Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 5
Текст из файла (страница 5)
4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки. Определение 2. Пусть (М,(, )и), (Х.(. )я) пуассоновы мпогообразин. Отображение Х': М е Хт' пазьщастся пуоссоновыж. осли (Р'(У(х)). О(У( ))) и = (Р; Жя(Х(х)) (1.1()) для любых фупкцй Хг,С: Ю вЂ” > К (т. с. отображош~с сохраняет скобку Пуассона). Пусть Ж С ЛХ вЂ” подмногообразие в пуассоновом многообразии. На Х можно определить скобку (, )я функций г',С: Х вЂ” ~ % по формуле (1.11) (Хч(Х)я = (Г,ХХ) где в правой части стоит ограпичопис скобки Пуассона двух функций г", Й, являющихся гладкими продолжениями функций Хг, С па объемлющее многообразие ЛХ. Определение 3. Подмкогообразие Х аазываетсн яуагсоновы.и, если скобка ( ., ) и пс зависит от способа продолжопия функций Хг н С. При этом отображение нло кении г: Ж вЂ” ~ М явлпется пуассоновым.
Определение 4. Пуассопова структура (, )я па многообразии й', в общем случае содоржащан константы. фиксирунэщио это подмногообразие в ЛХ, называется ограначвнием на Хт' скобки (, ). З Е Оиределекие и ирилеры скобок Пуассона. Скобки Пи Пуассака 21 Пуассоновость подмпогообразия Дг гарантирует для (, ) ы выполнение тояедества Якоби. В случае. если скобка (, )ы невырождена, соответствующее подмногобразие называется неаырожденны.о (силгекточескиле). Несложно провервть. что поверхности уровня функций Казимира задают пуассоново подмногообразие, которое пвллется невыроекденным. если рассмотреть их общий регулнрный уровень.
Чтобы лучше понять устройство других пуассоповых подмпогообразий, сформулируем простые утверждения., доказанные, например, в )131). Предложение 1. Если 1ч' оуассоноао иодмногообразие, гоо для исакий функции Р: М вЂ” ~ К аскторкое поле Хр (,Гн касается дГ. Предложение 2. Если гг задано а виде 1т' = (х Е М, 1е(х) = О), то для всякой функции Р: М вЂ” > Ж аыяоляеио Я„Г)~„= 0 (в частности, для координатных функций ()ох Ця — — О). С точки зрсппя динамики функции Казимира представляют собой первые интегралы, существующие у гамильтоновой системы (1.0) при любых функциях Гамильтона Н.
В общем случае пуассоновы подмногообразия представлшот собой систему ииаариактиых соотиошеиий динамической системы (1.9), также не зависнщую от выбора гамильтониаиа. Симметрии. соответствующие этим функциям, содержатся полностью в пуассоповой структуре. Само обобщение классической гамильтоновой системы (1.1) на случай вырожденного структурного тензора с динамической точки зрения эквивалентно рассмотрению систем, представление которых в каноническом видо не очевидно заранее, по возможно (локально это следствие теоремы Дарбу) на общем уровне функций 11азимира или существующих у данной системы иввариантвых соотношений, определяющих иевырожденное пуассонопо подмногообразие.
5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами. Пусть па касательном расслоении ХМ =- (Ч,Ч) задана лагранжева динамическая система с лагранжиавом Е, содержащим члены. линейные по скоростям (1.12) Е = Т + (У[0), Ч) + 1г(Ч), Т(Ч,с1) — квадратичная по Ч положитолыкьопрсдслсппая форма кинетической энергии, г'(Ч) .. потенциал. Линейные члены в (1.12) могут 22 Глава 1 Н Р,Н) = ~ ~,'Ю;,(х)К дх«д.т, ' К1=-1 (1.13) возникать либо при наличии в системе гироскопических сил типа силы Лоренца, действующей на заряд в магнитном поле, либо в процессе понижения порядка по Раусу в системах, содержащих дикличоскис координаты [129], /д,)'1 д)'«1 Два-форма Г = ~~> [ —,~ — —,'( дщ д дщ = ~~~ уй 4щ д «19.
назы- «<1 вается формой гироскопических сил. Она определена на конфигурационном пространстве М = (Ч) и является замкнутой. По лемме Пуанкаре, локально эта форма является точной, что может быть невыполнено глобально. В этом случае лагранжиаи (1.12) ие является глобально определенным ца касательном расслоении (точпсо, один-форма 2,'~;(у) «1щ в лагранжиаие (1.12) не определена глобально), Если перейти с помощью преобразования Лежандра от лагранжева формализма к гамильтонову, то полученный таким образом гамильтониан также не будет определен глобально на кокасательпом расслоении (кроме случал, когда форма Г точна Г --. ИА).
Чтобы сохранить однозначность гамнльтониана. можно выполнить преобразование Лежандра без учета в (1.12) линейных по Ч членов. Это приведет к гамильтоновой системе с глобально определенным гамцльтонианом (который полезно иметь для топологнческнх исследований в «целомь [129[), однако к спмплектнческой структуре ы~ = 2 дщ 6 Иу„добавится дополнительный (гироскопический) член Г = 2 и, дщ д «1ух. В скобке Пуассона также появятся дополнительные слагаемые (щ,щ) = О, (щ,.ру) = 6,:, (р,рт) = %1(у). Включение гироскопических членов в скобку Пуассона было предложено Сурьо '319.
