Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 23
Текст из файла (страница 23)
7. Неинтегрируемость и теоремы несуществования. Вероятно. что для ураннения (4.3) других общих случаев интегрируемости пс существует. Единственно возможным частным случаем иптсгрирусмости, видимо, является случай Горячева — Чаплыгина, существующий при наличии одного силового поля (уравпопия Эйлера — Пуассона) и пулевой постоянной площадей. Однако строгое доказательство неинтегрпрусмости пока отсутствует (кроме классических уравнений Эйлера Пуассона, являющихся частным случаем (4.3)). Отметим, что многие классические и современные методы доказательства ноинтегрируемости (метод Пуанкаре, рас|цсплспис сспаратрис [64, 91], метод Гюссопа [5), метод Зиглина [65]) при их применении к рассматриваемой задаче требуют некоторой модификации (иногда и весьма существенной).
Например, невозможность непосредственного применения техники расщоплспия сопаратрис свнзапа с том., что в шсстимсрпом фазовом пространстве неустойчивые перманентные вращения (являющиеся 120 Гиава 2 гиперболическими периодическими решениями приведенной системы) ненозмущенной системы Эйлера Пуансо определяют нырожденные неустойчивыс трохморпыс ипвариаптшю многообразия. Эти многообразия разрушаются при возмущении, и применение стандартной теории Пуанкаре — Мольпикова невозможно. Ипторсспо было бы найти условия расщепления сепаратрис к родившимся невырожденным ннвариантвым многообразиям и вытекающие нз пих псобходимыс условия нптгорируемости (по некоторым направлениям это расщепление будет экспоненциально малым). Маловероятно, что наложение двух дополнительных полей мо~кет принести к нетривиальной интегрируемой ситуации, однако, возможно появление условий типа Гесса Аппельрота.
определпннцих пару сдноепных сспаратрис. Все эти вопросы остаются пока неизученными. Злннчлннн 1. Гамильтопоны системы с гамильтопиапом (4.9) яэлнютсн нпгегрнруемымн на сингулнрной орбнзе алгебры е(4). Па всех других орбитах поведение системы также будет регулярным. т, к. ураэненнн (2.15) для Х отделяютсн н ннтегрируютсн после того как решены уравнения для М, Л, Лэ. В [135] приведены системы на е(4), являющиеся обобщснннми случаев Клебша уравнений Кнрхгофа па с(3), которыс обладают полным набором ипволютнвных интегралов на любой (не обязательно сингулнрной) орбите.
Однако они не порождают интегрируемые задачи рассматриваемой системы (4.1,4.2). кроме случая шарового волчка. Интегрируемое обобщение случая Ковалевской (4.9) также не может быть получено нз результатов [13эг] н является новой интегрируемой системой для уравнений Кнрхгофа на с(4). Злмкчлнин 2. В работе [94] поставлен вопрос об условиях регулярности гамнлътоновой системы.
Эзн условна нродэолагают возможное гь регулярного поведения при отсутствии полного набора первых интегралов (ннтегрнруемость по Лиувиллю, 53 гл. 1). В этом случае, однако, доллгны существовать поля симметрии, мпогозпачпыс интегралы или другнс тспзорпыс инварианты, наличие которых в определенной комбинации приводит к ннтегрнруемости в квадратурах.
По-видимому, для квазноднородных гамнльтоновых (в общем случае с вырожденной скобкой Пуассона) систем, условин регулярности и интегрируемостн по Лиувиллю совпадают. т. е. наличие полного набора тензорных инэариантов обеспечивает сущестэованне полного набора ннволютивных интегралов, необходимых длн теоремы Лиувилля. Однако это утверждение пе доказано, а контрпрнмср к нему также не найден. з 5.
Редуцярааанная пуассанааа структура и нанпгкенне порядка 121 9 5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка 71 = 2 (Л1Лз — ЛгЛо), уг = 2 (ЛгЛз + ЛоЛ1), пг ~1 Лг + ЛО + Лз' (б ) В качестве новых переменных, определнющих редуцированную скобку Пуассона, необходимо взпть порвые интегралы (см. у8 гл.
1) потока, порожденного гамильтонианом Е. Подставлнн в (2.9) Н = г' получим систему уравнений М =О, Ла = — —,Лз, Лг = — —,Лг Лг = —.Лг. Лз = гЛз (1.2) 1 ' 1 ' 1 ' 1 2 ' 2 ' 2 ' 2 Лагко видеть, что компоненты векторов М., ч определпют замкнутую систему интегралов уравнений (5.2) и образуют алгебру е(3). Гамильтоииан в случае осесимметричного силового поля также выражастсн через М. т, и па общем уровне функций Казимира (М, у) = С и (т,.с) = 1 система сводится к системе с двумя степенями свободы (ранг падает на две единицы). Песложно проверить, что отображение (о.1) задает известное расслоение Хопфа (61) трехмерной сферы Яз на окружности с базой — двумерной сферой Яг.
Наличие циклнческих координат в канонических уравненинх движения позполнст выполнить понижение порндка по Раусу и получить приведенную систему. На алгебранческом уровне соответствующая процедура редукции приводит к понижению ранга пуассоновой структуры. При этом число уровней, описывающих систему, как правило, также уменьшаетсн и они более удобны длн дальнейшего исследовании. Рассмотрим два случаи возможной редукции длп кватернионпых уравнений (2.9). 1. Редукция по углу прецессии.
