Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 24
Текст из файла (страница 24)
При Нз = 0 добавка к уравнениам Кирхгофа пропадает. ЗАивчлнив 1. Наличие особых орбит в опоении (5.6), соответствующих эз = О, приводит к тому, что при Гз ф 0 в редуцированной системс с гамильтонианом (5.8) появллется неустранимая особенность в точках экватора (зз = О). Прн устранении этой особенности нз скобок Пуассона (5.7) опа э б. Редуеироепппал пуассопова структура и понижение порядки 125 паявлястся в гамильтопиапс (5.8). а при устрапсшзи из гамильтопиапа опа появляется в скобке (5.10). 3. Алгебраические преобразования.
В теории алгебраических пуассоновых структур важное значение имеют преобразования, сохраняющие алгебраическую форму этой структуры. Их исследование позволяет выявить, иногда неожиданные., связи между различными задачами (см. 26). Рассмотрим преобразования приведенных выше нелинейных скобок. 1.
Квадратичная алгебра (5.7) допускает преобразования вида 1з' = р — Св, в = в, (5 12) (С вЂ” произвольная константа или функция Казимира), сохранакнцие коммутационные соотношения. Прн этом симплектические листы в =сы (р,в)=гз лсдвигаютсям — — сз — — сз — С(сы гз)сы и появляются дополпнтсльпыс слагасмасмыс в гамнльтопнапс. Напри- мер, для (5.8) преобразованный гамильтоннан имеет вид г )+2(„ЦС з ++ +Си(„1) ,р, С(р', а) + Сзв' Возникающие в (5.18) добавки аналогичны действию центробеауных и гироскопических сил. Н. Для алгебры (5ЛО) преобразование (5.12) принимает форму Злмнчлние 2.
Еще одна редукцип сразу по двум интегралам движения (один из которых нелинейный по импульсам) рассмотрена в 56. Прн этом получа- ется нелинейная скобка Пуассона ринги два, и урпавення движения всегда будут интегрируемыми. Х'лала 2 136 (К, в) Выбирая функцию С = ', зададим отображение (проекцию) вз всей алгебры (5.10) на симплектнческий лист алгебры е(3) )Х„Ц) - е,„ьХы ~Хне ) —: аыьлы (е„е ) -" (), определенный соотношением з (5.15) Следовательно, динамическая система на алгебре (5,10) эквивалентна системе на фиксированной орбите алгебры е(3). При этом параметры, фиксирующие симплектический лист первоначальной скобки (5.10), переносится в гамвльтопиак: ~ (Х 1 + Х2 + оХз) + 11(в) + ~ — 'з + сз(а — 1)Ез, (5 16) лз то есть однопараметрическое семейство листов заменяется однопараметрическим семейством гамильтонианон. 'Гаким образом, уравнения двизкенип редуцированной системы совпадают с уравнениями Эйлера"-Пуассона, описывающими движения твердого тола с постояшппм гиростатичсским моментом К = (О, О, сз(а — 1)) в эффективном потенциале Х1 (в) 11 (в) + 1 сз ,2 Константа интеграла площадей нри этом равна нулю.
Связь преобразования (5.14) со случаями частной интегрируемости на е(3) обсуждается в л 6. 1П. Возможность представления динамической системы с нелинейной скобкой Пуассона на одном из листов е(3) объясняетсп том, что симплектический лист обеих структур (5Л), (5.10) совпадает с (ко)касательным расслоением двумерной сферы - Т"Яз. Произвольную гамильтонову систему на Т*оз можно также записать на алгебре с(3). Пусть 9, р — сферические кордипаты ца Яз, а рл,р — соотвст- 85.
Редучирооанная иуассонооа стрдкидда и понижение. порядка 127 ствующие им канонические импульсы, Уравнения . «ус1 81пдишгг, 72 --;/сгьшдсонр, 71 — 1/сг санд, 81П «Р М1 =, (с2 ри со8В) е ра сов 8о~ 81п д сои 82 Мг = . (с2 ро спад) ро 81п82, гйп д (5,17) 542 =де задают отобрал«ение Т'82 на орбиту е(3), опредолиему ю соогиошенин- мп 'у2 = с1, (М,7) = с2. Таким образом для гамильтоновой системы иа каждом отдельном листе скобок (5.7), (5.10) можно указать преобразование к алгебре е(3) вида (5.17).
Однако уравнении (5.14) задают отображение сразу дла всей алгебры (5.10) и имеют простую алгебраическую форму. 1У. Укажем нелинейное преобразование алгебры е(3)1 сохраняющее коммутационные соотношении (аналог канонических преобразований): и1 = ЛХ1 — С и ,2+ 2~ й,г 2 '12 11+ /2 (5.18) иг =- ЛХз, где, как и выше, С вЂ” произвольнап функции Казимира. Прп преобразовании (5.18) орбита 72 = с1, (М, Г) = сг отображается целиком в другую орбиту 2 С' = У = С1, с2 = (»Г,Т) = (М,Т) С = с2 С(с1,с2). Линейные преобразовании, сохраняющие скобку Лн. -Пуассона, хорошо известны (156); онн определнк>тсп группой Ли, соответствующей данной алгебре скобок. Такис липсйпыс преобразовании оставлнют неподвижными орбиты алгебры к определяют па каждой орбите некоторое каноническое преобразование.
