Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Кватеупионкое представление ураопепий доизкензп 103 В индексной форме цлн компонент матрицы ь) справедливо слсцующее выражение щу = — 2(Л;Лу —, (Ло — — ) бц — ЛоЛзеуь) . ыз — 2(ЛоЛз + ЛзЛз — ЛзЛз ЛзЛо) ыз = 2( — ЛзЛз + ЛоЛз, ЛдЛз — ЛзЛо), ыз = 2 (Лз Л1 — Лз Лз . Ло Лз — Лз Ло) или непосредственным выражением ы,Л через переменные Эйле- ра д,пз.,4~,ро,р„,рй. Вычисляя структурпыо константы с,",, можно по- лучить слецующие когимутационные соотношения (МиЛ ) — — Л,, (2 7) (Лк,Л.) =й, (М;, Му) = — ег1ьМю (Ми Лу) = — — (ЩтьЛь - ЬОЛо), 1 2 Определяющая их алгебра Ли представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений зо(3) и алгебры трансляций кп; 1(7) зо(3) Ю, к4. Скобка (2.7) явлнстся вырожденной.
Опа обладает одипствсппой функцией Казимира Е '(Л) = Л, + Л, - Л, + Л,. (2.8) Неособый симплектический пист гомеоморфен кокасательному рассло- ению трехмерной сферы Е'"оз, его размерность равна шести. Гамиль- тоновы уравнения могут быть записаны и следукзщем виде М=Мх —,+гЛх — +; — Л вЂ” -Ло —, дЕЕ 1 И1 1 дЕЕ 1 дЕЕ дМ 2 дЛ 2дЛо 2 дЛ' Л=1Лх дО-ь1Л дн 2 дМ 2 дМ' (2.9) 2. Уравнения движения. Обозначим проекции кинетического момента на подвижные оси М(Мы ~ЪХз, ЛХз). Уравнения движения в персмоппых М, Ло, Л можно получить из уравнений Пуанкаре -Чстаова, аналогично О 1. Для этого можно воспользоваться известным соотноше- нием 104 Злмвчлник 1.
Некоторые интегрируемые случаи уравнений (2.9), отличные от указанных в 11, для которых по выполнены условия осссиммстричпостн силового поля, можно извлечь пз работ (17, 81). Злмвчлнин 2. После выхода работы (32) возмолгность применения системы (2.9) к анализу уравнений Эйлера Пуассона была отмечена в работо (144). К сожалению. никакой ссылки на ~32) в ней нет.
3. Представление на алгебре е(4). Ука;кем еше одну форму уравнений днижения твердого тела в виде гамильтоновой системы на алгебре Ли с(4) движений четырехмерного евклидова пространства. Рассмотрим отображение семимерной алгебры ((7) с образующими М, Л (2.7) в алгебру двизкений четырехмерного евклидова пространства с(4) (см. приложение Р) с образующими Ь, л, Л, заданное формулами: 1 =ЛМЛ ' — М, = лмл ' -' м. (2.10) Нетрудно проверить, что коммутационные соотношения (2.7) при этом отображении переходят в коммутационные соотношения алгебры е(4) Уравнения (2.9) по сравнению с (1.2) содержат меньшее количество переменных (всего 7 вместо 12-тн) и очень удобны для численного интегрирования, так как соотношения ортопормироваппости между ск,Д,7 будут заведомо выполнятся.
При описании динамики твердого тела в осесиммотричном потенциале уравнения (2.9) также имен>т дополнительные преимущества по сравнению с уравнениями Эйлора — Пуассона. В этом случао по тробуется выполнять дополнительной квадратуры для угла прецессии, необходимой для полного определения положения тела в пространстве. По сравнени«з с обычной кватернионной формой уравнений движения, содержащей наряду с избыточными координатами Ло, Л соответствуктшие скорости Ло, Л или импульсы ро., р = (рырт,рз), уравнения (2.9) имеют меньшее количество переменных (7 вместо 8) и более простую алгебраическую структуру (например.
для супсрпозиции однородных полей, уравнения (2.9) являются однородными квадратичными, см. () 3). Кроме того, нетрудно показать, уравнения (2.9) сохраняют стандартную инвариантную меру при произвольной функции Рамиль- тона 1Х. 8 2, Кааторнионное прадстпаололие уравнений даиженип 105 в стандартном представлении (8',. Как следует из (2 10), между векто- рами Х, гг выполнены соотношения ХЛо — хЛ=О, (Х.,Л) = О, (2,1Ц з которые вместе с уравнением гг Ло = 1 задают особый (сннгулнрг о=о ный) симплсктический вист ранга шесть. Злмвчлннв 3. Напомним., что симплектический лист алгебры е(4) пвляется совместной поверхностью уровня двух функций Казимира р;=~ л,', н=о Уг =~ И,', н=а (2.12) где Игн — компоненты четырехмерного вектора, (аналога вектора Паули— Лнгбаиского для алгебры Пуанкаре (8)) определнются формулами И'о=(Х,Л), Ж=ЬЛо+лхЛ, (2Д 3) Размерность регулярного симплектического листа (Г1 = сг ~ О.