В работе [129[ изложенные соображения применены к уравнениям 11ирхгофа, что позволило явно выделить глобальпыс эффекты (типа «монополя Дирака») при приведении по Раусу уравнений движения на сферу Пуассона. б. Скобка Ли — Пуассона. Другой важный пример пуассоповой структуры связан с алгебрами Ли. Пусть сь структурные константы алгебры 9 в базисе 1«ч, о„), Скобка Ли.- Пуассона ([278]. т.
5, гл. 25, з115. формула (75)) пары функций Р, Н, заданных на некотором (другом) линейном пространстве У с координатами х = (хм ..., х„) и базисом (ы', ..., ы*') определяется формулой З Г. Опуеделеиие и прил~еды скобок Г!уиссоии. Скобки:Хи-- Пуассоне 23 где .Гсд(х) = ~» сь жь линейный по жь структурный тензор. Все нсь обходимые тождества для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли: 1,и,и Х ее, Х ли 1 ее 2, ~~(с;„ис,ь -~'- сыис;б + с.-„,сис) О. Волос инвариантное описание структуры Ли — Пуассона делается следующим образом.
Для любого векторного пространства !Г и гладкой функции й: У вЂ” Г К дифференциал ГГР(х) в любой точке х Е У является элементом двойственного векторного пространства 1 ', состоящего из линейных функционалов на У. По определению К(х + еу) — Е'(х) (дГ(х),у) = !ш е-ее а длн любого у Е У, а операция (, ) есть естественное спаривание пространства У и двойственного к псму пространства У'. Учитывая это, можно отождествить линейное пространсгво У, участвующее в исходной конструкции скобок Ли.
-Пуассона с двойственнным пространст- ВОМ д* К аЛГЕбрЕ ЛИ д, ПРИЧЕМ (иГГ,...,Ые) — дВОйетВЕННЫй баЗИС К (иы..., о„). Дифференциал ГГР(х) любой функции Г: й' — + К (определенной па дуальном пространстве) является элементом пространства (й') - д. Скобка Лн — Пуассона в пнварпантной форме имеет вид (Е,Н)(х) = (х,'ГГЕ(х),ЛН(х))), х Е й'", (1.14) где, , 'скобка Ли на самой алгебре й.
Симплектическое слоение для скобки Ли. -Пуассона на двойственном пространстве д* к алгебре Ли имеет особенно замечательную интерпретацию в терминах представлении, двойственного к присоединенному представлению группы Лн д на алгебре Лн д. (см. (2. !3!)). Пусть Ь вЂ” группа Ли с алгеброй '!и д. По определению коприсоединенным действием элемента группы ! б б называется линейное отобралгение Ае(~*.
й' †> й* двойственного пространства, удовлетворяющее условию (Аг!Г ы, эе) = (иГ, Аг!~- ъи) (1,15) Глава 1 для всех аг С а*,п» С д, а Айг присоединенное действие элемента 1 па ц. Если отождествить касательное пространство Тб'[, иг В б' с самим пРостРанством Р' (аналогично сделать н длн бг) то можно полУчить инфицитезимальные образующие коприсоединепного действия дифференцированием равенства (1.15) (а<)'аг, > = --(аг.,ай > = (аг,[ч., ч>>» где ч,»ч с б,аг В б*, Для присоединенного представлении ад ч [ч<<ч).
Копрнсоединенное действие и скобка Ли-. Пуассона свнзаны следугощим замочатольпым утверждением, доказательство которого можно найти в [2. 131, 132>. Теорема 1. Пусть 6 связная группа,г7и с коприсоединвнныж предстпплепи<ж А<1'., на б*. Тогда орбипгы иредтпивленик А<1; в пгочггости совпадают со слоями сижпввктического слоения, индуцированного скобкой Пи Пуассонп па б'. В частности. орбиты коприсоединенного представлении группы б явлнются четномерными подмногообразиями в б". Кроме того, для каждого эггемента к Е б коприсоеднненное отображение А<1' является пуассоновым (сохраняет скобку Пуассона) и оставляет на месте слои этого слоения. В случае, если размерность орбиты коприсоединенного представления не явллетсн максимальной, то она называется сингу.трноб.
Можно показать. что такис орбиты явля»отея пуассоповыми ъщогообразиями -- сингулнрными симллектическими лнствми. Сингулярные орбиты естественно возникают в различных задачах (см. гл, 2,3,4) и для групп ЯО(гг), Е(п), 11(п) описаны в приложении О. Злинчлннх 1. При редукции на орбиту копрнсаеднненвого представления возникает невыраждеквая скобка, порождающая саатветстпукпцукг замкнутую невыражденную 2-фарму.
Эта форма была (независимо ат С. Лн) открыта Березиным н использовалась Кирилловым, Кастантом и Сурьо в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. Термин <скалка Ли Пуассона» введен А. Вейнстейнам, который ввел также термин «функция Казимг«рю, ваабщс гавари, исторически мала оправданный. Казимир (Н.В.С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
