Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 21
Текст из файла (страница 21)
некоторая постоянная ортогональная матрица. Подставив это преобразование в (3.3) получим 1, = Т (В'СР)И) = т (ИВтСП1)) = ЧЪ (В."Ще)) . Таким образом, мы привели одну систему взаимно перпендикулярных однородных полей, направленных вдоль векторов о,Ц, у, с центрами приложспин, опрсдслнсмыми матрицсй В.т, к другой системс перпендикулярных полей, направленых вдоль векторов Л, З,ф., и матрицей центров приложения Вт ~Вт (3.5) 2. Особые случаи. Разберем некоторые частные случаи, при которых преобразование (3.5) молсет привести к упрощению вида потенциальной энергии (3.2). 1. Центры прилолсенля трех взаимно перпендикулярных полей лелсат на одной оси. Для этого случая матрица центров призе~кения имеет внд В~= 6 О О Легко видеть, что ортогональным преобразованием Я ~3.5) она может б *. у ° «ра'=а ~(,'РГОГЯ,п,я, а =~~~' ~.а, =[„,Е.а.--„„.,~. „„ь быть сведен к случаю одного однородного поля, направление которого определяется вектором В, а центр приложений лежит на той же оси.
1 Ю. Движение в еуаерповиции однородных силовых полей. Приведение 100 В = Ьг Ьг 0 С помощью преобразования (З.о) матрица Вг и потенциальная энер- гия Г приводятся, соответственно, к виду В~= О ю О Г = исг1 -1- оог 1 'и|Нг = (Гг~ й) 1 (гг>(д) Например, можно выполнить поворот Б так, чтобы направление нового базисного вектора а совпало с направлением вектора (аы Ьы с|)., а век- тор (аг, Ьг,сг) располагалсн бы при этом в плоскости ортов а,(д, Прн этом и= а +Ь -гс. о= о, аг + Ь1 Ьг -1- с, сг ,и, пг+ Ьг+ г,г и Поэтому н рассматриваемом случае система сил может быть приведена к двум взаимно ортогональным полям., радиус-векторы центров прилогкения которых в общем случае неортогональны.
Если сделать ортогональными радиус-векторы центров, тогда станут неортогональными поля (в этом случае Г = айг - Ь1гг, но (Й, 1г) ~ 0). 3. Ес.пг гпензор моментов инерции шарооод, то дополняя преобразования Я преобразованиями осей, жестко связанных с твердым телом, которые в этом случае нс меняют вида кинетической энергии, можно привести Г к диагональному аиду 1 = иоя + Мг+ с"уз. (3.0) "1'ак как компоненты еи)1,т квадратичным образом (2.6) выраягаются через кватсрпиоцы, то выражение (3,2) может быть представлено как произвольная квадратичная форма переменных Лн 1 Р = — ~ с„,Л„Л„.
2 нз =о (3.7) 2. Центры приложения трех перпендикулярных полей лежвгп в одной плоскоспиц то ость г = О, г = 1,2,3. При этом Глава 2 В случае (3.6) все недиагональные члены в (3.7) равны нулю (св = О, при любых 1 у'.-,у). В 4. Метод Ковалевской Ляпунова и интегрируемые случаи 1. Динамически несимметричный случай. Рассмотрим условия интегрируемостн системы (2.9) с потенциалом (3.2), (3.7), который для удобства представим в виде: 1' = — (СЛ, Л) + (Ь, Л)Ла + аЛз, а ~ К.
2 (4.1) При этом С = ~~сО)~ является произвольной трехмерной симметрической матрицей, Ь вЂ” — произвольным вектором., в постоянная а несущественна (в дальнейшем положим а = 0) в силу наличия функции Казиз мира ~~~ Лз„= 1. Как и в (3.2), в формуле (4.1) присутствует девять а=о произвольных коэффициентов, которые совместно с тремя произвольными величинами а,, определяющими кинетическую энергию Т = — (АМ,М), А = гйай(ам аз.,аз) 2 (4.2) задают систему, обладающую двенадцатью произвольными параметрами.
Для анализа интегрнруемости этой системы можно примеянть метод., восходящий к С.В.Ковалевской и А,М.Ляпунову ((5, 75), см, также [б1)) и связывающий существование полного набора интегралов с мероморфностью общего решения на комплексной плоскости времени. В неинтегрируемой ситуации общее решение, вообще говоря, ветвится и имоот сущсствоппыс особоцпости па этой плоскости (220!. Уравнения двиясспия длн системы с потенциалом (4.1) имо|от вид М = М х АМ+ -Л х СЛ + -(Ь.
