Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Большинство результатов, изложенных в книге, нвляются оригинальными. Они возникли в результате работы семинара по нелинейной динамике в Удмуртском государственном университете. Мы прежде всего благодарны В. В. Козлову. который постоянно поддерживал нас на противлении всей нашей научной деятельности, а также А.В.Болсинову, который помог нам в разрешении самых сложных вопросов. Мы также выражаем глубокую благодарность за полезные научпыо обсуждения и консультации Х. Арофу. В, И. Арнольду, А. А. Белавину, А.
П. Веселову. 10. А. Данилову, Б. А. Дубровину, С. Л. Дудоладову, С. Л. Виглипу, О. В. Маптурову, М. Л. Ольшапсцкому, О. Е. Орел, В. П. Павлову, П. Е. Рябову, М. А. Семенову-Тян-Шанскому, В. С. Сидоренко, 10. Н.Федорову, А. Т.Фоменко, А.Шенсинеру. Часть расчетов л8 гл. 2, а также некоторые ссылки были сделаны А. Б. Павловым. Авторы благодарны также своим ученикам —. А. А. Кнлину, В. Г. Лебедеву, Н.
Н. Симакову., Л, Г. Холмской, В. Л. Чернойвану которые помогли нам написать отдельные разделы книги и А.В. Широбокову за набор и макетирование книги. что оказалось совсем непростым делом. А. В. Борисов, П. С. Мажаев ГЛАВА 1 Скобки Пуассона и гамильтонов формализм 31. Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли — Пуассона 1. Скобки Пуассона и их свойства. Многие задачи динамики допускают запись в гамильтоновой форме Р=: Н=Н(Р Ч) (11) оЧ где канонические координаты (с1„р) определены на некотором четномерном многообразии (с1, р)~Мзь — фазовом пространстве (<1пп М: — и).
Функция Н называется гамильтонианом. Если ввести скобку Пуассона двух функпий 1г и ср по формуле (1 лй) го уравнения (1Л) можно переписать в виде ж = Ы,0). р* = (ро Н). (1.3) з1юбан диффероицируеман функция зг = г'(Ч, р) также эволкгционирует по гамильтонову закону: (1А) Г= (Г,Н). Классическое изложение гамильтоновой механики, основанное на теории производящих функций и канонических преобразований координат (Ч,р) не наляетсн инвариантным относительно произвольных координатных преобразований. Позтому при инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П.Днраку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона, определенных для функций, заданных на некотором многообразии М с координатами х = (х~,...,х").
Требуотся, чтобы зги скобки удовлетворили следующим условиям: (э и Опреээеление и примеры сколок Пуассона. Скалки Ли — Пуассона 17 1*. (ЛЙ+дЯ,С) = Л(Гэ.,С)+1э(Р~,С), Л.,дб К билинейность, 2'. (Гэ С) = — (Сэ г') . кососимметричностич (сэ сюС) = Еэ(рз. С) + 1з(рэ,С) — правило Лейбница, 4'. ((Нэр)эС) + ЦС,Н),Е)+((Г,С),Н) = Π— тождество Якоби. Скобку Пуассона ( э ) мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие М, на котором она задана пуассонав. В приведенном определении мы отказались от свойства невэиролсдеяностэц (т. е. ЧГ(х) ~ гоээпэ, БС ~ сопз1. (Г.С) ~ э)), которое заложено в выражении (1.2), что позволяет. например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем.
При этом пуассонова структура может оказаться оьэролсдеяной и обладать функциями Казилэира 7ги(х), коммутирующими со всеми переменными х, и, стало быть, с любыми функцннми эеС(х), (ГиэС) = О (в литературе для функций Казээьэира употребляют также термины: аннуляторы. центральные функции, отмочоппыо функции и просто казимиры). Свойства 1' — 4' позволнют записать скобку Пуассона функций г' и С в попом видо (хэ а.ут э7Г дС дкэ дку (1.5) — Е О то получаем капоничсскуэо скобку Пуассона, опрсдолясмуэо формулой (1.2).
Структурная матрица .РУ(х) обладает следующими свойствами: а) кососиммотричпостип ииу(х) = — Рэ(х), (1. 7) Базисные скобки д'" = (хэ,хэа) назьпэакэтся структурными фушэциями пуассонова многообразии М относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат х (131). Опи образуэот структурную матрицу (тензор),У = ((дэуй размера и, х ц. Вели Глава 1 б) тождество Якоби: в ~,à — + У вЂ”, + дд — ) = О. аОЯь ыОУ' чОУм1 От~ О'/ 1=1 (1.8) Легко видстгч что всякая постоянная кососимметрическая матрица .Р~ задает пуассонову структуру.
