 2 (6.16) где )х) = ЛМЛ ".
Однако интегралы (6.16) пс ицволюгивны, из пих можно составить только два интеграла, находящихся в инволюции, например: Ез,1.~. Так как интеграл Ез = (М.т) — Мз совпадает с (5.4), выполнив с ш1моп1ью него редукцию, мы можем записать систему (6.15) на алгебре (5.10), понизив при этом ранг скобки Пуассона. Поскольку интеграл 1з пахочится в ипволюпии с Вз, ого такзкс можно записать в поток, трапсвсрсальпый потоку случая Клсбша (при а„ть сы).
Траекторную эквивалентность зтнх потоков можно установить, используя теорему Кноррера об нзоморфизме задачи Ноймана и Якоби [266) и се обобщения, полученного А. В. Веселовым [332'. Изоморфнзм залается гауссовой проекцией зллипсоила, при которой геодезические перехолят в траектории задачи Неймана (см, также '23)). Глава й переменных алгебры (5.10): Х = 2 (72, (1 — з, + зз + чз) + +~2 (1 '21 е2 зз) + ~3 (1 + з1 + з2 зз)) ' 2 2 2,2 2,2 2 2 Выбрав интегралы потока, порожденного (6.17), снова можем понизить ранг скобки (6.10) еще на две единицы.
(В силу того, что интеграл (6.17) нелинеен по импульсам, уравнения, связанные с конфигурационными переменными, пс отделя1отсн.) Эту же процедуру можно провести непосредственно (см. з 8 гл. 1), если выбрать совместные интегралы потоков, порожденных гамильтонианами (6.16). Поскольку из трех функций (6,16) можно составить лишь две инволютивные. ранг скобки (2.7) упадет на четыре единицы (вместо шести). Можно проверить, что с йи коммутиру1от величины р,=~l~м,ЧЧ~П, „,=~м~1 Га, Л', =Лщ Л =Л,+Л тЛ",. Они образуют нелинейную алгебру: (рз,р1) = р1оз/2о1, (рз,пз) = а1/2.
(рз,о1) = — жз/2, (6.18) (р1 н1) — (р1; ез) — 0 2(1 (6.19) Следовательно система Леггетта без магнитного поля может быть записана на алгебре (6,18). Обобщенный (имеетси в виду наличие ир11ищи1лыюго потенциалаа !7 (72)) волчок Лагранжа на алгебре е(3) имеет гамильтониан Н =; — (М,' + М,' — аМз ) - 77 ( ~з) 2 (6.20) Система (6,20) допускает два инволюгивных интеграла рь=Мз.
рз =(М 1'). с функциями Казимира г1 — — о~ 1 аз~ = 1, рз = р1121 — — сопзФ. Ранг скобки (6.18) равен двум, и поэтому любая система на этой влгебре интегрируема. Гамильтониан (6.15), записанный в новых переменных, приоб1ротаст впд 'г 6. И812норфазаы алжсграрувлых случаев 130 Это позволяет записать уравнения движения на алгебре, составленной из совместных интегралов потоков, поровгденных интегралами Г1, И21 Мгтг — Мгтг МгЪ вЂ” М122 Р1 1 Р2 г ьЯ+ ~~ Я+-1~ от = '(Г 71 ' 72 ггг = Зз. 2, 2 рз = Мз Коммутационные соотношения длп пих имеют вид (1122Р12) = -Рз -Ргпг/о1: (рмрз) = (рг,рз) = О, (рг, ог) = о11 (6.21) (Р21 о1 ) ог.' (Р1:яг) = (Р1, г) = (11з,яг) = (Рз, г) = О Функции Казимира алгебры (6,21): Г1 = о, + от — — 1.
