Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Переходя с помощью преобразования Леккандра к проекциям момента не оси, связанной с телом системы координат М = (Мк, Мз, Мз) М = —,, ХХ = (М. вк) — Х, получим уравнения движения в гамильдй ды и-кы' тоновой форме (уравнения Пуанкаре. —.Четаеве) М=М х дН дМ +ох д +дхг + хг дгк дд ду' „ дН „ дН дм' Ф ™ дм' дН гк=гкх -,.
ХХ= — (М*,АМ') — И(гк,д, у)., М = М*+ И'(гк,Х4, у), А =1 ". (1.2) Уравненнн (1.2) явлнютсн уравнениями Гамильтона с пуассоновой структурой, определяемой алгеброй во(3) О, кз 61 Гчз 61 11з, являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трех алгебр трвнслнций (см. формулу (6.10) з 6 гл. 1) (Мт,Мк) = емлМы (Му;ок) = лолам (ЪЩ) = — еду дл, (М,, ~ (он от) = (доД) = (у;. у) = (гкоуЗк) = (оо у ) = (Д, у ) = О.
(1.3) Хк — — (гк,а), Хз = (гумй), Хз = (у, у), Хз = (гк,д)~ Хв = (гк~'у)~ Ув = (Ху 'у). (1.4) Скобка Пуассона (1.3) является выроккденной и обладает шестью функциями Казимира 11. К,»асса«еское форо«ы урооиеииа дииажиии твердого теза 93 Размерность пеособого симплектического листа, гомеол«орфного (ко) касательному расслоенииэ ЯО(3), равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированностп, снмплектический лист определяется условиями: 1«г - ~з = „«гз . 1. А Ь = 16 Злмвчлнин 1.
Отметим. что если за пере»«онные, определяи»щие движение твердого тела, выбраны проекции кинетического момента тела на оси неподвижной системы координат Олие и строки матрицы поворота А (1.1) (а не столбцы, как а (1.2)), то образуется алгебра, изоморфная (1,3) (но следует везде заменить знаки «минус» на «пл««>с»). Уравнения движения аа ной россыатрнааются в 110 гз. 2. Эливчлнив 2. Компоненты момента М связаны с переменными Эйлера следующими сот аошениями, получающимися нз кнпематнческих уравнений Эйлера ып «» М~ = —,— (ро — рг сои В) +ре сои«г, ею В соо р М» =, (ре, — р«соэВ) — ре е!пи«, е1п В Лля практических вычислений пзбыточность уравнений (1.2) является очень неудобной, так как«например, при численном интегрировании этих уравнений быстро нарушаются соотношения ортонормированности (хотя уравнения (1.2) остап»тся справедливыми и в случае, если вектора сг«г«),2 необразуют ортонармированный базис — в етом случае динамика развертывается на других симплектическнх листах).
В следующем параграфе будет рассмотрена кватернионная форма уравнений движения, которая лишена этого недостатка. уравнение (1.2) были изучены ка интегрируемость при разных видах потенциала 1'. Так как симялсктичсский лист является шсстимсрным«то для ннтегрируемости по Лиувиллю недостает еще двух инволютивпых интегралов. Для линейного по сг,)3,2 потенциала зти уравнения будут подробно обсуждатьсн в Я3,4, в которых, в частности„ приведена классификация интегрируемых случаев. Лля квадратичного потенциала 1' интегрируемые задачи были указаны еще Вруном и более подробно изучены О. И. Богоявленским (2 10).
В атом параграфе мы остановимся па более простом случае, когда гамильтопиап Н обладает осевой симметрией в абсолютном пространстве, а стало быть, может быть представлен как функция лишь части папряпая«ощих косинусов, например, 2 = (чы 12, уз). В гакой форме могут быть представлены Раааа з уравнения движения классических проблем динамики твердого тела --. уравнения Эйлера Пуассона, Кирхгофа, Вруна 'Гисссрана [5, 28).
Уравнения движения прн наличии осевой симметрии представлнют всего лишь часть уравнений (1.2), так как скобка Пуассона (1.8) обладает замкнутой подалгсброй (М., г), хотя опн и могут быть получены из общих соображений редукции, изложенных в 58 гл. 1. Зги уравнения и соответствующая им пуассонова структура, определяющаяся алгеброй е(8) -. ло(8) 6~„Вз, нмок1т вид М=Мх — + т х —, дН дН дМ дг' х дН дМ' (1.5) (М;.М ) = — г.; лМл, )М„, у) = — г„. ь Гю (то д) = й.
Уравнения (1.5) всегда обладают двумя первыми интегралами (1.6) Р1 = (М,г) = сы Рз = (у,;) = сз, являющимися функциями Казимира пуассоповой структуры. Первый из пих — — линейный по моменту М представляет собой интеграл площадей и связан с существованием циклической переменной ф. Второй является геометрическим и выражает постоянство величины орта Г, определяющего ось симметрии силового поля в абсолютном пространстве (сз = 1). Для интегрируемостн системы (1.5) недостает еще одного дополнительного интеграла. рассмотрим две классические задачи, допускающие запись в форме (1.5).
Пернан из них задача о движении тяялелого тнердого тела вокруг неподвижной точки, описываеман уравнениями Эйлера Пуассона, вторая задача об инерционном движении односвязного твердого тела п жидкости, описываемая уравнениями Кирхгофа. 2. Уравнения Эйлера — Пуассона. В этом случае галинльтониав Н имеет вид Н = — (АМ,М) — Р(г,-у), (1.7) где А = о1ай(вы от,оз) матрица, обратная тензору инерции, Р вос тола, г --- раднус-вектор цоптра масс п связанной с телом систсл1с Вос Классические глории уравнений динамики глверс1ого тела координат. Все известные общие и частные случаи интегрируемости уравнений (1.5) были найдены в прошлом и в начало пыпсшпсго иска.