Покав1ем, как получаются уравнения Эйлера Пуассона (см. у1 гл. 1, у1 гл. 2) из общих кватернионных уравнений (2.9). В случае осевой симметрии силового полл уравнонпн дви1кенин (2.9) допускают первый интеграл интеграл площадей Г (М,~). Прн этом единичный вектор у, направленный вдоль оси симметрии силового поля, вь1ражаетсп через компоненты кватернионов Л, Ла по формулам (2.6)1 122 Глава й Локальное проведение описанной процедуры соответствует редукции Реуса исключенил переменной ф (угла прецессии) и получении системы па сфере Пуассона, параметризованной углами д., ~р. В данном примера редуцированная скобка также является линейной и определпетсв алгеброй Ли е(3). Однако.
возмольны симметрии, приводящие к нелинейной скобке Пуассона. 2. Редукция по переменной ф х р. Нелинейная алгебра скобок Пуассона. Рассмотрим случай, когда циклической переменной льллетсл переменнан ф — вз (или аналогично ф+:р). Это возможно, если потенциальная энергии зависит лишь от переменных д, ф + вв и, кроме того, тело обладает осью динамической симметрии. В этом случае гамильтопиап можно записать в виде Н = — (Мз + Мз + аМз ) -г Р (О, р + ф), а с й, (5.3) а соответствующий координате зд — вз циклический интеграл примет вид (5Л) К = (М,.~) — Мз, где компоненты, выражаются по формулам (б.1). Геометрический смысл интеграла (5.4), обусловленный аналогией мелзду двизкением шарового волчка и материальной точки на Вз, обсуждаетсн в З 1 гл.
3. Уравнении (2.О) с гамильтонианом (б.4) имеют вид Мз =Мы Мз=О: (5.5) Лз — Лз Лт = — Лз, Лз =О. Л =О, Несложно проверить, что уравпепил (5.5) допускают следующие интегралы движения рз ™зЛз + МзЛм рз МзЛз ™1Лз, рз = зрМз1/Л~з + Лзз (5.6) $, = Лз, вз = Ла. $$ = ~~/ Лзз + Лзз, образующие замкнутую квадратичную алгебру. (рз, р,;) = о емь (зьрз + лзрь), 1 (5.7) 1 (1П $1) = гецлзьвз, 2 (вн $1) = О. З оц Реоупгроааннан яулссоноаа жяруннгура и понаженнэ нарядна 123 Скобка Пуассона (5.2) являотся вырожденной и обладает двумя функциями Еазимира Рг = (в.
в), ггг = (в, Р) = (М, 1) — Мз. На их общем уровне система сводится к обычной гамильтопооой системе с двумя степенями свободы. Гамильтонггагг (5.3) в переменных р,в принимает вид .+„.г 1Рг Рг+ "Рз 2,г зг (5.8) Лз Ло Лг При этом траектории системы (5.5). зедаваемые интегралами з = сооэг перейдут в окружности (рнс. 3) г г эг ~ эггз г г г эг эгэг г д г г эгкз (зг + эг) ( тг 1 г г г г эгкз (зг + эг) аг 1 Двузначное отображение оз — ~ Ф (5.6) можно рассматривать как сопоставление каждой траектории пары точек на сфере к, -ь зг + кз — 1 (нс, г клгоченне составляют точки экватора). В вокторном виде уравнения двигкенин редуцированной системы в переменных р.в с учетом замены времени у — ~ п1 имеют вид 1 2 р=рз хв-.
'зз хр+лз хв, дН , дН дН д1г д1г дв в=аз ха. др (5 ) формулы (5.6) для э, задают двузначное отображение о~ — > ог, которое определяет слоение трехмерной сферы па орбиты потока (5.5), не совпадающее с расслоением Хопфа (н даже не нвляющсесн расслоением). Двум различным точкам Я~: (зг, зг. зз), (зг, зг, — нз) соответствует одна и та же орбита системы (5.5).
Иснлнгчение составляют точки экветара эз = Ог каждой пз ннх соответствует своя орбита на оь, которая а данном случае вырождается в точку. Для геометрической вптерпретацин рассмотрим стереографическую проскцшо трехмерной сферы Я па К, задавасмуго формулами 124 Езааа й Рис. 3 Если перейти ь новым переменным К = р/зз, то коммутационные соотношения примут вид (Н1 Нз) = — Нз. ЯзгКз) =Ны Ямжз) =Ххз+ —, зз (5 10) (к;,э,) =едлэл, (л,,з,) = О, где Хз -- функция Казимира структуры (5.10), гз =- (в,К)эз (вторан фупкцил Казимира также равна Рг = (в.в) = 1), Из формул (5.10) видно. что алгебра (5.10) совпадает с алгеброй е(3) на нулевой константе интеграла ею Уравнении движении в псрсмсппых К,в отличаютсн от уравнений Гамильтона на алгебре е(3) (32] лишь дополнительным слагаемым К = К х — — в х —, + — 'ез х —, ОН, ОН тз дН "з з=вх —, дН дК' (5.11) здесь ез = (0,0,1). Уравнения движения (5.11) сохраняют стандартиукз инвариантную меру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