Л)Л вЂ” -Л1(СЛ+ ЬЛа), 1 1 1 (4.3) Ло = — — (Л, АМ), Л = — (Л х АМ) ч- — ЛоАМ. 2 1'ассмотрим прежде всего динамически несимметричный случай и1 < аа < аз, Для исследования ветвления воспользуемся методом малого параметра (51). Для этого в уравнениях (4.3) произведем замену "З4. Метод Ковалевской-..Телунооа и интегрируемые случаи 111 Ло — э з/еЛо, Л -+ з/гЛ.
При г = О (случай Эйлера--Пуансо) система допускает частное четырехпараметрнческое семейство решений: М" = У/1~ У = (/м Ь. Хз): (Ло, Л7. Л,". Лз) = С„(а,/и — 1,аз/з, — о,/,)1 '/з -г Сг(1,а,/„аз/з,аз/з)1 '/~ — ' — Сз( — 1, оз/ы из/з, из/з)1 / — С4(из/ы 1, из/з, — аз/з)1 /; /1=+ ' . /з=- ': /з=~ з/иззом з/имазз ' з/оззазз ' где С, — произвольные постоянныс, аб = а,— а . Разлагая решение (4,3) в ряд по малому параметру Л =Ло+вЛ,' ..., Л=Л" гЛ'— М=М вЂ” еМ -~-..., получим для М линейное неоднородное уравнение с коэффициентами, зависящими от аромени. В помощью замены времени 1 = схр(1т) эта система сводится к линейной неоднородной системе с периодическими коэффициентами.
Отсутствие вековых членов тьс"с в общом рсшопии такой системы равносильно отсутствию логарифмических членов по первоначальному времени и Находя спектр и общее решение однородной системы и пользуясь методом вариации произвольных постоянных, можно получить условия отсутствии логарифмических членов. Пользуясь также несложными симметрнйными сообралсениямн, молсно заключить, что логарифмических членов пе попвится только при одновременном вьцюлпении условий с; — О, о; О для любых значений индексов з, зй Не приводя подробные вычисления, вполне аналогичные приведенным в (51), сформулируем окончательный результат.
Теорема 1. В случае. динолтческой несимметрии необходимым и доглзоточным услооиямн отсутстоия логорифлтческого оетвления уравнений /(.3) с потенциалом /4.1) является выполнение усшвия Ь; = с; = О, 1, з = 1,...,3, что соответствует интегрируемому случаю Эйлера — Иуинсо /т.
е. добавление еще двух однородных полей к уравнениям Эйлера Пуассона не молсет сделаспв систему интегрируемой). Заметим., что рсшсппс уравнений (4.3) задачи Эйлера- -Пуапсо будет обладать ветвлением на комплексной плоскости времени типа квадратного корпя, это в какой-то моро противорочит основной установке классиков (Вейерштрасс, Ковалевская, Ляпунов), которые связывали 112 Глава й интегрируемость системы с ее однозначностью на комплексной плоскости времени. Однако, это согласуется с ковдопцией «слабого» свойства Пенлсве .Ковалевской [240, 340), при котором вместо рядов Лорана ищутся полпопарамстричсскис решении па комплексной плоскости времени в виде рядов Пюпзо ('»1. Рп1зеапх) 1по дробным степеням времени 1'1"',11 Е г«).
При этом общао рсшсцис будет однозначным пс па комплексной плоскости времени. а на ее п-листном накрытии. Отметим также, что в этом случае система остается алгебраически вполне интегрируемой в обобщенном смысле — в уравнениях Эйлера— Пуассона аналогичная ситуация возникает в частном случае Горячева Чаплыгина )65]. 2. Обобщение интеграла Гесса — Аппельрота.
Как и в классических уравнениях Эйлера.--Пуассона длн уравнений 14.3) можно найти условия на коэффициенты Ьз,см, при которых существует частный интеграл, обобщающий интеграл Гесса Аппельрота. Несложные вычисления показывают, что уравнения движения 14.3) обладают частным интегралом (4 б) 1 /П бз = — ~ — СЫ . — СЗЗ 2 1,Д 1 1 а с1з — — 1 — щз + — сзз 21Д' а' (4.6) С22 = С11 + СЗЗ. Можно показать, что условия (4.6) действительно обобщают условия Гесса- -Аппальрота и сводятся к пим при наличии всего лишь одного однородного силового поля.
