Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если интегралы (8.7) образуют алгебру Ли, то процедура редукции формализуется в схеме озкобралсеккл явожеквка и подробно изложена во многих работах [2. 3, 4, 131, 137. 156, 286, 319). Формула (8.7) выражает критерий Фробениуса интсгрируемостн распределении, определенного гамильтоновыми полями ьл = (.Я.
Если к линейным членам в (8.7) добавляются постояппыс слагаемые, неустранимые заменой ~; — > Д+се то говорят о пепуассоновском (негамильтоновом) действии группы Яи. Одно из возможных обобщений процедуры отображения момента в этом случае рассмотрено в 88 гл. 4. Восстаионление закона движении в первоначальных переменных (абсолютное движение) мол1ет оказаться сложной проблемой если алгебра интегралов (8.7) пскоммутативпа (неразрешима).
Во всех содержательных (физических) примерах, тем нс менее, абсолютное движение удаетсн восстановить с помощью простых квадратур. 4. Укажем еще один тип редукции неэквивалентный трем предыдущим, позволяющий получать новые интегрируемые системы нз уже известных. Рассмотрим гамильтопову систему па пуассоповом многообразии М (в1ппМ = гк) 76 Глада 1 обладающую иннолкттивным набором первых интегралов 1".;(я) Я, Н) = О., (7"„71) = 0,1„1 = 1,... л. (8.10) Допустим, что первые й координат образуют замкнутую подалгсбру относительно скобок Пуассона (жил..] = ЬО(кз,...,зь), !,7' = 1....й, (8.11) а оставжиеси т,— й переменных коммутнруют с интегралами н гамиль- тонианом: ~у„, Н) = (р„, ()) = О. д = й+ 1,..., ~п, 1 = 1,...
л. (8.12) Выражая функцию Гамильтона Н через переменные лз,...,лто рь+ы..., р,„, и полагая ри — — ся = сонат., получим редуцированную систему на пуассоновой структуре (8.11) к = (кбН„л(л)) = ~ ~Ь( (з) ~(з.с), в', = 1,...й, (8ЛО) я=в Я(г) = ~„.(т,р)/, 1 = 1,...,л. (8.14) Как правило, при условии полноты набора функций 7';(л,р), интогралы Яж) также образуют полный набор и обе системы явлнются интегрируемыми. С помощью такого способа может быть получен полный инволютивный набор и Ь вЂ” А пара обобщенного волчка Ковалевской из уже известных длп уравнений двизкения системы взаимодействунвпих волчков на алгебрах ло(З) и ло(2).
Более формальное проведение этих рассуждений на основе представлений Лакса Гейзенберга содержится в ]132], где обсуждается также их связь с другими способами гамильтоповой редукции. В работе ]141] из интегрируемой системы Ковалевской иа ло(р, о) при помощи указанной конструкции построены интегрируемые многомерные обобщения волчка Ковалевской. где Н,.„~(л) = П(х, р)] Функции Р';, выражсппыс через (з:, р = с), определяют ипволютивный (в структуре (8.11)) набор интегралов системы (8ЛО) 77 з е.
бколаа и редукцал лираха 4. Дополнительные замечания. Разобранные в этом параграфе общие принципы редукции в гамильгоновых системах сущоственно связаны с алгебраической (полиномиальной, дробно-рациональной) формой пуассоповой структуры. Как правило. па аналитическом уровне и в каноническом формулизме, представленном в книгах (2. 3. 4), такого сорта вопросы не возникают.
Однако некоторые системы, возникающие, например, в динамике вихревых структур (см. гл. 1), могут быть вполне изучены лишь с применением изложенных соображоний, Классические методы приволят здесь к очень запутанным вычислениям. в то время как использование известных фактов геометрии и ть ории групп Ли позволяют в едином ключе рассмотреть целый класс разам чних проблем. Изложенные конструкции па первый взглнд выглядят очень неестественно.
1'ем не менее их введение необходимо для анализа конкретных физических проблем, рассмотрению которых посвящена оставшаясн часть книги. При желании читатель может возвратитьсп к этому разделу после ознакомлении с таким хэкспериментальньпм материаломь 9 9. Скобка и редукция Дирака 1. Процедуры ограничения и скобка Дирака. В ~ 1 была рассмотрена возможность ограничении пуассоновой структуры (ДХ,.Г) на некоторое подмногообразие ûû С ЛХ заданной, например. совместным уровнем функций Г',(х) = с;., с; = сопз1, » = 1,..., л. Оказалось, что для этого оно должно быть пуассоновым.