Инвариантный объект. определяемый тензором .Р~, нвлнется бпвектором (бивекторным полем): 1 др дд) ~~, 1п~х) Ор' д сааб для дт1 где ас' — коесктор с компопсптами— Ос' дт' Векторное поле Хн = 1х, Н) определяет на многообразии гамильтопову систему, которая в компонентной записи имеет вид т =- (Хн)в = ~т, Н) = ~ Рл(т)" .. дт' (1.9) Функция Н = Н(т) при атом называетсн гамильтонианом (функцией Гамильтона). Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотно- шением тг(Ха,Хг) = (т.С). ~Хи Хя! = — Х1н,нр Несложно такжо проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование. сохраняющее скобки Пуассона.
Определение 1. Функция Р"(т) называется первым интегралом сис)яемы. если ее производная вдоль системы равна нулю Р = Хя(Р') = О (~Хн, Хр1 = 0), зто условно эквивалентно тому, что 1Р, Н) = О. 2. Невырожденная скобка. Симплектическая структура. Если скобка Пуассона является певырождснпой, то ей однозначно сопоставляется замкнутая пспырождсппап 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции Р операция Хр = (лг, ) является дифферопцировакиом н задает некоторый касательный вектор на М. Все касательные векторы мол но представить в таком виде. Определим 2-форму иР по формуле З С Определес<пп и припери скобок Лупссопп. Скоб<<и:Хи Лупссопп 19 Из аксиом 1' — 4' следует, что она билинейна, кососимметричяа< невыр<пплеиа и замкнута.
Эта 2-форма называется сил<с«<ексссс<ческой сспруктурой, а многообразие ЛХ вЂ” си,килек<и<<чепкин лкпгообразиель В общем слУчае фоРма ыг имеет внд 2 ы„з<Хк< д <4кз, где [~и<<с~[ — [[,Рс][ ', в каноническом случае (1.6) ыз = 2 <1р д Ду<, К такому виду по теореме Дарбу "3] приводится локально всякая симплсктичсская структура. Обратно, пень<рожденная форма ыг позволяет установить изоморфизм касательного Т М и кокасательного пространств: вектору 4 С ТпМ ставится в соот<зстствио 1-форма псе~(с)) = п<~(с),с) г У;М, где с) с ТпМ. Пусть Х: Т.'ЛХ -+ Т М -- обратное отображение.
Легко проверить, что скобка Пуассона двух функций К<С, заданная формулой (Хг, С] = псз(Х<1С,ХЛг') удовлетворнет условиям 1' — 4' и условию невырожденности. 3. Снмплектнческое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона явлаетсн вырол.донной. то пуассоново многообразие (фазовос пространство) рассланваотся па симплсктичоскис слои (листы) .
ограничение пуассоповой структуры на которые ужо невырождено. Эти слои представлнют собой общий уровень всех центральных функций и для них справедлива теорема Дарбу. Таким образом, на симплекти сеском слое мы вновь возвращаемся к ситуации стандартной канонической (симплектической) гамильтоновой механики.
Однако, для приложений сведение к такой системе пе всегда бывает необходимым< так как ведет к потере, например< алгсбраичпости дифференциальных уравнений и ограниченности применения геометрических методов исследования. Рапгоь< пуассоповой структуры в точке х С М называется ранг структурного тензора в этой точка (очевидно, что он четен).
Как правило, под рангом пуассоповой структуры па М понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке х Е ЛХ. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален. Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных (возможно вырожденных) пуассоцовых многообразий. Доказательство этой теоремы восходит к Пи 278] и Дарбу< с более формальными рассуждениями москно ознакомиться по работе [334] (см. также [131]). Теорема, Пусть (ЛХ, (,.)) <суасеокоао лскогаобразие разл<пркости а, и и точке ж б М рпкг скобки (, ] локально постоянен и равен 2г. Тогда существует локальная спас<сема (канонических) коорди- 20 Глвви 1 ншп хз,..., х„, уы..., у„, зы..., з„з„, в которой скобки Пуассона име- ют вид (хо х ) = (у,, уу) = [хилл) = (у;,за) = (гь щ) = О, (хб у,) = бп, где 1 < е,ул < г, 1 < й,1 < н — 2г.
В указанных координатах симплектический лист задаетсн уравпопинми щ = с, (с; = сопят), а снмплсктичоская структура па псм задается формой щ = ах; Л 0у;. Если в любой окрестности точки х ранг не является локально постоянным, то теорема Дарбу уже не являетсн справедливой. Одно из обобщений теоремы Дарбу длн произвольной точки получено А. Пейнстейном [334] и будет рассмотрено в Э 9 гл. 1. Нормальпыс формы пуассоповых структур вблизи такой особой точки х Е М обсуждаются в ,'2, 334].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