Аналогично мо»кно получить два оставшихся условия путем циклической перестановки индексов в (4.6). Оказывается, что этого интеграла достаточно для интегрируемости уравнений 14.4) в общем случае (А.Г. Холмская). Запишем классические уравнения Эйлера. -Пуассона в специальной системе координат, где озз = О. В случае однородного силового поля на уровне Р =- О., если выполнены следующие соотношения между ко- эффициентами 14. Метод Ковалевской еранрнова и интеериррежие елднаи 112 рошопис Гесса получаотся при условиях азз = азз, азз — — азз — — О, т.
о. гамильтониан имеет вид ЕХ = — ~аыЛХз + 2азгМзМг азз1Мз Мз)) — ' ыгз (4.7) 2 ~ при этом частный интеграл записываетсп как ЛХ~ = О. Нри дополнительном условии азз = О гамильтоннан (4.7) переходит в гамильтониан системы Лагранжа. Отсюда слодуот., что центр масс тола в случае Гесса, как и в случае Лагранжа при ЛХт = О, движется по закону сферического маятника. Родуцнроваппыс с помощью интеграла ЛХ~ ураиюпия движопня волчка Гесса и волчка Лагранжа совпадают. Однако при «поднятии» систем дополнительные члены с коэффициентом озз в уравнениях движения системы Гесса приводят к отличию в динамике двух систем, в частности, одна из переменных подчиняется уравнению Риккати, что делает невозмоазным выразить решения Гесса в квадратурах.
Отметим, что аналогия между случаями Гесса и Лагранжа была указана в ~59). НайДем. пРи каких соотношенинх межДУ коэффиЦиептами сгд кваз тернионные уравнения системы с потенциалом ЕЕ = Л с;.Л;Л облазд=о дают интегралом Гесса ЛХз = О (в специальной системе координат). В результате получим следующие условия год — — О, гоо : г11, гоз : — — сзз. гзз = сзз, соз = — сзг; сзз = О. Таким образом, потенциальная энергия приводитсн к виду Н = созж$ -~- +аеез + ЛД вЂ” с уы т. е. имеем случай одного однородного силового поля Я 3).
3. Случай динамической симметрии. 11сследование условий однозначности существенно усложняется при наличии динамической симметрии аз — аз. Для краткости ограни чимсп рассмотрением случая, когда г' = (СЛ, Л), С = <Ивисы сз, сз), зто соответствует тому, что все три силопых центра находятся па различных главных оснх эллипсоида инерции. Вычислим показатели Ковалевской для некоторых частных решений (см. ~ 7 гл.
1). В качестве таких частных решений возьмем ЛХо~1 Л, ЛоУ1 „, 114 Л",=, Л",=. ~ 1 (сг — сг)аз ~(( (сг - сг)аз 2. М, = Мг = Лг = Ле — — О. Мг = 2гаг '. ч = ю ----'----, ч = (сз — сг)аг' ' ~/(сз — сг)аг' 3. Ме = Мзо = Л~г — — Лз е— — О, Мго = 2гаг Л =1' . —; — Л )' 1 е )/агсг' г )/ агсг' Показатели Ковалевской для этих решений следующие: 1. — 1,2,2,0,3,— ~ 2(2а — Оат — )~, где а = аг/аз,.
1 г а ' 8 /' 2. ( — 1,2,2,0.3,1 — зы1 — зг), где зызг являются корнями квадрат(аг — аз)(сг — сг — сз) ного уравнения лг з+ — 0,: аг(сг — сз) 3. (-.1,2,2. 0,3,1 - зы1 - зг), где зы зг являютсн корнями квадрат(аг — аз)(сг — сг — сз) пото уравнения зг я — О. агсг Для нахождения условий иптсгрируомости можно воспользоваться методом Коваленской (см. (782 178., 338]), который требует существования полнопараметрического лорановского разложения общего решении. В этом случае система будет являться вполне алгебраически интегрируемой по Адлеру и ван Мербеке (175, 176, 178). Для большей общности будем требовать, чтобы (как и в случае Эйлера- -Пуансо) существовало полнопараметрическое разлогкение общего решения в ряды Пюизо с дробным показателем г/ (алгебраическая иптсгрирусмость в обобщенном смысле (292)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
