Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Это условие можно также получить, если требовать, чтобы общее решение для направлякндих косинусов а,/1, у, связанными с компонентами кватернионов Л„формулами (1.1), (2зб), было мероморфпым. Из анализа показателей Ковалевской для пороого рспгспия Уепгод Лопплепспоя .'?япунооа и интегрируемие случаи !15 следует, что для этого необходимо, чтобы и = см/оз = /2 или и = /и. В первом случае набор показателей Ковалевской ( — 1, 2, 2, О, 3, О, 1), во втором ( — 1,2,2, 0,3,'/2, '/2).
Показатели О и '/2 соотвотственно в первом н втором случао являются кратными, н для отсутствия логарифмического ветвления необходимо, чтобы все миноры шестого порядка матрицы Ковалевской равнялись нулю. Для первого набора это приводит к условинз сз: сп сз Длп втойого набе!2а с.з — О. ПРи Условии сз = се - сз полный набоР ннтегРалов бУДет Указан далее (см. п.
4), В этом случае гамильтониан можно представить в виде Н = -(М, - Мз -ь2Мз) +пгЛ,'+сзЛ2, (сг+сз)Лз, (4.8) или 2(Мг - Мз -2Мз) — ш<хг — уЛ2 1 2 2 . 2 Аналогичный анализ оставшихся двух частных решений приводит к необходимым условиям интегрирусмости сз — — сз,сз = О, которые определяют волчок Лагранжа динамически симметричный волчок с одним центром приведения, распололченныы на оси динамической симметрии (см. 1'1). Отметим, что для условий сз = сг+ сз, полученных из анализа первого решения, среди показателей Ковалевской для решений 2,3 появятся дополнительно (2,— 1) и ряды Лорана, которые мткно получить из этих решений по известному алгоритму (см., например, (178)) уже не будут являться полпопараметрическими (вследствие появления дополнительного отрицательного показателя Ковалевскон).
Соответствующий набор показателей Ковалевской называется вторичным балансом, в отличие от главного баланса, определяющего полнопараметрическое семейство. В различных обобщениях метода Ковалевской требуется, чтобы в интегрируемой ситуации существовал лишь вторичнепй баланс и показатели Ковалевской были бы целыми (не обязательно пологкительными). В этом случае рошспис будет однозначным, по, вообще говоря, не мероморфным. Исследованием однозначности уравнений Эйлера— Пуассона занимался А.М.Ляпунов [11!]. Однако, ого рассуждения по переносятся непосредственно на систему (4.3).
Для второго случая, подозрительного на интегрируемость (о = з/4, сз = 0) вторичный баланс, вообще говоря, не является рациональным. Вероятно, что эти условия не порождают новой интегрируемой задачи. 116 Пьава 2 Несколько более сложный, но сходный анализ можно выполнить длн случая, когда часть силовых центров лежит на осн вращении, а другая часть а экваториальной плоскости. В этом (и толыьо в этом) случае существуют частные решения типа 1,2,3, и условна неотрицательиости и цслочислсппости показателей Ковалевской приводит к папболсс полному обобщению классического случая Ковалевской. В этом случае гамильтоииан имеет вид Н = —,(Мь + Мзз + 2Мз) — (гь. о) — (ггььВ); ь (4.9) т.
е. два силовых центра, определяемые радиус-векторами гь = (д,„, А„, О) и гз = (дд, Аю 0) произвольно располагаютсн в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (исходя из рассуждений з 3 можно полагать, что все три силовых центра иаходятсн в экваториальной плоскости). 4. Обобщение случая Ковалевской. Система с гамильтонианом (4.9) обладает двумя дополнительными инволютивными интегра- ламн Г~ =(.Уьгь+Лзгз)" + 2Хз(гь х гз,М) + + 2(гь х гз., гз х о — гь х Д), ( з 2 1Мь'-Мз ~з " лйоь — Ьаоз -, 'яя)1ь — Ььздг + (МьМз +д оз ж 1ь~ьхь — ддВз + 1ьф3ь)'.
(4.10) Фактически эти интегралы были указаны А. Г. Рейманом и М. А. Семеььовым-Тььн-П!аььсььим, хотя эти авторы получили их несколько для иной постановки задачи. Из работы [312, 196) также следует, что интегрируомость сохранится при добавлокии гиростата вдоль оси дьщамичсской симметрии. При дд .= Ьд .. 0 или д„, †. Ь,„ := О интограл (4.10) переходит в интеграл площадей (М,ьх) или (МьВ). При д = Ьдь Ь = дд = О или Аа = дд, д" = Ад = О интеграл (4ЛО) переходит, соответственно„ в интегралы Мз — (М,у). Если в случае интегралов площадей циклической псрсмсппой нвлястся угол предсссии 60 то во второй ситуации циклической переменной является угол ьа ~ ф. Это обобщение случая Ковалевской до появления работы [312[ было указано Х.Яхьей Ьь17Ц, ((4. Метод Кввилевсивл Явпуивва и толееуиуувжме случив 117 В Я 5,6 нашей книги этот случай изучен более подробно в частности, указан его изоморфизм на нулевом уровне циклического интеграла с иптогрируомым случаем Чапл<,<гила в уравнениях Кирхгофа [163].
