Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В работе [24] исследована интсгрируемость этих уравнений прн периодической зависимости от времени, в [31] рассматриваются вопросы возникновения аднабатического хаоса при медленном периодическом изменении парах«етров (в [93] приведена «вихревая» ивтерпретацин этих уравнений). Неавтономные уравнения динамики твердого тола на алгебре е(3) изучались в [86] в связи с задачей Чаплыгина о падении тяжелого твердого тела е безграничном объеме идеальной безвихревой несжимаемой л«идкости.
Приведем еще одну классическую задачу, имеющую различные взаимосвязи с только что рассмотренной. Глаза и 4. Уравнения Пуанкаре — Ламба — Жуковского. Под втими уравнениями понпмаетсп система, описыва>ощая даня>ение вокруг неподвижной точки твердого тела. имек>щего эдлипсоидальную полость, полностью заполпсппу>о однородной вихревой идеальной посжимаомой жидкостью [28, 110, 121'. Эта система является гаглилыоновой со скобкой Пуассона, определяемой полупростой алгеброй зо(4) и квадратичным гамнльтонианом (!.8).
В случае его положительной определенности эти уравнения могут рассматриваться как уравнення геодезических на группе зо(4), или как уравнения Эйлера для свободного движения четырехмерного твердого тела. С атой точки зрения задача рассматривалась в прошлом веке В. Фрамом (1870 г.) н Ф. Шоттки (1891 г.) (18). В зависимости от динамического происхождения рассматриваемых уравнений удобнее пользоваться различными системами переменных (М., у) нли (К,Я)> связанных между собой соотношения- Х1Б Х. Я ми М =,т = и соответствующие возможности разложе- 2 ' 2 пня алгебры зо(4) в прямую сумму зо(3) >а зо(3).
Скобки Пуассона и соответствующие формы уравнений движения для этих систем переменных имеют вид (К;,К,.) = — здзКл. (Коду) = О, (Я„Я,) = — з,;здз, (м>,му) = — е;>>мы (м;,-у>) = — зз»,.>то (уз>'у>) = — з,>л",~ь> К=кх,, Б=ЯХ дН дН М=Мх — '.ух —, дН, дН дМ ду> у=.ух — — Мх дН дН дм' д; (1.9) л'2 — (Б Б) — са Хз = (М, 'у) = сз, г> = (к,к) =:„ ед — — (М,М) — (у,->) = сд, н для иптегрируемости соответствующих уравнений недостает еще од- ного первого интеграла.
Векторы Х, Я для уравнений Пуанкаре — Ламба — Жуковского имеют смысл кинетического момента системы тело + жидкость и вектора однородной завихренности соответственно. Эволн>цня последне> о определяется уравнениями Гельмгольца (110). Пуассоповы структуры (1.9) имс>от соответственно по две центральные функции з С Классические ьуорльы уравнений динальики твердого тела 99 При замспс 7 — ь е7 и прсдсльпом переходе е -+ 0 в коммутационных соотношенинх (1.9) получается алгебра е[3).
Эта процедура носит название контракцнн [стягиваньья) алгебр Ли н позволяет установить нзаимосвпзь меькду различнымн интегрируемыми случаями. имеющимпсн у уравнений [1.5) и (1.9). Известные до настоящего времени интегрируемые случаи системы [1.9) представлены в таблице 3. 'Таблица 3. Б таблице 3 пс приведены условия ца параметры., при которых реализуются интегрируемые случаи, так как они имеют достаточно сложный вид. Их можно найти в [18), где приводятся также различные формы дополнительных интегралов. Случай Шотткиь который указал также нвное сведение к квадратурам, обычно связывают с именем Мапаковаь ко~орый показал иитсгрирусмость его и-мерного аналога.
Как замечено в работе [129), случаи Шоттки и Стеклова [32Ц после контракции переходят в случаи Клебша и Стеклова для уравнеяяй Кирхгофа. Более того, как показано в [13). зтн случаи переводятся друг в друга линейным преобразованием. Частный случай Богоявленского [18) во многом аналогичен случаю '1аплыгина в уравнениях Кирхгофа, однако, видимо, ему не изоморфсп.
Общий случай иптсгрирусмости, найденный Адлером и вап Мсрбеко [177), является до сих пор в динамике твердого тала наиболее сложным и наименее изученным. Он не пмоет аналогов длн уравнений Кирхгофа. Зикгччлнььгь 7. Интеьрььруелчььс случаи, указанные а таблице 3 не эсе обладаьот физическим содержашьем.
так как для уравненпй Пуаьььсаре- Ламба-— 2Куковского коэффициенты матриц А,В,С пс являются произвольными в имеют достаточно ограниченную область изменения. Злнвчлннк 8. На алгебре во(4) ъьожно также рассмотреть уравнения Эйлера--Пуассона, определяемые гальильтоннаном ь1.7), Нам пеязвестно, можно ли придать этим уразпонинм мсхапичсскуьо иптсрпрстациьо, том пс Глаоа й 100 менее длл нкх существует аналог случал Ковалевской, указанный е [104), который также не контрагируетсл в классический случай Ковалевской и пока сщс мало изучен. 5. Многомерные обобщения. Постановке задачи о и-мерных обобщенных уравнениях Эйлора восходит к А. Кэпи.