В отличие от них, преобразовании (5.18) «переставлиют» симплектические листы в алгебре и поэтому пс могут быть получены как семейство канонических преобразований на симплектических листах. Гнааа й Злмвчлнив 3. Отображение (5.18) является одним из примеров нелинейных преобразований, сохраняющих структуру скобок Ли Пуассона е(3). Насколько пам известно, з общем случае такие преобразевапия мале изучены. Особенность при ~з — уз = О в представлении (5.13) является в некотором смысле неустранимой, Действительно, известно [129), что глобальные канонические переменные на симплектических листах е(3) могут быть введены только для орбит, удовлетворяющих условию (М, Г) = О.
Преобразования (5.18) позволяет спроектировать всю алгебру е(3) на сиъшлектический лист (а.,ч) = О (необходимо выбрать С = (М,у)) и получить затем обычные канонические переменпыс. Однако при этом в гамнльтопиапс появляется особенность в полюсах сферы т1з -~ уз = О (исключение составляют орбиты (М, т) = О). Преобразование вида а = М вЂ” (М,ч)у., используемое в работе С.П. Новикова [129). также проектирует алгебру е(3) на лист (а,й) = О, однако пс сохраняет скобку.
Хотя в этом случае получается «хороший» гамильтониан, симплектическав структура дли листов (М,г) / О не- каноническая и содержит неточную форму гироскопических сил. Такая особенность для гамнльтоновой системы на орбите е(3), длн которой (М, у) ф О, называется монополем Дираьа, При устранении ее из скобки она появляется в гамильтоннане и наоборот. У. Пример преобразования. сохраняющего нелинейную (квадратичную) скобку Пуассона. возникает при исследовании проблемы коллапса и рассеяния в динамике вихрей (з 5 гл. 4).
Рассмотрим трехмерную квадратичную алгебру (см. 35 гл. 5) 1жыщз) = взаз. [зз,зз) = хззз, (тз в1) = х'1хз ° (5,19) Однородное преобразование, отображающее бесконечно удаленную точ- ку системы (5.19) в начало координат вида ри= ', з=12 3, ь/т1з:зз'з сохраняет скобку (5.19). 4. Относительные равновесия и аналог конуса Штауде. Для уравнений (5.11) рассмотрим вопрос об относительных равяовесиях. Этот вопрос для уравнений Эйлера Пуассона был исследован П1тауде [4, 112ь Для нахождения относительных равновесий необходимо найти такие направления я. для которых К = О, в = О.
С учетом уравнений З Ос. РЕдуцирпеаииая Нуаеепиооа Перуитура и НпииНСЕННЕ аарндиа 129 движения (5.11) получим я= — хе=0, ОН дК то есть ИН вЂ” =Ля, ЛеЛ. Если выбрать гамильтониан в виде Н = — (К,АК) + Н (я), то на уровне Рз — — ез (К,я) = с получим К= Вя, ез(я,Вя) где В = А Используя уравнения К = О, яз = 1, определим направления относительных равновесий сзВя х я Ят сезхя , +ях — + нз (я,Вя)а дв ез (я.,Вя) в' =1. (5.20) 1(7) (2.7) Н = 2 (М1 + Мз аМз ) + ЬМз + с' (Ло) (5.2Ц Система (5.20) отличаетсн от классическо11 (конус Штауде) наличием дополнительного слагаемого. Длл движспий твердого тола соответствующих положениям относительного равновесии (5.20) 7з = сопят, следовательно, ось симметрии волчка (апекс) прецессирует вокруг оси перпендикулярной двум полям.
При этом экваториальная плоскость вращается таким образом, что сохраняется вещечина ас —, Дз, либо о1 — Дз. Исследование уравнений (5.20), например, нахождение условий устойчивости относительных равновесий, представляет собой интересную механическую задачу. 5. Система Деггетта.
Приведем пример еще одной динамической системы, которал может быть представлена на нелинейной алгебре (5.7) или (5.10). Рассмотрим гамнльтоппап общего вида для системы па алгебра 130 При а = 1 и Н = С ~4Лоз — —,~ получается система Леггетта, описыва- 2 3 о ющая поведение спина атома жидкого Нез в (1-фазе при наличии магнитного поля, обсуждавшанся в [00, 129). Система (5.21) имеет интеграл Гз = (М,7) — Мз, и следовательно, может быть представлена на алгебре (5.7) или (5.10). (Уравнения динамики спина Нез в а-фазе сводятся к обычным уравненипм Кнрхгофа на алгебре е(3) [129'.) Как было указано оышс, с помощью преобразования (5.14) систсма (5.21) может быть также сведена к гамильтоновой системе на нулевой орбите (о,-1) = 0 алгебры е(3).
При этом, однако. в гамильтониане возникает особенность в точке экватора оя — О. В качестве канонических координат для приведенной системы могут быть выбраны перемсппыс Апдуайс — Допри для уравнений Эйлера — Пуассона (я8). Редукция в других переменных выполнена в [239]. В связи с неудачным выбором образу ~сшил, новая скобка получилась неоднородной и кубичной. Функция Лагранжа, указанная в [239), может быть получена редукцией Рауса по циклической переменной ф при параметризации сферы яз стандартными сферическими координатами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
