Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Вырожденные бигамильтоновы системы. Если одна из скобок ]ч )с, (ч )< пуассонова пучка ивлнется вырожденной (при этом вторая скобке, иап правило, также выр<вкдепа), та доказательства интегрируемости также проводитсн с помощью модифицированной схемы Магри Льенара. Пусть л<(х),...,л„,(х) и ЕУ<(х),...,С,л(х) — — функции, являющиеся аннулиторами скобок,Уо и,У<, то есть,Уа(<Ед<,.) =,У<(<ЕГ„.) = 0 (п ф и<).
Тогда каждый нз аннуляторов ь< определяет иерархию гампльтоновых векторных полей ти(х)<ъз;(х),... таких что 1. поле ти явлнется гамильтоновым относитеш но скобки 1ч )< с гамильтопиапом д« 2. пусть Ни(х) — гамильтопиан тога же поля относительна скобки Уо.
Тогда этот же гамильтониан относительно скобки,У< порол<дает гамильтанава поле тм. Таким образом, возникает итерационнаи процедура тн =,У<(бдь ) =,У,(ВЕЕ<„), тщ — У< (<УН<< ') — Уе (<ЕН2 ' ') тз< = У<(<УНаь ) = Уа(<!Нз, ). Ка<кдый из гал<ильтонианав ЕЕи(х),Нз;(х),... выражается через аннуляторы скобки Пуассона пучка ЛУа — у<,У< для некоторого отношения Л<<у<. Аппуляторь< л<абых двух скобок пучка находятся в ипоол<оции 47 'Ч гг. унга,нялыооновы систвмы относительно всех скобои того же пучка [при условии максимальности раш'а). Ответ на вопрос. образуют лп всевозмоясные аннулпторы скобок пучка полный набор интегралов, достаточный дтя иптогрируемоств по теореме Лиувиллн, дает теорема о полноте.
доказанная А. В. Бозсиновым [19]. Теорема 4. Для ссогсногиы.ннозяесспва интегралов необходимо и досгааточно выполненс я следующих условий: 1. размерность регулярных силнысет.исвсяих листов г:побоя Пуассона лучка Л,Уо + Гсдс одинакова для любого Л/Гл С О, 2. пусть Егх)„- обьвдингние сингуллрных симнлетпичесяих листов скобки Лдо Гсдс. Тогда сосГГсссГГзд, ) 1 для любого Л/Гс б С. Следует отметить, что механизмы интегрируемости вырожденных и невырожденных бигампльтоновых систем существенно отличаются друг от друга. Так, например длп вырожденных систем не определен оператор рекурсии и не существует высших пуассоновых струитур (кроме случая, когда симплсктичоскио листы обоих структур совпадают). В некоторых случаях пуассонову иерархию удается построить, используя так называемые мастер-симметрии. В выролсденном случае пара согласованных скобок всегда порождает семейство бигамильтоповых систем.
В качество гамильтопианов (5.1) принимаются функции Казимира этого пучка. Поэтому рассмотрим такие пары скобок более подробно. 3. Ливны пучки. Один из примеров возникновенил согласованныхх (в общем случае вырожденных) скобок Пуассона связан с рассмотрением лиевых пучков. Как будет показано в Г 9 гл. 2 эти пучки порождают бсггамильтоновы системы„явлнющнеся ьпсогомерным обобпсением интегрируемых задач динамики твердого тела. Определение 5. !!усть В копочпомсрпос липойпоо пространство. Паевым пучком пазываетсн линейное семейство лиевых структур ([., ]лег) па пространство й.
Линейность означает, что множество параметров 1 пвляетсп линейным пространством и [, ]ллс.яв Л[, ]л Гс[ч ]в. Связь лиевых пучков с согласованными скобками Пуассона очень проста. Если па пространстве Т задан лиев пучок, то на двойственном пространство 1 * возникает сомойстоо согласованных скобок Ли -— Гяава ! 11уассона ((, ) л)ля>> где ]«,д)л(х) = (х, [»«. >1д]л). Интересный с точки зрения приложений лиев пучок можно задать на пространстве косо- симметрических матриц.
Пусть Š— пространство кососиммстрических матриц. ! — пространство симметрических матриц. Положим (5.7) [Х, »г]л ХА»г — »'АХ. где Х,Ъ' б Х,, А Е 1. Этот пучок является одним из примеров так называемых замкнутых неприводимых лиеных пучков, классификация которых проведена И. Л. Кантором и Д. Б. Персидем (70]. 4. Метод сдвига аргумента. Согласованные скобки Пуассона новинка>от также естественным образом из л>е>пода сдвига арльнен>на [152, 156]. Напомним сущность этог метода, позволяющего получать функции в ипволюции па коалгобрс Ли б>.