Отметим иптересн<ю наблюдение — интеграл (4.10) для уравнений в переменных М,се, Л. 7 имеет степень квазподнородности 6 и является простым квадратичным интегралом в переменных М<Ы,Ас<Л для уравнений (2.1о). При этом интегралы типа площадей имеют запись <е< = сопз$. Поэтому вопрос о наличии линейных или квадратичных интегралов разумно поставить именно для уравнений (2.15).
Исследование линейных по М и Х иптогралов приводит только к тром возможным случаям их существования (с учетом возможности приведения путем смены неподвижного базиса (см. з 3): 1. <<< = сопзс (!'. = 1. 2,3) (обычные интегралы площадей); 2. <т! ~М< = с<пыл (эх<я случай и его динамическое происхождение подробно разобраны в 24 ); 3. М; = сопз1 (зто интегралы типа Лагранжа если он существует, то всогда есть и еще один циклический иптограл Ж, = сопв1 и система является интегрируемой). В случаях 1,2 ранг скобки Пуассона может быть понижен на две единицы (см.
у 5), и система (4.3) может быть сведена к системе с двумя степенями свободы, для интегрируемости которой не хватает еше одного дополнительного первого интеграла. 5. Обобщение случая Делоне. Кроме пони<кения порпдка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.9) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака. Для этого рассмотрим интеграл Коваленской (4.11) при условии Гз — — О., определяющим обобщенный случай Делоне [5]. Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения М! М2 2 две!1 1<и<<2 ед<6! 1<662 0~ (4.12) М<М2 + вес<2 + ~<асс! ' вд62 + ~<лВ! — 0~ которые являются центральными функциями структуры Дирака Я 9 гл.
!). На четырехмерном симплектическом листе имеетсп также два интеграла (4.9), (1.10), позволяющие полностью проинтегрировать систему. Галла й Интересные коммутационные соотношения порождаются функциямн зы зз. Несложно проверить, что (зыза) = — Мз(М~ + Мз) + йиз[Ь41дь+ 34зЬ~х) + 2дз(М1йй+ МзЬз), (4.13) а также., что функция,У является первым интегралом системы при выполнении условий (4.12).
Действительно, (А Н) = 2зз( — д„оз — Ь„о1 — дд()з — Ьд(11 )— — 2зз( — д,„иг + Ь„оз — дрА + ЬдЮ Поэтому интегрирусмость обобщенного волчка Ковалевской в (обобщенном) смысле Делоне может быть условлена и без использования интеграла (4.10). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий (4.13) и (4.10) уя|е оказывается зависимым, Интересно заметить также, что в случае одного силового поля (д = дд = Ьд = 0) кубнчный по моментам интеграл (4Л3) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева Чаплыгина для уравнений Эйлера Пуассона (см. ) О).
Нссомпсппо, что между интегрируемыми случаями Ковалевской и Горячева — Чаплыгина существуют глубокие взаимосвязи па уровне пуассоповых структур, проясняющие скрытие симметрии этих систем. Однако они практически совсем не исследованы. 6. Известные случаи иптегрируемости. В заключение систематически приведем все случаи интегрируемости, известные в задаче о двилаонии твердого тела вокруг неподвижной точки в супгрпозиции однородных ортогопальпых силовых волей. 1. Случай Эйлера Пуансо при этом с; = О, Ь; = О,Чзй у = 1,2,3, а интсгрируемость является иекоммутативной —. интегралы площадей Л; образуют алгебру зо(3): ~Лье.) = еиьХы 2.
Обобщенный случай Лагранжа — при этом тело являстся динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Как показано в ~~3. этот случай сводится к обычному тяжелому волчку Лагранжа. 3. Обобщенный случай Ковалевской --. эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, между моментами инсрдин выполняетсн соотношение а1 = аз = 1/2аз (ач = 1„~), а три силовых центра произвольно располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Метод Бовалевскоа — Ляпунова и интееуиууеяив случаи 119 4. Обобщенный шаровой волчок --. он реализуетсн при а1 —— аз — — аз и при произвольном шзтенциале (4.1). Как показано в гл.
3 в этом случае уравнения волчке сводятся к уравнениям движении материальной точки по трехмерной сфера в попе снл с квадратичным потенциалом. Для двуморной сферы интегрпруемость этой задачи была показана ощо К. Нойманом. В работа '294', К). Мозер доказал иптогрирусмость и-мерной системы Неймана (на о"). Заметим, что в нашем случае движение будет происходить по трехмерным торам, вложенным в шести- мерное фазовое пространство. Трехмерные торы возникак>т также существенным образом (то есть порядок системы не может быть понижен глобально и слоение по может быть сводспо к слос1щ|о па двумсрпыо торы) в обобщенном случае Ковалевской.
Этн случаи наиболее сложны для топологичсского и качественного анализа и практически пс изучены. Еще одно интересное замечание состоит в том, что условия существования квадратичных по М, Х интегралов системы (4,3) совпадают с условиями ее полной ннтегрируемости по Лиувиллю. Таким образом, нелинейный по импульсам интеграл систомы (4.3) отдельно существовать не может он сразу влечет за собой полную ннтегрируемость системы (4.3). Отметим также, что пам неизвестен пример из гамильтоновой механики. в котором система с более чем двумя степенями свободы обладает пслипсйпым по импульсам дополнительным первым интегралом, но но является интегрируемой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