Они приведены в таблице 1 (под степенью дополнительного интеграла понимается его степень по моментам М, или, что тоже самое, степень квазиоднородности). Твбкецв и Более подробный анализ случаев интегрируемости, сами дополнительные интегралы, а также различные системы инвариантных соотношений для системы (1.5),(1.6) можно найти в книгах!5, 28. 51, 77 . В общем случае уравнения Эйлера Пуассона не являются интегрируемыми и демонстрируют хаотическое поведение,:28. 3.
Уравнения Кнрхгофа. Эти уравнения также могут быть записаны в виде (1.5). Такое представление для ннх было указано А. Клебшом (223'. Он получил ого прп помощи преобразования Лежандра (ш,ч) г (М,у) из лагранжевой формы уравнений д д7 дЕ , дŠ— — = — хы+ — хж, ду ды ды дч г1 д7 07, с(1 д» до полученной ранее Кирхгофом (74], Функция Гамильтона уравнений Кирхгофа Н имеет вид Н = -(АМ, М) + (ВМг 7) —, -(С7,7) 1 1 (1.8) и представляет собой кинетическую энергию системы етело+жидкостыл Матрицы А,В, С без ограничения общности можно считать симметричными. а матрицу А - диагональной. Они определяют присоединенные массы и моменты инерции, обусловленные взаимодействием Глава й тела с жидкостью [12, 110).
Компоненты Мг и у;, называемые в гидродиналгики векторами импульсивного момента и импульсивной силы соответственно, получаются при помощи преобразования ЛежанддЬ дЬ ра М = — гу = — из групповых переменных агггпг, янлнкзщихся дш' дм компонентами в базисе левоинвариантных векторных полей, соответствукгщггх «едиггггчггым» вращениям и трапслнпиям вокруг осей, фиксированных в поле.
Пргг отсутствии жидкости В = О, С = пгЕг где т масса тела. В этом случае порвал часть уравнений (1.5) отделяетсн и представляют собой уравнения Эйлера на ао(3), а вторая часть выражает закон сохранения суммарного импульса в неподвижной система координат (теорема Бернулли о независимости движения центра масс и вокруг центра масс).
Злмвчлнггв 3. Указанная различная интерпретации векторов М, у в уравнениях Кирхгофа и при дан«кенни вокруг неподвижной точки в осесимметричпом поло, позволяет указать аналогии между рсшеонямя этих задач. Псрнан такая аналогия была указана П. А. Стекловым а [320[ (интеграл Кзебша-— Бруна Тггссерана). Ке обобщение на случай движения твердого тела вокруг неподвюкной точки в обобщенно-потенциальном поле, квадратичном по М, у (например. заряягеншге твердое теча в однородном магнитном поле) обсуждается, например, в,у). В некотором смысле, зта общая аналогия является алгебраическим выраягением концепции Герца [4), который считал, что все потенциальные силы в механике могкио обьяснить «скрьгтымггг циклическими движениями. Замвчлнггв 4. Гамильтоновость уравнений Кнрхгофа на (ко)алгебре е(3) была лвно указана в [129), хотя понимание этого факта было постигнуто физиками существенно раньше (Г.
Биркгоф [12)). Их гамильтоновость была естественной для Пуанкаре, который во вполне современных понятиях обсуждал ее в родственной ггроблеме [308[. Случагл интегрируемости уравнений Кирхгофа приведены в таблице 2. Для всех случаен иптегрируемости выполнено условие В = гПад(6г: )гг, бз), С = г)гад(ггг, ггзг г:з). Вид функций Ггг дополнительные первые интегралы и анализ случаев интегрируемости штатель может найти, например, в [18].
Случаи Клебша 1 и 111, а также случаи Лнпунова и Стеклова являются взаимными, т. е. дополпптсльпыс интегралы одной из проблем могут быть приняты за функции Гамильтона для второй. Эти взаимные случаи могут быть вклгочспы в сдипос семейство (для случаев Ляпунова и Стеклова такое включение было указано Колосовым). Кллсснзескне формы уравнений дннамнкн о~вердого тела 97 Таблица 2. В общом случае уравнения Еирхгофа также явлнются ноннтегрнруемыми.
Необходил«ые условин существования квадратичных интегралов бьщи изучены В. А. Стекловым, обсуждение вопросов несуществования аналитических. однозначных, алгебраических интегралов содержится в работе [7, 2ос'ь Злмвчлннв б. В работе [129] выполнена также гамильтонова редукция системы Кирхгофа па функции Казимира Гз = (М,"»), Гз = (7, ») и введена одна из возможных систем «почтил канонических переменных (при этол» в скобку Пуассона внесены члены, отвечанзщие магнитному полю «монополя Диракал). Эта система, естественно, совпадает с переменными Эйлера (ро, р, В, со) после исключения циклической координаты зь Одвако, во многих случаях, более удобной системой канонических координат на снмпаектических слоях пуассоповой структуры алгебры с(3) нвлпются псрсмсппыс Апдуайс — Допри (см. напр.
[6]). Избыточньзе канонические переменные Ч,р на особом листе (М,у) = О, ( г,-») = 1 указаны в работе [78], при этом М = Ч х р,» = «1. Злмвчлвпк 6. Неавтономная система на алгебре ео(3) была рассмотрена Ж. Лнувиллем '280' в связи с исследованием одной задачи из небесной механики (двпженпе твердого тела с изменнюшнмися во времени моментамн инерции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