(па которой опродолспа скобка Ли Пуассона, см. 11). Пусть «и д инварианты коприсоединенного представления группы Ли >г>, т. е. гладкие функции, постоянные на орбитах коприсоединенного представления Лс1*. Пусть а Е й* произвольный элемент коалгебры. Тогда функции «» (х) = «(х Ла) и щ,, (х) = д(т —, ра) находятся в ипвол>оции па й* при любых Л, р Е В. В некоторых случаях в качестве инволютивного семейства удобно рассмотреть совокупность однородных полиномов, полученных при разложении в ряд локальных инвариантов представления Аг!' в регулярной точке а с б*: «(а ->- Лх) = Рэ + ЛРд (х) + Метод сдвига аргумента является частным случаем общей конструкции построения ннволютивных семейств по произвольной паре согласованных скобок Пуассона. Вторая пуассонова структура определяется формулой («> д)„(х) = (а, [Л«(х)> >1д(х)]).
Тензорное поле. определяющее скобку (,-), явлнетсн постоянным, а скобки Пуассона ( > ), ( > ), согласованы и образуют пуассонов пучок. При этом функции вида «», = «(х + Ла), где «инвариант представления А>1*, ннзяютсн аннуляторамн дзн линейной комбинации и( . ) — »( ., )„»>!«о Л. Как уз»е было отмечено, полнота инволютиввых семейств, полученных из метода сдвига аргумента и из общих пуассоповых пучков, изучена в [!9]. 'ч' б. Бага,чклътоноеы сестеггы 5. г-матрица. Согласованные скобки возвикают в методе классической г-матрицы 311). Пусть д алгебра Ли и П линейный оператор па й. Определим па й билинейную операцию [ч ) согласно формуле [бак = [864 " [5 В4.
5~и е й. Эта опсрация кососиммстрпчпа. Если [, ]к удовлетворяет тождеству Якоби. то оператор К называется классической г-матрицей, а пара (й,К) называется двойной алгеброй Ли. При этом оператор В. удовлетворяет так называемому модифицированному уравнению ЯнгаБакстера: .06~И вЂ” В([6ц[к) = — [6Ф Двум скобкам Лн соотвотству|от две скобки Ли — Пуассона па й: (5.8) (5.й) (1(х), 6(х) ) = (х, [с(Г'(х)., с1й(х))), [ ('(х), й(х))н = (х, [г(('(х), гй(хбк. Опишем линейное семейство г-матриц. для которых соответствующие К-скобки образу1от лиса пучок, а скобки Пуассона (5.8) и (5.9) являются согласованными. Это семейство параметризуется пространством сплота|ощих операторов для присоединенного представления алгебры б. Определение 6. Линейный оператор в а называетсн сплетающим, если А о абХ.= АХ о А для всех Х В й, Справедливо следующее утверждение [311): Теорема 5.
Пусть К классическая ~ -матрица. Если оператор А является т летающим, то ВА также классическая г-матрица и соответствующие скобки Пи образуют лиее пучок. В метода г-матрицы гамильтоновы уравнения движения, определоппью второй скобкой (5.9) и гамильтопиапом, лвлянпцимся аппулятором скобки (5.8), записывакзтся в представлении Лекса---Гейзенберга [132, 146[. Отметим, что подход, основанный на понятии двойной алгебры Лн. не следует смешивать с теорией бигамильтоновых систем. В последнем случае одни и те же уравнения гамильтоновы относительно разных скобок Пуассона. В методе г-матрицы уравнения движения, порожденные функцннми Казимира скобки (5.8) (которые используются 50 Глава 1 как гамильтопиапы) и скобкой (о.9), вообще говоря, пс являк1тся гамильтоиовылш отиосительво скобки Ли- -Пуассона алгебры Пи 9 (5.8). Взаимоотношения между этими методами мы также обсудим в Ц9,10 гл. 2, где будет приведен один дифферекциатыш-геометрический подход к построению ? — А-пары с рациоиальиым спектральиым параметром.
В связи с изложенными выше способами устаиовлеиия иитегрирусмости системы (4.1) сформулируем два пс вполне рсшоппых вопроса. 1. Связано ли сущсствовакив предшиавлвкия з?акси Гейзекйерга с гамилыпвквввстыо дикамическвй систелчы (прямой связи здесь кель в виде Ь вЂ” А-пары молвив записать некоторгяе уравнеиил иеголонвмквй мехакики (гЗУ~ и уравнения Га.кильтоки, в отличие от (в.г) ие выдерлслвавт замену врв зеки). 2.