то есть для любой функции г'(х) должно быть выполнено 1Я;(х), Р(х)) = О, » = 1,..., э. (9.1) Геометрический смысл условия (9.1) состоит в том, что все гампльтоновы векторные поля касаются Х, и поэтому корректно на него ог рани чина ются. Рассмотрим, в некотором смысле, противоположную ситуацию, когда для функций (ь определяющих подмногообразио Х,. матрица ~О)д() = (((~„Я(! невырождона (9,2) »1е1 (/Я~ ~ О.
78 1лава 1 Если многообразие М является снмплектическим, то условие (9.2) „ выполненное на всем Х,, является необходимым и достаточным условием ого симплоктичцости. Замкнутая форма. задеющаи па пом снмплсктическую структуру, получается из исходной ш (заданной на всем М при помощи обычной операции ограничения ы, )2. 1ог2). Приведенная далее процедура может рассматриватьсн как обобщение операции ограничения симплектической формы. При этом функции 1и задающие подмногообразия, в смысле условия (9 2) максимально пекоммутирук~т.
В этом случае произвольное гамильтоново векторное поле на М допускает единственную проекцикз иа касательное пространство к подмногообразию У,. Возникающее при этом векторное поле также является гамильтоповым относительно новой пуассоповой структуры —— к1 = (к1,Н)ли определяемой по Формуле (9.3) где йс11)' = 'О(1О1 )й Скобка (9.3) называется скобкой Дирака )37, 227] и может рассматриваться во всем фазовом пространстве М (в сильном смысле по Дираку), так как замечательным образом удовлетворяют на нем тождеству Якоби (а не только на Х,). Она корректно определена также при условии вырождсппости первоначальной пуассоповой структуры па М. Функции 11(х) являются центральным для скобки (9.3).
В вырожденном случае они пополняют уже существующий набор центральных функций. В структуре Дирака эти функции находятся в инволюции Я, Д)и = О. Пусть Ц1) линейная оболочка вокторных полей Х1, = (х,Я, а НМ вЂ” пространство гамильтоповых полей. Условие (9.2) означает, что все поля Х1, трапсвсрсальны к касательному расслоению Т)х', и независимы. Таким образом, определено расслоение НМ = Т!У,ГйЛ((), позволяющее проектировать векторное поле Хя па ТХ,.
вдоль 1.(7). В снмплектическом случае поля Хн п Хи Хя, где Хй = (х, Н)р ортогопальпы относительно симплскичсской формы: ш(Хн, Хн — Хй) = О, т. е. Хи представляот собой косоортогональную проекцию полн Хи л на Т1у, Гамильтоново поле Хн совпадает с Х11 на 1У,. тогда н только тогда, когда Хи касается подмногообразия. В этом случае функции 1„определяющие!У„задают систему лнаариантнык соотношений гамильтонова потока Хи. 'яр. Сяабяа я редукция Дираяа Злмечлнпе 1. Пале Хн малгет быть также получена без лвнага вычислсо на ннп скобки (9.3), методам неопределенных множителей Лагранжа (57[.
Длл этого рассмотрим гэмильтопиэп Н' = Н(х)+Д~ Л;(У, — с;), (9.4) совпадающий с Н(х) нэ Д1,. Условии касании полн Хн* падмнагаобразнл 7э', принимают оид (9.5) (ЦоН)+ ) Лл(Уолл) =-О, 1=.1,...,з. В силу (9.2) система (9.5) допускает единственное решение относительна Л;(х). Несложна праасрить также, чта поля Хн. Хн совпадают па Ж,. о ЗАМЕЧАНИЕ 2. Метод неопределенных множителей, указанный в предыдущем замечании. позволяет конструктивно получить систему ипвериантных соотношений в динэмических проблемах. Для этого необходимо задать первоначальную форму одного из прадпаяэгэемых инвариэнтных состояний с пеазределенными коэффициепзеглп, э затем проделеть несколько о~агав (9М)., (9.5) да тех пар, пака система инвариантных соотношений не будет одназпачпа разрешима относительна псопрсдслсппых коэффициентов и множителей Лг.
