Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть И ". нуассоново многообразие со структурным тензором ,7, = (х;,х ) ранга г (сйп1М = п). Предположим, что на М задан также некоторый набор функций л: М вЂ” г В, е = 1,..., 1, который замкнут относительно скобки Пуассона (8.1) (г„. гд) = 6 д(гы..., г,). Если все функции г„валяются независимыми.
то тензор )гад(г) определяет новый структурный тспзор (и соотвстствуюжую функциональную группу по Ли). С теорией псевдогрупп Ли для нелинейного полн Лад(г) читатель может познакомиться по книге (71). Если набор функций не является независимым (в частном случае, задает систему избыточных координат на М), то есть выполнены (независимые) соотноцюния (8.2) Г„(г) =О, и=1,...,Е то тензорное поле, рассматривасмос в пространстве Х = (г), вообшс говоря, не удовлетворяет тождеству Якоби. Оказывается, что в этом случае можно добиться выполнения тождества Якоби, преобразуя набор функций и тензорное поле йвд(г).
Действительна, легко доказать корректность ограничения тензорного поли (8.1) на уровень (8.2), задающий подмногообразие Л'о. Тождество Якоби для этого ограничения (, )ы, заведомо выполняется (длн этого необходимо из набора г„выделить полный набор независимых функций) и соответсвующео отображение г: М вЂ” > Хо являетсн пуассопооым. Безас того, возможно что структуру (8.1) можно корректно ограничить на более широкое (обьемлюшее) мнообразие ДГы заданное лишь частью соотношений (8.2), на котором уже выполнено тоагдество Якоби.
Соответствующую скобку Пуассона обозначим через (,-)ы1. 71 т у. Радую~ив луассвяввыз структур Оставшанся часть соотношений (8.2) с 1л = р,р+ 1,.... й разбивается на два подкласса 1) Г~(е) = О, и = р...., р + та — 1, нс < 1, 2) 7ел(с) = О: Л = р ' ги, ..., й.
Представители первого набора явлнются центральными функциями, а второго набора только пуассоповыми мцогообразилми, то сеть (з,рх(з))сс, = О, сс =1,...,1, при условии 1гх(л) = О. Злмвчанив 1. Для структуры Лв Пуассона (, ) эти многообразия определяемые соотношениями класса 11, задают сингулярную орбиту копрнсосднненного представления соответствующей группы Лн (см, приложение Л). Для получения полного набора аппуляторов пуассопоеой структуры на Хз необходимо к функциям Г (е) добавить функции Казимира первоначальной структуры на М = (шс), выражающиеся через переменные ею Так нак не все нуассоновы подмнснообразил на 1уы задаваемые соотношениями (8.2), являются функциями Казимира (то есть набор 2 пс пуст), то сс ранг по обязательно будет мспьшс с., и может возрасти (при этом, однако, всегда гассан )я, < г).
Полью алгсбраичсской пуассоповой редукции является: с одной стороны — с помощью выбора наиболее приемлемой системы функций з понизить ранг пуассоновой структуры на Жо(!), с другой —— найги нанболое приемлемое обьомлкэшее многобразие Хы на котором пуассопово тензорное поло Ь в будот иметь паиболсс простой алгебраический вид (в идеале определнется алгоброй Ли).
Прн этом необходимо следить также за приемлемой алгебраической формой гамильтониана. Укалсем три конструктивных пути нахолгдения снстемга функций з и приведенного (рсдуцнрованного) тензорного поля (8.1) для гамильтоновой системы жс = (зцН) =.у1», ш б М. (8с4) дну 3. Алгебраические алгоритмы редукции. 1. Вследствие наличия симметрий (первых интегралов) может оказаться что гамнльтониан Н зависит не от всех переменных ш;, а лишь от некоторых их комбинаций ег(ш),...,.и(ш). Вообще говоря, этот набор 72 Глаза 1 не является замкнутым относительно скобки Пуассона. Дзя получения замкнутого набора можно, следуя Якоби, выбрать за новые функции скобки Пуассона предыдуших, Несложно показать, что этот процесс на определенном шаге оборватсн и опродслит необходимую пам замкнутую систььаьу. Все искусство в этом случае заключаетсн в выборо первоначальных комбинаций зь,..., зь., для которого нет никакого опредоленного ььраььила.
