Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 7
Текст из файла (страница 7)
3О Гяооп 1 В 2. Теннерные инварианты динамических систем Рассмотрим систему и дифференциальных уравнений у, =н(у,,,...х ). 1=1 ...,'и,. (2.1) Тензорное поле Т(х) называется инвяриият ныл для системы (2.1) „если его производная Ли вдоль поля ч равна нуля~ Е Т = О, Явное выраже- ние для производной Ли тензорного поля типа (р, д) следующее: я ь и лр О д и 1 и л Ф С Т1 1 — ь д „Т, 1 + Тьт 1 д 1 +...
Т'"'' — Т""'" ' — — Т""'" ' "- >'"-'"дх'" ""'" дт' "' ""' дх' ' (2. 2) х' = ~,У'1 (х) —., 1 = 1,..., я (2. 3) дяз дя'ке если он вырозкден, также определяет тензорный (бивекторный) инвариант уравнений (2.3). Введем еще один дополнительный, далее используемый, объект. Скобкой Схоутена кососимметрнческих контряваривнтных 1-тензоря А и у-тецзора В (которые по общей терминологии являются мультивекто- Наиболее употребительными в динамике являются скалярные инварианты, называемые первыми интегралами, инвариантный векторные поля поля симметрий и (они коммутируют с полем ч: Е и = и,ч) = 0.) В гамильтоповой механикс ипвариаптпыс впсшпис формы (типа з:.
др Л дЧ) порождают интегральные инварианты системы капопичсских уравнений. В классической механике используется также инвариантнвя меря, являющаяся я-мерным тензорным инвяриантом. Для канонических уравнений Гамильтона ее существование следует из теоремы Лиувилля, для неголономных систем факт ее существования. вообще говоря, является искшочением (83).
Примеры неголономных систем с инвариаптпой мерой приведены в [79). Можно показать, используя тождество Якоби, что структурный тензор зв(х), определяющий уравнения Гамильтона 'З й. Тензсднесе инеарианты динамические систем 31 рами) называется мультивектор размерности (1+1 — 1) и определяемый координатным образом как 'А В]йе...й, и 1 '~ йе- йсы с(рй..з, д оти...т~+ (' — 1)131 Е !- '" ' '" '. д,, ргдп1 репса [А,В] = (-Ц" [В,А], ( — 1) '» [[В, С], А] + ( — 1)ей [[С. А], В] + ( — 1) й' [[А. В], С] = О. В частности, для бивсктора (контравариаитного 2-теизора) (2.5) скобка Схоутспа ;уй ч г ать нсдап айды Тождество Якоби длн скобки, определяемой тснзором (2.о) д:г' д;сз (2.6) можно представить в виде ((~'.С):Н)+ ((С:Н):И) - [[Я Юй = ]Ой дГ дсн ОН = Е.:.
Цй дип джз дхй Поэтому то обстоятельство, что скобка (2.6) удовлетворяет тождеству Якоби, эквивалентно требованию [сс,сс] = О. Пуассонова структура Я согласована с пуассоновой структурой ы, если [ы., й] = О. Это опрсдслспис будет использоваться в разделе, связанном с бигамильтоновыми системами. В этом (и только в этом) случае, Скобка Схоутена имеет свойство «антнсимметричности» и удовлетво- рнет аналогу тождества Якоби (для й-мультивектора С) 32 Глава 1 любая скобка из набора Лы + Вй, Л, р, Е К снова удовлетворяют тождеству Якоби.
Сам набор образует пуассонов пучок скобок Пуассона прямую в пространство скобок Пуассона. Пюбыс две скобки из этого пучка нвляются согласованными, В некотором смысле условие согласованности пуассоновых структур является обобщением поннтия ипволютивностн скалярных тензорных инвариантов — первглх интегралов движенин. Явная форма записи условия согласованности скобок (, )о и (, )з имеет вид: э Л~',(((л а)о Чз ((э~а)мЦо) = О (2.7) дчн лкобых трех функций 7", я, Гь В формуле (2.7) суммирование выполнено по всем циклическим перестановкам 1'.
я, Ь. Для псвырождснпых бигамильтоповых систем, опрсдслсппымп согласованными тензорнымн полями До и 71 (при этом хотя бы одно поле является невырожденным, например уо), можно ввести оператор рекурсии Я =,У|во . Он определяет инвариантное тензорное поле (1, 1) и порождает бесконечнуно иерархию согласованных пуассоновых структур и соответствующих нм тснзорпых ипвариаптов. Для плотности инвариантной меры 1(х~,...,ха) уравнений (2.1), определнющей интегральный инвариант 7(х)г!х Л... Л вЬ", условие 1: ) = О сводитсп к известному уравнению Яиувиллн (2.
8) гйх(Гх) = О. Уравнения Гамильтона в канонической форме записи (1.1) имеют стандартную инвариантную меру ( = сопо1 (теорема Диувиллн). Эта мера может быть получена нз интегральных инвариантов уравнений (1.1) вида (аР Л... Л ыз) при а = и (2п — размерность фазового пространства). 'Гакого рода инвариантные меры называются лиувиллевыми [8О]. В случае вырожденного структурного тензора УО система (2.3) будет обладать тснзорпыми инвариантами Х,УЛУ,...,(ГЛ...Лэ') /, (2.О) где Й - ранг пуассоновой структуры (более высокие степени тождественно равны нулю).