Гг = Ргог+Рзог Гз = 112. 2 2 Злмгчлннв 11. Можно также установить аналогию волчка Лагранжа с сис- темой Ле1твтта. пользуясь образующими вида 31 = М1 + М12 32 = ~8 83 = (31132) г н 31 — М1 + М2, Мз 82 — л11 38 - (31 32) 2 2 2 соответственно. При этом получаетсв неоднородная квадратичная алгебра Я«оби [55). Злмвчлннв 12. В рассмотренном приведенном фазовом пространстве волчок Лагранжа и интегрируемая система Лсггетта являются тригамильтоновыми системами в силу теоремы 4 З 5 гл. 1. Ранг скобки (6.21) равен двум, Если положить рз =- 0 (то есть зафиксировать однопараметрическос семейство симплсктичсских листов), то величины Р1,Р22оы тг образуют четырехмерную подалгебру, изоморфную (6.16).
При этом гамильтонпан (6.20) совпадает с (6.10). Это означает, что систему Логгстта без магнитного поля можно рассматривать как час|ный случай «обобщенного» волчка Лагранже на пуловой константе иптограла Лагранжа Мз = рз = О. Злмвчлннв 10. Прп нпом выборе образу1ощих в алгебрах (6.18) получа1отся однородныв квадратичные алгебры ранга два. 140 3 7. Принцип Мопертюи и геодезические потоки не сфере А = 1 (Ч,В (Ч) Ч) (7.1) и свнзью Чз = 1. Переходя к гамильтоиову формализму со свпзими в избыточных пеРеменных (4), находим фУнкцию Гамильтона (Р с лсллЧ Е кь) , (Р,В-'Р) (Ч.,В-'Ч) — (Р,В-'Ч) з (7.2) 2 (ч,в 'ч) Лпалогичнол функции дагранжа вида 2 ' (ч,в-'ч) (7.3) и связь Чз = 1 приводит к функции Гамильтона Е1 =; — ((р,в лр) (с1,В лч) — (р,В лс1) ) . Рассмотрим отображение Г*Кз — ~ е (3), заданное формулами (7.4) (7.5) Т=Ч, М=ЧХР 1.
Метрики иа двумерной сфере Ь'. Динамическая система на орбллте (М, у) = 0 алгебры е(3) с квадратичным по импульсам гамильтонианом порождает геодезический поток на двумерной сфере Я~. Таким образом, интегрируемые геодезические потоки на Я~ могут быть получены из интегрируемых задач динамики твердого тела. Этот факт можно установить при помощи следующей конструкции (см.
также (17, 21]). РассмотРим двУмсРпУю сфсРУ, стапдаРтпо вложсппУю в Вз: л7л + + Чз ч- дз = 1. Метрика в ве На = К1л1длл1л11 порождает геодезический поток на сфере Яз, который в избыточных переменных ллл задаетсн функцией Лагранлка 'Ч 7. Лриииип Мопертгои и геодезические потопи па сфере 141 (Момэ) = ециМи Р|е Ъ) = с'ИЪ: Ь УУ) = О Гамильтонова система на е(3) с гамильтонианом и= -'(м,А(7)м), 2 (7.6) с помощьнч отображения (7.5) переносится на Т'нз, где функции Га- мильтона имеет вид (7.2), Коэффициенты матриц А и В связаны соот- ношениями — 1 †— 1 — 1 АЫГЛ кгсггп Цг' Впт Игэп~ и,' которые означают, что матрица А составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы В ~.
Следовательно В= А или В '=(ЫАА'. йей А Подставив это вгпраяеение в (7.3), получим А (ц) 2 1 ' (ц А 'ц) йсгА (7.7) т. е. квадратичная форма на с(З) (7.3) порождает геодезический поток на Яз, описываемый функцией Лагранлса (7.7) со связью е1з = 1. Если гамильтопиап имеет вид и =-'(м,А(т)м)+и(7), (7.8) то, воспользовавшись принципом Мопертюи [2, 21) и формулой (7.7), получимг что ему соответствует семейство мстрнк вида дп" =— И (Ц) йгг й7;~~г 1е1А (Ч,А 'Ч) (7.9) Отметим, что и в общем случае произвольный снмплектический лист алгебры е(3) диффеоморфен кокасательному расслоению двумерной сфсры Т'оз [21[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
