Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теория Ли в целом была забыта математиками и физиками, пока П. Дирак пс возобновил к пей иптсроса в связи с обобщспиом гамильтоновой механики, необходимым для целей квантования [57]. Физические рассуждения Дирака приобрели математическую законченность (возможио, излишнюю) н работах Лихнеровича [276, 277], Марсдеца [287, 288] и Вейпстейца [334, 335, 286]. Менее формальное изложение, дополпсппос различными фпзичоскими примерами гидродипамического происхождения, имеется в работе С. П. Новикова [129] (см. также [60]). В дальнейшем зти результаты позволили выработать альтернативную (по сравнению с формализмом внешиих форм [2] п теорией производящих функций [154]) аксиоматическую основу гамильтоповой механики.
Отметим ещо один любопытный исторический момент. В книге Ли [278] была введена скобка Пуассона па двойственном пространство к алгебре Ли и фактически указана ое связь с коприсоедипеииым представлением группы Ли (скобка Ли — Пуассона, линейная скобка см. ~ 1, гл. 1). Эта скобка оыла забыта вплоть до 60-х годов пешего столетия.
Ее переоткрыл Березин (в дальнейшем она применялась также Кирилловым, Костаитом и Сурио) в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. В гампльтоновой механике интерес к структуре Ли -Пуассона возрос после появления работы В.И.Арнольда [1], в которой была представлеиа одна из форм уравнений движения п-мерного твердого тела вокруг неподвижной точки.
Заметим также, что до работ С. Ли некоторые вш|свые примеры скобки Ли Пуассона были известны еше Якоби. В его примерах скобка Пуассопа возпикала па пространство первых иптогралов уравнений Гамильтона. Рассмотрим более общую ситуацию. Лаграцжевы уравнения динамики с использованием вместо обобщенных скоростей хопределяющих параметров> были записаны А. Пуанкаре [307]. В дальнейшем Н.Г. Чотасв показал [164], что этим уравнениям можно придать гамильтонов вид, если некоторым образом изменить вид канонической скобки Пуассопа (1).
Эта скобва для многих классических систем имеет особо замечательный вид (например, для уравнений Эйлера —— Пуассона, э'1 гл. 1) н естественным образом вкладываетсн в теорию Ли. Отметим. что связь своих уравноций с теорией групп и алгебр Ли прекрасно осознавал сам Л.Пуанкаре, рассматривая задачу о движении твердого тела с полостями, имеющими жидкое вихровос наполнение (308]. Тем не менее, свойство гамильтоновости урааноний Эйлера— Пуассона и уравнений Кирхгофа. являющееся очевидным следствием записи уравнений движения твердого тела в форме Пуанкаре- — Четаева, обычно связывают с работой [129].
Основное отличие нашей книги от традиционных учебников по классической механике состоит в систематичоском изучении именно вырожденных пуассоновых структур. Нарнду с общими теоремами (которые, как правило, приводятся без доказательств, но со ссылками. где их можно найти), мы рассматриваем новые примеры из различных областей классической механики, физики и математической биологии, в которых такого типа пуассоновы структуры возникают естественным образом. Как заметил еще С.Ли (278], с локальной точки зрения, вырождсппыо пуассоповы многообразия (многообразия со скобкой Пуассона) мало чом отличаяэтся от обычного невырожденного (симплектического) случая. Он доказал общую теорему Дарбу для этой ситуации и показал, что при этом пуассоново многообразие расслаивается на симплсктические подмногообразия (листы), иа которых естественно ограничивается любая гамильтонова система.
Это ограничение (локально!) возвращает иас к классической гамильтоновой механике, теории симплектическпх многообразий и внешних дифференциальных форм. Однако из этого вовсе не следует. что вырез~денные пуассоновы структуры не имеют собственного теоретического интереса. Как правило, во многих задачах предпочтительней оставаться па семом объемлющем многообразии. Это особенно естественно для систем, зависящих от параметров. Вопросы, связанные с их интегрируемостыо и исследованием частных решений, глобальным (топологическим) анализом решений.
существенно проще ставятся и решаютсн имонно яри записи гамнльтоновых уравнений движения с вырожденной скобкой Пуассона. При этом семи уравнения движения, в отличие от канонической формы записи, во многих представляющих интерес случаях получаются полпномиальными н даже однородными. Для анализа ицтегрируемости таких систем могут быть применены хорошо разработанные алгебраические и аналитические методы ис- Наадеаиа следования, восходящие к П. Пенлеве, С, В.
Ковалевской, А,М. Ляпунову, основаннью на изучении поведения общего решения системы дифференциальных уравнений на комплексной плоскости времени. В книге мы приводим ряд новых результатов, отражающих специфику применения методов Ковалевской — Ляпунова для квазноднородных систем дифференциальных уравнений. обладающих пуассоновой структурой, а также используем их для исследования ннтегрнруемостн различных задач. Алгебраический подход наиболее нагладно иллюстрируется на примере вихревой динамики (гл. 4), которая, начиная с Кирхгофа и Пуанкаре изучается в каноническом гамильтоновом представлении. Запись уравнений движения в новых образующих, условия коммутации которых определяют некоторую алгебру Ли, позволнет разделить исследование на две состовлнющие.
