Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 8
Текст из файла (страница 8)
в которых гамильтонова система имеет вид 1ч = О, фч =М1,....,7в). 1 = — 1,...,п. Прн й = и — 2 получается геометрический вариант теоремы Эйлера Якоби сохранение кнвариантной меры следует из теоремы Лиувилля длн гамильтоновых систем '1г 79) (см, также приложение В).
Обобп1спис этих теорем па случай вырожденных скобок Пуассона очевидно †. надо только рассматривать ограничение системы на симплсктичсский лист и использовать нривсдсппыс выше утвсрждспин. В дальнейшем нами будут приведены примеры гамильтоповых систем, обладающих как коммутативным, так и некоммутативным полным набором интегралов. а также системы — — алгебра скобок Пуассона интегралов которых нелинейна. Вопросы, связанные с конструктивным введением переменных действие угол для интегрируемых систем, затронуты в приложении С.
В 4. Представление Лекса — Гейзенберга 1. Определение. Полупростые алгебры Ли. Уравнения многих динамических систем могут быть представлены в матричной коммутационной форме. Такое представление в неявном виде использовались еще в прошлом столетии (например, Кеттером [267]). Впоследствии оно обрело современную форму в квантовой механике в связи с матричным подходом Гейзенберга. Глава 1 Определение. Представлением Лаков.-ырейзеибвргв системы диффе- ренциальных уравнений (4.1) х= и(х), хб М" называется пара квадратных матриц Ь и А, удовлетворяющих следующим условиям: 1. элементы матриц 1 и А. гладнис, в общем случае, комплскснозначиые функции х; 2.
выполнено тогкдество (4.2) Х = (А,Ь), где элементы матрицы Ь вЂ” суть производиыс от элементов Ь в силу системы (4.1), причем (А, Ь" = АЬ вЂ” 1А. Ясно, что все решения системы (4.1) удовлетворяют уравнонилм (4.2). Для того, чтобы исключить тривиальные случаи (например, Ь = О), вводитсн понятие точного представления, когда все решения (4.2) удовлетворяют (4.1).
Иаиболее важным является случай. когда матрицы Х и А принадлежат одной и той же конечномерной алгебре Ли в матричном представлении. Приведем один пример такой Ь вЂ” А пары. Уравнении Гамильтона на коалгебре Ли д" (Э 1. гл. 1) (4.3) х = (айви)х.
х Е д* пс всегда могут быть представлены в коммутационной форме, поскольку действие оператора а<1~ не сводится, вообще говоря, к вычислению коммутатора. Однако, такое представление возможно, если предположить дополнительно. что на алгебре Ли д существует невырозсдеииое, инвариантное относительно присоединенного представления скалярное произведение (, ), задаваемое матрицсй йд р~~.
В этом случао мы можем отождествить пространства й и д* с помощью соотношения (4.4) где (., ) — операция спаривания элементов алгебры и коалгсбры, Е Е и, у* Е й* и элемент у Е д отождествляется с у*. Инвариантность скалярного произведения эквивалентна тождеству ((с, Ь й а) + (Ь, (с, а) ) = 0 Нредгтаи мнил Ленси Гейэенпериа и поэтому (ГС)(х*) = (х*э[ээЕэРС]) = (хэ[эьг",э!С)) = (ЛС, [х,йЕ))э (4бэ) где произведено отождествление х и х' с помощью соотношения (4.4).
Уравненил (4.3) теперь моэкно переписать в коммутационной форме х вэ)лих — [А,х!э А йН, х Е (д*)' = д. (4.6) Невыроэкденная инвариаптная квадратичная форма имеетсл, например, в случае полупростых алгебр Лиэ где имеется метрика Киплинга Картава, опредсляемая через структурпыо константы по формуле ч э и д; = — ~~сэ„с и ьд Из представления (4.2) вытекает, что оператор 1 (х(1)) в процессе эволэоции подвергается преобразованиэо подобия Ь(1) = Т(1)Ь(0)Т-'(1), А = Т(1)Т-'(1), (4.7) где Т можно считать элементоээ группы Ли б.
порождаемой алгеброй р, так что В(1) = Аб,й Ь(О). где А(г) левый сдвиг касательного вектора Т(Ф) в алгебру. Таким образом, собственные числа оператора 1 (1) не зависят от ~ и, по выражению Мозера, испытывают «изоспектральную деформацию», а инварианты алгебры й 1ь(к) = Тг(1 ь(л)), й Е М (4,8) нвлаютсп первыми интегралами системы (4,1). Б подходе Лекса для интегрирования системы (4.1) ищется представление в виде Ь вЂ” А-пары, затем строится достаточное количество независимых интегралов и показывается, что опи паходятсн в ипволэопии.
Зимкчлнив 1. Длл пилупристой алгебры Лн справедливо также неснолььо иное, но эквивалентное представление Лекса- Гейзенберги [82, 9Ц. Выберем и алгебре П иртинирмнравииный балис Енэлнги, э этим случив матрицы Ь н А для уравнений (4.3). которые в координатной форме имеют внл даава 1 представляются в виде Аь —— ~~ сь„, бн п~ = Р(Л): х(Л) = ~дтЛ'), д; Е д. (4.9) Эта алгебра называется алгебраб петель в силу того, что в отличие от копсчпомсрпого случая, сс диаграмма Дыпкипа содержит замкпутыс циклы. Коммутатор в й~ полностью определяетсн соотношением Прн этом алгебра д представляется в виде прямой суммы надпро- странств (4.10) Подобные алгебры называются Е-градуироваияыяи.