Более подробный исторический комментарий по этому поводу содержится в книге [18]. В этом веке интерес к и-мерным обобщениям был возобновлен, начинал с работы В.И.Арнольда [Ц, которал повлекла за собой серию многочисленных чисто математических исследований, связанных с интсгрируемостью уравнений Эйлера на разли шых (иногда совсем экзотических) алгсбрах Ли [152.
156). Тем пс мопсе, как будет показано в гл. 5, некоторые из этих абстрактных результатов допускают естественнукз физическую интерпретацию. Существуют различные многомерные обобщения для уравнений (К5), (1.9) и указанных случаев интегрируомости. Это обобщение неоднозначно, так как, например. для ло(п) уже не справедливо прямое разложение в прямую сумму полупростых слагаемых и можно отдельно рассматривать обобщения на ЯО(п) н ЯО(тп) Е ЯО(гп). Многомерный аналог случая Лагранжа рассмотрен в [10. 14Ц.
случая Ковалевской в [186, 141, 247, 312). Многомерное обобщение случае Клебша на е(п) праведен Перезомовым [185', случая Шоттки Манаковым [18, 115). Одно из возможных обобщений семейств Стеклова — Ляпунова построспо в [22). Многомерные системы взаимодействующих волчков обсужден~тон в [187). Во всех этих работах иптсгрирусмость полученных обобщений доказывается с помощью явного построения 1 — А пары и анализа полноты набора первых интегралов, В Я 9,10 этой главы указанные интегрируемые обобщения построены с помощью единого метода, основанного иа анализе согласованных пучков на полупростых алгебрах Ли. Соответствующие пучки порождают представление Лакса Гейзенберга, а в двойственном пространстве определякзт бигамильтонову структуру. Использование утверждений ~ 5 гл. 1 позволяет доказать полноту получнншегосн семейства ипволютивпых интегралов.
Этот метод такжс даст возможность указать нвные формулы, определяющие изоморфизм многомерных систем Клебша и Манакова, а также для семейств Ляпунова Стеклова. Отметим, что многомерные аналоги приведенных частных случаев иптогрирусмостн. которые, видимо, следует искать па сингулярных орбитах (ко)алгебр .'!и, до сих не получены. З й. аватерниоиное представление уравнений движеиил 101 В 2. Кватернионное представление уравнений движения 1.
Параметры Родрига — Гамильтона. Как было замечено еще Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов Л = Лв + тЛ1 + вЛз + ЙЛз с единичной нормой Лв-ьЛ1 —;Лз+Лз з= 1. Они образуют группу Яр(1), которан являетсн универсальной накрыванзщей группы ЯО(З) (ЯО(З) Яр(1)(~1) [61[. Со способом введения таких избыточвых координат, называемых в механике парамотрами Родрига Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [154[. Проясним геометрический смысл параметров Л, [108, 1541 Рис.
2 Из кинематики известно, что из любого положения твердого тела, имеющего неподвижную точку О, можно перейти в задавное, совершая поворот на угол т относительно оси ОП. связанной с телом (рис. 2). Ориентацию оси ОЬ зададим единичным вектором е, Положение некоторой точки тола опродслим радиус-вектором ОЛ1 = г. Пусть посла поворота вектор г оказыаастся в положении ОМ = г'. Вектор р = ОЛ4 — ОЛ4 = г' — г можно выразить через г, е и т.
Указанная свнзь определяется формулой Родрнга (2.1) р= дх(г+-йхг), 1+ 1йз 4 162 Гнева 2 где вектор д = 216 — е Х 2 (2.2) называетсн аекгаоро.и конечного поеороща. Этот вектор направлен по оси единичного вектора е и равен по величине 2 Фд(Х/2). Пусть е = 1созо' —,1соаД'+ Зги', (2.2) где а',,9',.~Х углы, образуемые вектором е с осями к,у, Величиньп Л1 = сова з1п —, г ° Х 2' Ле = соз —, Х "2' (2.4) Лз = соз)г зш —, 2' Аз=солт зш Х 2 д '1+э Ло = соз — соз— 2 " 2 Л1= ып — соз д Ф вЂ” р 2 2 (2. 6) д ° Ф вЂ” д Лз = зп1 — з1п ф -ь р Аз = соз —, аш Направляющие косинусы осдпу связаны с кватсрнионами квадратичными соотнощенипми. задакэщими параметризацию Кэпи группы БО(З) (при этом получается двулистное накрытие ЯО(З) трехмерной сферой Яз кватернионам Л; и — Л, соответствует один и тот же элемент из ЯО(З)).
Матрица направлающих косинусов (1.1) в кватерпиоппом прсдставлсник нмсст вид; Ло +Л1 — Лз — Лз 2(ЛеЛз+Л1Лз) 2(Л1Лз — ЛеЛз) С~ .=' 2(Л1Лз — ЛеЛз) Ле~ — Л1~ + Лз~ — Лз" 2(ЛеЛ1+ ЛзЛз) 2(ЛоЛз + А~ Лз) 2(ЛзЛз — ЛеЛ|) Ла — Л| — Лз + Лз (2.6) н есть параметры Родрига — Гамильтона. Нуловой параметр Ле равен косинусу половинного угла Х, определяющего конечный поворот тела. Остальные параметры Лы Лз, Лз пропорциональны синусу половинного угла Х, умноженному на косинусы углов, образуемых осью Оь с осями координат. Имеетса свнзь параметров Родрига †-Гамильтона с углами Эйлера д,р,ф: З Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