Текай последовательный метод, не учитывающий, однако, гамильтанаэад формы уравнений движения, бьш, на существу, использован классиками (Чапльп ин, Стеклов, Зипунов) прн оаиске инвариентных соотношений и честных решений в динамике твердого тела [5]. 2. Редукция Диракв. Так квк длн полн Хи ранг пуассоновой структуры (9.3) упал на —,'" единиц, то в случае 28 мы произвели ре- 2 дукпию первоначальной гамильтоиовой системы Хи.
С алгебраической точки зрспин, радуцироваппан структура. возможно, приобретает дополнительные дробно-рациональные слагаемые, опроделномые формулой (9.3). Рассмотрим процедуру редукции в более общей форме. Пусть г)еФ [[Л [[ =!). Тогда НМ ф ТМэ гр Т(г), то есть касательное пространство к Дга и полн Хй не поролгдвют базис в пространстве гвмильтоновых векторных полей и Т(7) Г~ТМ, /. В, т. е. часть векторных полой Хй касастсн )Ьа Подходнщим выбором функций Ях) в каждой точке )Ч„матри- 89 Глава 1 ца Щ'й может быть приведена к виду (9.б) Допустим, >то ранг ')Дзй, 1,у = 1+ 1,...,1+ 2Й равон 2я.
Тогда возможно корректно определить проекцию гамильтонова полн Хн на подмногообразие Гт',* -= (х> 1>(х) .-: со >, 1+ 1>...,1+ 2я), Прн этом НМ = Ь*® с» ТХ,*> где Ь*(1") . - линейная оболочка полей Хб > = 1+ 1,...,1+ 2Й на Ж;. Полученное в результате проекции векторное поле Х*. нвляющееся гамильтоновым относительно скобки (9.3) па Л;> имеет нпволготивпый набор интегралов движении гг(х) = Гг(х) 1 = 1,...,1. Следовательно> возможна дальнейшая вр редукция по симметриям, описанная в предыдуц1ем параграфе, которая приводит к понижению ранга па 21. Описанная общан конструкции длн вырожденной матрицы ~У>,~~ была также известна Дираку [227).
Игнорируя традиционный математический формализм (например, нс используя теорему Фробсциуса)> оп доказал иптсгрирусмость полой Ху, 1 = 1,...,1 па >>>;. Функции Г>(х)> > = 1»... 1 Дирак называл величинагли первого рода, а Д(х) 1 = 1-;- 1> ..,,1+ 2гз величинами второго рода, придавая им различный физический смысл. Злмкчлниг> 3. Приведенная схема редукции может быть использована в теории некоммутативного интегрирования.
Предположим. что гамильтонова система на симплектическом многообразии (Мз", ы) допускает инвариантное подмногоабразие, задаваемое и + й функципми 1У, = (з~Яз) = с„ > = 1, ..., и ->- я) (Г>(х)> Н)' . = О, такими, что гапх'б(Г>, тз) ~ = 2й. Разбивая функции на лва сос>тветствуюших класса и ограничивал по Лираку систему па 2н — 2Ь-ь>српос симплсвтичссяос мпогобразис Д>,*, получим гамнльтоиову систему, обладающую и — й инволютивными первыми интегралами. Она ужо является интегрируемой по Лиувиллю в обычном смысле, а траектории явлпютсн квазипериодическими обмотками и — 1ммерных торов.
Злнкчлник 4. В общем случае для гамильтопавой системы па ЛХ, обладающей инволютнвпым набором интегралов З У. бкояка а редуячия Дирааа ограничение полн Хя на поверхность уровня этих интегралов Л'„ определяет векторное поле, не явллюшееся гамильтоновым по отношению какой-либо пуассоповой структуры па Ж„. (э частности. относительно структуры Днрака). Примером может служить неаырожденная вполне интегрируемая гамяльтонова система э шестимерном фазовом пространстве. Ке поток на трехмерном инэарнантном многообразии не является гамнльтоноаым относительно любой пуассоновой структуры на нем. 3. Трансверсальная структура и сингулярные орбиты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
