Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ло = сояр., Л1 = я1пдсояяг, Лз = я!поя|прсояьщ Лз = я1пдя1пря1пбь Как показывает численный анализ методом отображения Пуанкаре, система (5.21) хаотична и не допускает дополнительных интегралов движении. В 6. Изоморфизмы интегрируемых случаев Изолюрфизгиы вполне интегрируемых систем в динамике хорошо известны. Многие из пих были обнаружены сщс классиками (В.А.Стеклов [320), Г.
У!инковский [291)). Другие неожиданные изоморфизмы найдены недавно. Например, в [247) указано дробно- рациональное преобразование, связывакзщее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в [194) найден аналогичный пзоморфпзм волчка Горячева Чаплыгина и трехчастичкой цепочки Толы. Результаты последних работ основаны на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоповых систем.
Еще одна аналогия, относящаяся к задаче трех вихрей и системе Лотки Вольтерра, указана в работе [34) и в гл. 4. 131 (~ 6. Изомор4излы интегрируемых слрчаев Н - '-' —, [К1 + Кз + оКз) + —, [ста1 + гааз)) . Прн атом уравнения движеннн имеют вид (5.11) и во многом аналогичны уравнениям Кирхгофа, описывающим движение твердого тела в безграничном объеме идеал ной несжимаемой жидкости. При условиях типа Ковалевской (см. З'4): а = 2, и силовые центры всего двух взаимно псрпспднкулнрпых силовых полей лежат ца равных расстолнилх до точки закреплении (Н = с(о1+ Вз)) дополнительный интеграл был найден в работе [171,. В этом случае гамильтониан мовсио записать в форме (6 1) а дополнительный интеграл дастся выражением К = [Кз - Кз -.,,з) ' -, 4К,'Кз.
(6.2) В [171) указана также возможность добавлении в систему гиростата, ось которого совпадает с осью симметрии тела. При гз — 0 интегрируемый случай (6.1),(6.2) переходит в интегрируемый случай Чаплыгина длп уравнений Кирхгофа [163). Интересно также заметить, что сели добавить к уравнениям Кирхгофа па с(3) дополнительный член (см. (5.11)), те часжамй случай интегрируемости Чаплыгина становится общим случаем интегрируемости, но не на алгебре е(3), а на нелинейной алгебре определяемой скобкой (5.10). Злмвчхннв 1. Указанная аналогия сохранится прн добавлении в (6.1) гиростатнческогс параметра [!71,. В этом параграфе длл нахождении аналогии между различными интегрируемыми задачами используетсл гамильтонова форма уравнений движения со скобкой Пуассона, определяемой некоторой алгеброй Ли (скобка Ли Пуассона) или нелинейным структурным тензором.
1. Изоморфизм между обобщенным случаем Ковалевской и случаем Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Как было показано в предыдущем параграфе, (при совпадении двух главных моментов инерции) общие кватернионные уравнении (2.9) с потенциалом (4.1) допускают циклический интеграл (5,4) и могут быть редуцированы к гамильтоновой системе па нелиненай алгебре (5.10) с функцией Рамиль- тена 132 Глава 2 2 (К кг 4КЗ) + при любых Гм Рг существует дополнительный интеграл (6.3) С вЂ” Кз (Кг + Кг) — оК»лз. (6.4) Однако потенциалу И = озг трудно дать естественную механическую интерпретацию.
Злмнчлнив 3. Интересно, что для уравнений (5.11) классический случай Ко- валевской с гамильтонианом Гу = — (Кг + Кг + 21» з) ф зг 2 и интегралом (» г г /Кр Кг г К = — — — — зг -'г (К»Кг — зг) 2 2 становится лишь случаем частной интегрируемости прп Рг = О. Злмпчлпив 4. Можно указать еще одну связь между обобщенным случаем Ковалевской при движеняи (в трех силовых полях. 34) и случаем Чаплыгина (для уравнений Кирхгофа на е(3)). Случай Ковалевской представляет собой случай частной иптсгрирусмости уравнений Кирхгофа па с(4) па сиш улярной орбите 1Фг = О, а случай Чаплыгина являетсн частным случаем интегрируемости уравнений Кирхгафа на е(3) на орбите (Ч, у) = 1, (М,-у) = О. Злмгчлииг Б. Спустя пятнадцать лет после открытии Чаплыгиным случая частной ннтегрируемости в уравнениях Кирхгофе, Д. Н. Горячевым было найдено новое обобщение случая частной интегрнруемости ((М, у) = 0) при условиях Ковалевской (54).