2. Пусть гамильтонова система (8.4) обладает первым инторалом Г(щ) = с н соответстнукьщнм ему полем симметрий (8.5) ф .=- (щь Г). Если система (8.5) достаточно проста, что как правило справедливо, когда интеграл Г(к) имеет естественное симмотрийпое происхольдь ние (связан с инвариантностыо системы относительно некоторой однопараметрической группы прообразований), то она имеет достаточно богатое семейство независимых первых интегралов «ь,..., 7ь отличных от Г. По методу Якоби их можно дополнить до замкнутого семейства =1 = Уь, "за = Ув . (зь Ф Г) (збзь) = )ь;;(з). (8.6) Длн многих содержательных механических систем тензор Ь, (з) сразу удовлетворяет но только тождеству Якоби.
но и является линейным. Если семейство з = (зьь ..,, зь) в некотороьи смысле явлнетсн полным (в частности. осли все ьи независимы и к = п — 1), то гамильтопиап Н и интеграл Г можно выразить через эти псрсмсппыс— Н = Н(з), Г = Г(з). Вследствие ныбора функций з, как интегралов поля (8.5), функция Г(з) с ними коммутирует — ( ыГ) = О, и поэтому нвзяется аннуляторохи структуры (8.6). Следовательно ранг (8.6) хотя бы на две единицы меныпо исходног~ и процедура редукции завершена. Сделаем несколько замечаний относительно описанного алгоритма.
Зливчлнив 2. Вследствие неоднозначности выбора интегралов системы (8.5) можно получить различные пуассоновы структуры (8.6). Наиболее желательно получить структуру.1и Пуассона. Вообще говоря, для ряда садср"кегельных задач динамических задач зте невозможно. н тензорное палс является существеььььеь нелинейным. Злмвчлнив 3. Если указанное понижение ранга производится для уравнений Пуанкаре Ватаева на кокжзтелыщм расслоении (см. з' 5 гл. 2), а интеграл Г 73 з 8.
Редукэсли луассоноемз структур липсеп по (квази)импульсам и нвлястся циклическим, то система уравнений для позиционных переменных й отделнется и ннтегрируетсн отдельно. В ээом случае. как правила. релукцня может быть проведена конструктивяо. На локальном уровне (после ограничения редуцированной сруктуры на симплектический лист) этот процесс соответствует процедуре Рауса исключения циклической координаты. 'Ракой юлоаэныйэ путь редукции Рауса в некоторых случанх способен дать более полную ипформацшо о тополагичсском устройстве приведенной системы и позволяет выбрать для нее наиболее естественные приведенные канонические координаты. Злмвчлнин 4.
Вслээ интеграл Е(я) не соответствует никакой естественной групповой симметрии (например, эинтеграл Ковалевской в уравнениях Эйлера — Пуассопаэ см З 1 гл. 2), то нахождение интегралов системы (В.ос) затруднительно (и деке невозможно), и указанный способ не приводит к цели. В этом случае говорнт о скрытой симметрии, процедура редукции ло которой, как правило, конструктивно не выполнима. Злмнчлннн 5.
Как для первого, так и для второго варианта нахождения редуцированной системы л, мы переводим имеющиеся первые интегралы гамильтоновой системы (8.4) в разряд фушьций Казимира и тем самым понижаем ее ранг (по крайней мере на ээ"е). Злмвчлнцн 6. Последующую операцию ограничения скобки нв пуассоновы многообразия структур (., )к„, (, )м, также можно проводить различными способами. В некоторых случаях здесь также можно добиться упрощенин структурного тензора, внося константы, фиксирующие пуассопово многообразие, в гамильтониан (в классической процедуре редукции константы игнорируемых интегралов обязательно входят в гамнльтопиап, в лаграпжсвом подходе в приведенный потенцнал). Для описанной процедуры редукции характерна большое разнообразие приведенных систем, имеющих различные алгебраические представленив (в отличие от обычной схемы, где множество приведенных систем параметризуется ээроизводяпэей функцией канонического преобразования).