Гг = сг ф 0) равна восьми. Для листа, определяемого соотношениями (2.11) Рг = 1 Рг = О. размерность падает на две единицы. Трехмерный вектор ЛМЛ ~ = 1Х1, фигурирующий в (2.10), имеет ясный механический смысл это вектор кинетического момента в абсолютном пространстве. Его проекции на оси непедвиз|ней системы координат: Л'г —— (М,гг), гЛгг — — (М,(1), гтз = (М, у). С учетом зтих соотношений можно выразить л, Ь через направляющие косинусы по формулам Ьг = (М,гг) — Мг, 1г= (М,рг) — ЛХг, 1з = (М, у) — ЛХз, (2,14) лг = (М,м)+Мы лг= (М,З)+Мг, лз = (М,П)+Мз. М=-(„— 1,), 1х1= ( ь1,), 1 1 2 ' 2 Воспользовавшись коммутационными соотношениями алгебры е(4) для образующих 106 !'лава й М=МХ вЂ” +-Лх — ', +- —,Л-гл„—, ОН 1 ОН 1 ОН 1 ОН ОМ 2 ОЛ 2ОЛе 2 ОЛ' ХХ,, ОН 1Л ОН + 1ОЕХЛ 1Л дЕХ ОХХХ 2 ОЛ 2ОЛО 2 ОЛ' Л= 1.Лх ОЕХ 1Л ОН 1Лх ОЕХ+1Л ОЕХ 2 ОМ ' 2 ОМ 2 дХ 2 О1х1' (2 )5) л — — — л, —,— — — л,, Сингулярная орбита алгебры е(4), о~роделяющан (2.11), на которой ра- зыгрывастсн реальная динамика, определяется соотношениями Мз = Мз (гХ вЂ” М)Ле + (М вЂ” 1ч ) х Л = О.
(2,16) Как уже было отмечено, гамильтониан Н является однородной квадратичной формой по всем слагаемым (М, Хч, Ле, Л) в случае, если твердое тело движется вокруг неподвижной точки в суперпозиции трех однородных силовых полей: ЕХ =, (АМ.М) ~ ~> сВЛ,Л1. При этом уравнения (2.15) можно представлять себе как уравнения Кирхгофа, описывающими движение четырехмерного твердого тела в идеальной жидкости (135]. В 3! было показано, что сходная ситуация существует между даня~опием твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном магнитном поле и обычными уравнениями Кирхгофа на с(3).
Отметим, что кинетический член в (2.17) является вырожденным (он не зависит от 1ь1) и не соответствует кинетической энергии какого- либо четырехмерного твердого тела. получим новую форму гамильтоновых уравнений динамики твердого тела: з) д. Двсснеенссе в еупврповссчпсс однородных силовых полеа.
Прнведенссе 107 В 3. Двиукение в суперпозиции однородных силовых полей. Приведение 1. Приведение к трем взаимоортогоиальпым полям. Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой, ва которое действует песколынс однородных силовых полей различной природы (например, электростатическое н гравитационное). В этом случае потенциальная энергия может быть представлена в форме (3.1) 7У =-: р (Р„,г;), где Р; — вектор суммарной силы, действующий на тело со стороны с-того поля с постоянными компонентами в неподвижной системс координат), гс — радиус-вектор точки приложения полл с компонентами, постоянными в системе отсчета, связанной с телом).
Разлонсим вектор Р, по ортам неподвижного базиса сс, 11,7 Р, =Гс:+ГИ-Гт: при этом коэффициенты гсос Е;д. Х„т являются ссоссстанталси. Подставив в (3.1) и приведи подобные. получим для потенциальной энергии (3.1) выражение (3.2) = (Гс ° сн) (гз,д) н (ге~7)" где гс. гз, гз некоторые постояиныс векторы в окестко связанной с телом системе координат. Таким образом, произвольная систома однородных полей (пс обязательно ортогопальпых!) приведена к трем взаимно ортогональным однородным полям со своими центрами пригсоясения. При наличии ссдного поля этот центр приложения один и совпадает с центром тяжести.
Рассмотрим как преобразуется выражение (3.2) при изменении базисных ортов неподвижного пространства. Для этого его представим в виде 77 = Тг(ат О), (3.3) где С~ — матрица проекций ортов неподвижного базиса па оси, связан- 108 Гласа у ные с телом ~1.2), а В. матрица проекций радиус-векторов центров приложения на те же осн К = г1 гз (При этом матрица К явлнетсн постоянной, а матрица С~(1) — зависит от времени.) Изменение ортов неподвижного пространства приводит к преобразованию матрицы ьЕ по формуле С~ = Щг)Б, где Я -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