Сущешлвует ли связь мезкду йигамилыпоковыми сисгпелчами и каличием представления Лакса Гейзенберга со спектралькым аараметрвль Частичные ответы иа поставлеииые вопросы будут получены в Б9,10 гл. 2. 6. Примеры бигамильтоновых систем. ПРимеР 1. Вполие интегрируемая гамильтоиова система в переменных действие — угол (1,д), имеющая вид (5.10) ?г = "= ?ь = О, Рч = ыы".1Фь = щь,, д(иь,..., ш„) где шь функция от 1, в псвырождсппом случае — — -' ' — ф О, д(1ы..., 1„) допускает запись в различных иеэквивалевтвых гамильтоиоиых формах (89]. При этом симплектическен структура имеет вид (5.11) а функция Гамильтона (5 12) Здесь К иевырождсвиая фуикция от частот шы....ыа: З, б.
Бигамььлъьлнноаы система 51 'Гочные симплектические формы, нумеруемые различными функциями К(ы), естественно явлнются согласованными. Кроме того, как показано в з 4, систома (5.10) допускает представление о оидс Š— А-пары со спектральным параметром. В работе (89) показано также, что все инвариантные меры новырожденной интегрируемой системы (5ЛО) лиувиллевы (см.
))2). Пгимкг 2. Этот пример иллюстрирует также различие в аналитическом и алгебраическом аспектах задач, связанных с бигамильтоновостью. В аналитическом смысле вблизи невырожденного инвариантного тора класс допустимых гамильтонианов имеет функциональную мощность, а с алгебраической точки зрения интересна бигамильтоновость, опрсдслнеман структурным тепзором, имеьощим подходящую (например, полиномиальную) структуру.
Гамильтонианы, полученные из формулы (5.12), могут глобально не продолжаться на все фазовое пространство. Пгимпг 3. Приведем вторую пуассопову структуру для интегрируемого волчка Лагранжа в динамике твердого тела. Как уже было отмечено в ()1 гл. 1, уравненин Эйлера Пуассона представлнют гамильтонову систему со скобкой Пуассона, определяемой аспеброй е(3). Гамильтониан волчка Лагранжа может быть представлен в виде Н = —,(ЛХ, МХ + аМз ) — уз, а = соььзс. 1 Вторая согласованная структура, имеет вид: (Ъ,-ЬХ) = — льль"Ьь (ЛХ»ЛХз) = 1 (Л|ь: "ЬХ) = О.
(513) Фуьькцььи Мз и ( у..Ь) нвляются аннуляторамн скобки (5.13). Пуассонова структура представляет собой прямую сумму алгебр вращения но(3), идеала ЛХз и двумерной канонической алгебры Н(2)ь ло(3) Ф гь~ Ю Н(2). Гамильтонов ноток н агом случае генерируетсн гамильтониишьм Ни = (а — 1)Мз —,(Мь ~- ЛХз) + 'Уз) м (ЛХь ьь ж ЛХз ьз -с ЛХз7з). (5 15) ь,2 Завью уравнений двильеннн волчка Лагранжа на алгебре (5ЛВ) позволнет определить новую систему канонических переменных. Ими будут явлнтьгя координаты Мь,ЛХз, 1ь1, где ",ь = Д вЂ” Х сон1, "ьз =- = ~/1 — Хз аш1, ьз = Х.
Глава 1 Разобранный пример позволяет прояснить природу бигамильтоновостн в гамнльтоновых системах. Внгамильтоновость интегрируемой системы оказывается связанной с возможносью различных, но сс гамильтопоеых возмущений. Так, волчок Лагранжа кроме ососиммотричного потенциального возмущения допускает возмущения вида Е| = Не ~'- Нз, где Нз — — Нд~ Мы Мз, Мз). Уравнения движения Л'Ет М (а 1) ьтзл|з —, '1з т д| дН дН, дМг Мз = —, = (1 — а)М,Мз — чт — д . (Мт, Мм Мз), ВН ВЕЕ, с1 11|1 (5.16) Мз:: 6, ч=-1х о =ч хАМ, А=с11ай(1,1.а) ВНо ду будут описывать динамику оссснммстричпого волчка в силовом поле, зависящем от моментов (угловых скоростей).
Такого рода задачи рассматриваются обычно в динамике твердого тела под действием диссипативных гироскопических и управляющих внешних воздействий, которые обычно априори не гамильтоновы. В общем случае уравнения (о.16) пс являются иптсгирусмыми, так как пропадает интеграл площадей. Интересно было бы найти ограничения на функцию Н,(М), при которых существует еще один дополнительный интеграл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