При этом инвариантной меры у системы (1.3) может не быть вообще. 22 Теоремы ол интегрпрдемести галяильтоноеых систгля 33 Злмнчлнив 1. Наличие достаточно большого числа ннвариантов произвольной структуры тесно связано с во.ямажнастыо пахояяденип точного решения. В добавлении к книге [72) зыскзззпз гипотеза, что для иптсгрирусмости системы (2.10) аэ = э„(:г), я = 1,..., и кроме тривиальпппя тгнзорного инзаризнтз -- поля симметрий у(з) необходимо знать еще и — 1 инвариантна. Существует несколько эмпирических фактов, подтверждающих эту гипотезу. Дейстивтольно. для интегрируемости системы (2.10) достаточна знать п — 1 независимых первых интегралов или и — 1 независимых полей снмметряяй, порзждаюших разрешимую алгебру Ли (теорема Ли), либо и — 2 независимых интеграла и ияявзризнтяяую меру (теорема Эйлера.
Якоби). '!'гарема Лиувилля о полной интггрируемости гзмнльтоновых систем также укладывается в эту схему в гампльтоновом случае, кроме полного набора первых интегралов всегда существуют соотвгтствуяощие им и гамильтоповых полей симметрии, порождаемых этими интегралами (сзм гзмизьтопизп порождает тривиальный инвариант). Вопрос о зозможностп интегрируемяюти многомерных гзмизьтоновых систем с помощью различных наборов тензарных инвариантах и их влияние на динамику ивляетсп очень интересным, на к сажаленияо, совсем не изучен.
В 3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем. Алгебра интегралов Первые интегралы гамильтононой системы могут рассматриваться как функции на япространстне орбит» этой системы. На этом пространстве возникает естестненнан пуассонона структура, введеннав ельце К.Якоби ((170), гл. 1). Действгятельиоя скобка Пуассона двух первых интегралов есть снова первый интеграл (2, 154). Следовательно, исходная пуассопопа (например, симплсктичсская) структура па фазовом пространстве определяет пуассонову структуру на пространстве орбит. По методу Якоби необходимо выбрать пару первых интегралов системы и каждый раз добавлять их скобки Пуассона к предыдущим интегра.щм. Па некотором шаге получанисн функционально занисимыо интегралы.
Из этого набора интегралов слсдуот выбрать максимальное множество функционально независимых интегралов, определнющих координаты на пространстве орбит. Все остальные интегралы (и их скобки Пуассона) будут нвляться функциями выбранных. В качестве примера Якоби рассмотрел скобки Пуассона первых интегралов, образую- Г»ава 1 щих алгебру Ли группы вращений (по(З)) и группы дви»копий евклидова пространстве (е(3)).
В этом разделе мы приведем наиболее известные результаты о связи между существованием достаточно большого числа первых интегралов гамидьтоновых систем и ее интегрнруемостью н квадратурах. Более понное представление о механизмах интегрируемостп гамильтоповых систем можно получить в [91, 162, 156[. Теорема 2 ([76]). Пусгпь Взп й1азоеое пространство галшльтоновой системы со сзпандпртной симплектичесной структурой и гамилыпонианом Н(р,с1).
Предполпжим, что эта система имеет и интегралов движения Р,,...,Еп, таких, что [К,Е») = с;;Еь, с; = сопв$, Если Е на льножестве ЛХ„= ((р.с1) с К'": с) (р, с1) = си) у»ункции Я,..., Рп независимы; г. алгебра Пи со струнтурными константами с; разрешима; у э. 4 аз = 0 для всех 1, з, = 1,..., я., то решения уравнений Галзильтона, лежащие на ЛХ, можно найти и кпадраийурпх. Более точную информацию об устройстве интегрируемых систем дает геометрический вариант теоремы Лнувидлн (Лиувилдн-- Арнольда) [2).
Мы здесь сформулируем более общий результат справедливый также для задач гамильтоповой механики, в которых количество известных интеградов превосходит число степеней свободы, однако не все интегралы коммутируют друг с другом. Условия интегрируемости таких систем с чизбыточцым» набором интегралов указаны в работах [119, 124). Справедливо следующее утверждение. Теорема 3.
Предполоясим, ч»по гамильтонова системи на симплентичесном многпобРпзии ЛХгп имеет п 1 Й интегРплов Е»,Ез,...,Роз ь, причем на поверхности ЛХ, = (х с Лх": Р)(х) = с,, 1 (1 ( п+ Л) З 1. Представление г7акса Теаэенбврга эти функции неэависи кы, а в ее окрестности постоянен ранг мотРицы скобок ПУассона (((К. Р';)/ .
Тогда, если пооеРтноппь Мг солэна и компактна и ринг лгатрицы скобок Пуиссона не превосходит 2Й, то поверхность ЛХг диффеокорфна (и Й) мернолгуг тору и нп неб лгоэкно выбрать угловые переменные чоы...,чэн ь то<1 2к так, чтобы уравнения Гамильтона приняли вид ф, = ы, = сопвь, (1 ( в ( п — к). Из этой теоремы при к — О и при условии инволютивности интегралов Еы... Рн получается обычная теорема Лиувилля — Арнольда, при атом фазовое пространство в компактном и связном случаях расслоено на и-мерные торы, несущие квазипериодические потоки, а в их окрестноств существует такал «апоническап система переменных Ты..., 1н, ры..., Ээ„(переменные действие угол).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