Злмнчлннн 7. Как и в классическом подходе, полоэкениям равновесия редуцпроваппой (приведенной) системы соответствуют периодические решения (стационарные движеяня) исходной. В некоторых случаях (например, при анализе на устойчивость) нх также проще изучать прн подходнщей алгебраизации (» не в канонической форме). Случай наличия у системы набора иинолютинпых первых интегралов сводится к последовательному примененикэ описанной процедуры к каждому интегралу по отдельности. Однако иногда удобнее воспользоваться следующими соображениями. 74 улова ! 3. Пусть у системы (8.5) имеется т независимых первых интегралов зг(х), (1 = 1,...., т), образующих некоторую, в общем случае бсскопсчпомсрпую, алгебру Ли (фб)з.) = Ачз(У) (8.
7) Случай, когда тензорное поле ЬФ является линейным наиболее часто встречается в приложениях. Оп соответствует инвариантности системы отш1сительно некоторой (миогонараметрической) группы Ли. Действие группы Лн при этом называется пуассоновским (гамильтоновым). Алгебраическая редукпня по симметриям, определяемым системой (8.7). сннзана с построением набора первых интегралов з, сг = = 1,....е потоков, порожденных гамильтонианами )) ((ха,),) = О), ь замкнутого относительно скооки Пуассона зьз.~ хч) = дчч(л) ( ) ° и обладающего свойством полнотьй в том смысло, что гамильтониан может быть выраясен через переменные х,„, г,.
Локальное существование такого набора следует из теоремы Ли— Картана, которую мы приведем в формулировке (4). 'Теорема 10. Пусть набор первых интегралов (8.7) задает отобралсение ): М -+ Ра'. Йредполозким, чпо точка с й Л ' не лвляетсл критическим значением отобразкенил 1", и в ее окрестности ранг матрицы (~6 д,~ ф.7) посгпоннен. Тогда в малой окрестности Г С Лр" точки с найдутся т незивисилсьи. функций ~р;: 17 — ь Д таких, что функции Ф; = ац о ): Х -ь В, Ю = ) ~(ьг) удовлетворяют следующим соотноьиениям: (Фм Фз) ' ' ' тФзч — 1 Фзч) все отпальные (Фи Фз) = О, Число йу раоно рангу матрицы ! Ь д'й, Из теоремы 1 следует, что ранг скобки (8.8) уменьшится по сравнению с первоначальным по крайной морс па величину ранга тспзора (8.7), (то есть число степеней свободы уменьшиться на величину максимального числа инволкьтивпъьх интегралов от переменных (8.7)), функционально независимых с первоначальными функциями Казимира.
75 5 У. Редуклик луассоковнх структур В розультате получим редуцированнукз систему = 1 .о 77(л,,)')) на совместной поверхности уровня первых интегралов 7в и соотвотсвующем спмлектическом листе пуассоновой структуры (8.8). Злмнчлнив 8. Рйахсот оказаться, что скобка (8.8) по удовлетворяет тождеству Якоби оо асом прострвпствс Л' = ш,...,ш, в этом случвс необходимо ограничить систему ка максимальное пувссоново подмногообраэис Х1 С Л" (см. выше). ЗАМечАние 9. Во мкагнх случаях (55 гл. 2) Д; выражаются через эо и являются функциями Вазимира скобки (8.8). При этом гамильтовиан также эввлсхт лишь от переменных в, и константы интегралов ~; = с, проявляются вновь при ограничение системы па фиксированный симплсктвчоский чист. С геометрической точки зреняя редуцированная система представляет собой систему па многообразиях порожденных потоками первых интегралов ~о В классическом случае это приведеннан система.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