Он исходит нз решении обратной задачи динамики и странным образам по ссылается пе Чаплыгина. Полученный им общий гамнльтопиан 11 = - (Мг + 34г ' 2Мз)- --г 6 26»тгтг+Ьг(уг Ъ) ( сгуг 1 сгуг, (6») отличается от случая Чаплыгина (163) дополнительным сингулярным слегасмым о . Объяснение ого алгебраической природы дают прсобразапаЧз ния (о.14) алгебры (5.10) на нулевую орбиту е(3). Вследствие того. что случай Злмхчлнив 2. Можно показать, что аналогично частному случаю иптсгрируемости Чаплыгина можно «поднять» на ненулевук» константу площадей и частный случай Горячева — Чаплыгина для уравнений Зйлера Пуассона, если вместо алгег>ры е(3) рассматривать алгебру (5.10).
Действительно, для уравнений (6.11) н гамнльтопиапа 'З б. Изомору)измы интегрируемых случаео С вЂ”: 2СС' 2С7 Н =-Н 2 2 2 2 Мз: 71 +72 й1 + 12 (6.6) где С = сопев С2 = (М,7). Наличие двух постоянных С, С~ указывает на сохранение интегрируемости (в том числе общей) прн добавлении непостоянно7з )1 го гиростатического момента К = (О, О., о-------- ), ялп позеицпала 71 -г 72 71 -г 72 Аналогичное обьяспение получают гирастатический и сингулярные члены а обобщении случая интегрируемости Горячева Чаплыгина (для уравнений Эйлера- Пуассона), найденные Сретенским [150[ и Горя 1евым [53].
Яхьей в [337) указан также интегрируемый (при условии (М,7) = 0) потенциал для волчка Ковелевской вида Н = с171-~- с272-~- а /1 722 преобразования вида о2 — + ы+ 1(ы,7)7, также предложенные Яхьсй в [337). в общем случае не сохраняют гамильтоновость. Получающиеся в этом случае уравнении и соответствующие случаи интегрнруемости не прнводлт п новым случаям иптогрирусмости уравнений Эйлера — Пуассона.
2. Задача Якоби на трехмерном эллипсоиде и система Клебша — Переломова. Рассмотрим трехмерный эллипсоид в Гкг, за- 3, 2 ч'-., к, хя данный УРавпениом: 7 — = 1. В кооРдинатах Оя = — эллипсоид 2.г 2 о„ р о р з приводится к сфере Нз: ~~2 0„= 1. Лагранжиан движения материалья=о ной точки по эллипсоиду в потенциальном поле Н(д) можно записать в Чапльп ина на (5.10) является случаем общей интегрпруемости, в гамильтониане на е(3) полопаются дополнительные параметры. соответствующие симплсктичсским листам исходной скобки. Однако (5.16) содержит наряду со слагаемым — - также гиростатичссиис добавки, которых пст в (6.5), а 72 по-видимому1 частная интегрируемость для (6.5) сохранитсп при добавлении постоянного гироскопического момента с вектором К = (О, О, К).
В случае К = а, (а .. константа из (6.5)) зто выполняется пслсдстпио уравнения (5.18). При алгебраических преобразованиях (5.18) в гамильтониане также появляются дополпптсльпыс слагаемые, аналогичные (6.5): Гливи 2 виде: (6. 7) 1 (Вр, Вр) (ВЬЬВЛ) — (Вр, Вй)' (Вг7г Вд) где В = бзгзд (а,,',аг ',аг ',а., ') = 61ай(Ьз, Ь|,.Ьг, Ьз). Введем новые, более избыточные, компоненты обобщенных импульсов (моментов импульсов) 7Г = ЧОР— 1гис1, Ь .с1хР. (6.9) Как несложно видеть, между я,1.с1, дв справедливы коммутационные соотношения алгебры е(4) и инвариантные соотношения (2.11) (необходимо положить Л = с1,Ле = ~7е).
Если воспользоваться формулой (ВРз ВР) (Вд, Вд) — (ВР, Вг1) — — к~ + 1 г, где я=ЬеВя, Ь=Вс1хВр, го легко показать. что 11Ь~Ь,Ягг + ЬиЬгзг Ьзбзиз + ЬгЬзг'1 + Ь,Ьзг г + ЬгЬгХз + Ьг (д) . (Вцз Вд)г (6.10) В случае сферы оя = 1. р, = О,..., 6 получим Н =,' (пг+ В') —,(7(р). (6.1Ц Вводя избыточные канонические импульсы по формулам ря — Лов (4), после преобразования Лежандра получим функцию д1 дг)в Гамильтона 136 1 б.
Изоморуззмы знтнегрзруемыг случаев На сингулнрной орбите, задаваем~й инвариантными соотношениями (2.11), выполняется равенство пз + Ьз = 4Мз, которое позволяет записать уравнения движения частицы па подалгсбрс (2.7) в оидс (2.9) с гамильтонианом 1Е = 2Мг+ ЕЕ(й) . (6.12) ЕЕ' = —. (йоАл1 + боулз + бобзпз + бгбзЬз + 2 бгбзЕз+6ЛЕз) (Ый ПИ (6,13) при нулевой постоянной энергии Н' = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