Существуют так- же различные модификации этои конструкции, приводящие к другим бесконечномерным алгебрам. 2. Представление со спектральным параметром. Ксли в описанной конструкции ограничиватьси только конечномерными алгебрами а, то для многих важных случаев динамических систем выражения (4,8) не дают полного набора интегралов.
Приведенное выше Š— А представление длн полупростых алгебр Ли не дает, например, выражения длп интеграла энергии. Кроме того, даясе в случао. если представление Лекса Гейзенберга и дает полный набор интегралов (как в многочастичных системах (см. ~ 2 гл. б)), оно яе достаточно для явного интегрирования системы. Поэтому консчномерную систему (4.1) обычно представляют в форме Лакса с помощью элементов бесконечномерных алгебр Ли, как правило, с помощью введения в алгебру д дополнительного парамотра. Простейшей бсскопсчпомсрпой алгеброй является алгебра д~ полиномов Лорена по Л с коэффициентами в некоторой полупростой алгебре д Лредстаелекае Лекса -Гейэеклереа Полагая матрицы Х, и А элементами из й>. получим представление Лакса Гейзенб>ерга, содержащее произвольный (спектральный) параметр (4.11) 1 (Л) = (1,(Л), А(Л)].
Прн этом инварианты (4,8) также нэляются интегралами движения, но теперь опи зависят от Л. Разлагая их по степеням Л, можно получить расширенный набор интегралоэ Л 1ь(х, Л) ~~> 1> „,(х)Л>", ! — Л. — >л> (4,12) =о которого уже> как правило., достаточно длн интегрируемости. Для представления ураанений днижениа я форме Лакее — Гейзенберга со спектральным параметром иногда эффективен метод г-матрицы, который состоит я том, что матрица А(Л) как вектор н й>. получается в результате действия некоторого й;оператора (Й,: д~ -> д~) на вектор Аь -- Иь(х> Л) Е й~., являющийся аннулнтором алгебры д, то есть (Аь,д] = О для любого д Е й~.
Отметим далее, что зафиксировав форму матрицы 1 (Л) и рас; сматриэая различные иняарианты !ь(х. Л) указанным способом> можно получить целую иерархию гамильтононых систем, интегральные траектории которых яэлпются различными обмотками одних и тех н>е инвариантных торов, определяемых набором интегралов (4.12). Разлнчпыс способы задания К-оператора па алгебрах д содержатся э обзоре ]132]. Наличие спектрального параметра н предстаэленни Лакса— !'ейзенберга позволяет но многих случаях построить явное решение (э тэта-функциях), указать спектральную кривую. определить переменные действие угол, то есть получить достаточно полную информацию о фазовом потоке (44> 241> 309].
3. Гамильтоновость уравнений Лакса. Вообще гоэоря> класс систем, допускающих представление э ниде Ь вЂ” А-пары, отличается от класса гамильтоповых систем. Как показано э (82], формальное представление Лакса — Гсйзспбсрга можно построить для аналитической системы дифференпиальных ураэненпй, рассматриваемой э окрестности положения раппопссия х = Ах ., х Е К' (опо пс будет формальным для линейной системы х = Ах). Кроме того, если замена времени Глава ! ндо~п траектории г4г = 7'(х) Ш, в общем случае, приводит к потере гамнльтоновости, то аналогичная замена в уравнениях Ь :: [Ь, А) приводит только к переопределенгио матрицы А — ~ 7"(х)А.
Достаточным услонием гамильтоновости уравнений в форме Лаков — Гейзенберга, в случае принадлежности матрицы Ь некоторой полупростой алгебре, является воем(икность представления А матрицы А = ЛН(Ь) + Л(Ь) Ь, где Н(Ь), Л(Ь) некоторые скалярные функции иа алгебре. Отметим также, что для известных в настоящее время представлений Лакса — -Гсйзсцбсрга, матрица А всегда может быть интерпретирована как градиент некоторой функции Н.
Возможности негамильтоновых представлений Лекса-- Гейзенберга в литературе практически не обсуясдались. Построенное и работе [27) представление для нсгамильтоновой системы Альфана на наш взгляд является довольно искусственным. Злмвчлнив 2. В работе Л. Фейрбанкса (Ь.
Ра!г5запхе) [234[ было получено однопарамстричсскос представление Лакее — 1'сйзспбсрга в виде матриц размера 2 х 2 для алгсбраичсски еполпс интегрируемых систем„допускающих липсаризацию на двумерных абелевых торах (в частности длн волчка Ковалевской). Для построения такой парЫ уже заведомо нужно иметь уравнения Абеля Якоби, то есть найти систему разделяющих переменных (типа переменных Ковалевской). Поэтому практическая ценность такой Ь вЂ” А-парьв как и аналогичных представлений, найденных алгебро-геометрическими методвмн с использованием траекторных изоморфнзмов нвляется сомнительной.
«Естественные» представления Лакса Гейзенберга методы построения которых описаны в Я 9,'!О гл. 2, наоборот, помогают найти полную систему инволютивных интегралов и явно проинтегрировать уравпеяил движения. Как показано в работах [44, !79' система Абеля Якоби является гвмильтеновой в различных смыслах. Представление Лекса Гейзевберга длн систем с разделяющимися переменными штеккелевв типа приведено в [!60). 4. Примеры. Любая гамильтоновв система в канонической форме и с аналитическим в особой точке гамильтоиианом допускает представление в виде Ь вЂ” А-пары [5). Действительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