При этом часть информации, связаннаа с топологическими свойствами системы, оказывается заключенной в скобке Пуассона, которая также зависит от параметров системы (интенсивностей вихрей), а другая определнется свойствами гамильтопиапа, задающего динамические систомы па симплсктичсских листах, фиксированных интегралом момента.
Остановимся. вкратце, на общей структуре книги. В первой главе обсуждаются механизмы возникновения пуассоповых структур в динамике (ограниченно ца снмплсктичсский лист, понижение ранга структуры при помощи симметрий, редукция Дирака, уравнения Пуанкаре — Четаева), а также вопросы интегрируемости соответствующих уравнений Гамильтона (алгебра интегралов, представление Лакса Гейзенберга, бш амильтоновы системы). Подробно изложены вопросы редукции гамильтоноаых систем на алгебраическом уровне, и связанной с ней процедурой пониженин порндка. В Э 9 мы отдельно рассмотрели редукцию и скобку Дирака, так как в большинстве современных изложений к этому вопросу подходят либо со слишком формальной точкой зрении, либо ограничиваются наивным физическим уровнем.
В главе 2 рассмотрена нован кватерниопнан форма уравнений в динамике твордого тела. а также некоторые систомы, потучакзщиеся из пнх с помощью попнжспин ранга пуассоповой структуры с учетом снмметрийных законов сохранения. При этом понижение порядка производится в алгебраической форме, что дает большие преимущества при анализе.
Па примере кватернионных уравнений в Э4 произведен анализ иитегрируемости методом Ковалевской и получено обобщение 14 йееделае теоремы А.М.Ляпунова '111" для случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки в суперпозпции однородных силовых полей. В этой главе указаны также изоморфизмы между различными динамическими проблемами и рассматриваются вопросы, связанные с введонием канонических координат Я8), получением интогрируемых геодезических потоков на двумерной и трехмерной сферах при помощи иптогрирусмых задач динамики твердого тола Я 7) и продольными задачами динамики Я12). Глава 3 посвящена анализу движения материалыпях точек и твердых тел в трехмерных пространствах постоянной кривизны. Постановка вопросоп об исследовании движения п этих пространствах восходит еще к П.
И. Лобачевскому и Э. Шредннгеру. новое развитие эта тематика получила я работах П. Хиггса, Н. А. Черникова, В. В. Козлова. Здесь мы приводим все известаые к настоящему времени интегрируемые задачи п искривленной псбсспой механико, а также частпыс решения (типа точек либрации) и ограниченные постановки ноинтегрируемых задач. В главо 4 рассматриваются пуассоновы структуры, возникающие в задачах о движении вихрей па плоскости и сфере. Указан траекторный изоморфизм интегрируемой задачи о движении трех вихрей (на плоскости и сфере) и системой Лотки — -Вольтерра, возникающей в математической биологии. В э4,о исходи из новой формы динамических уравнений выполнена классификация движений в интегрируемой задаче трех внхрай на плоскости и сфере.
Указаны сферические аналоги стационарнгпх конфигураций и частных решений классической задачи о движении точечных вихрей па плоскости. В главе б анализируются многочастичные системы обобщенные цепочки Толы и Вольтерра, системы Мозера Калоджеро и обсуждаются различпыс формы записи этих ураопспий и гамильтоповой форме. Особое внимание уделено условиям интегрируемости этих систем в связи с сучпествованисм бигамильтонова описания и построения представления Лакса Гейзенберга. В конце книги приведены прилоятспия по различным разделам гамильтоновой механики и сформулированы нерешонные задачи.
Последнее призе~кение посвящено новому методу приведения плоской задачи трех тел из небесной механики. основанному на предварительной алгебраизации этой задачи. Ваедееие 15 Рассматривая различные конкретныо задачи мы. как правило, не ограничивали себя рамками формальных построений и пытались прояснить качественные и геометрические особенности их поведения. Для интегрируемых систем мы даем наглядную топологичсскую и геометрическую интерпретации. Для анализа неинтегрируемых систем примопяются числошпео методы построении отобралюпий Пуанкаре. В книге приведены новые примеры нелинейных скобок Пуассона, возникающие при анализе классических задач гамильтоновой механики. Тематика, свнзапцая с нелинейными скобками Пуассона является сравнительно новой и в российской научной литературе обсуждается лишь в книге '71;, посвященной, в основном.
вопросам квантования. По линейным скобкам имеотся улсе обширная литература [18, 1о2., 1ос1К 1о7]. Многие разделы теории скобок Пуассона в книге почти не затронутьь Это относится к нормальным формам пуассопоных структур и особых точках [2, 224], бесконечномерным интегрируемым системам [131], теории г-матриц и ео приложениям [132] и др. Более формальное и подробное изложение некоторых затронутых вопросов читатель можот найти в недавно вышедших книгах [288, 331].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
