Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Однако, при этом привсдопии система па сфорс Опо переводит Я~ х Ез в орбиту е(3): уз = 1,(М, у) = Ог а канонические коммутационные соотношенин (г7,,р [ - д; в коммутационные соотношепин алгебры е(3): 142 Глава й (сфере Пуассона) содержит дополнительные линейные по импульсам слагаемые, соответствующие гироскопическим силам, и использование принципа Мопертюи не приводит к геодезическому потоку иа яз.
Далее привалены примеры интегрируемых метрик на Я~г соответствующих интегрируемым гамильтоповым системам па симплсктичсском листе алгебры е(3),определяемом соотношением (Мг 7) = О. Большинство этих мстрик было указано в работе (2Ц. 1.1. Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона. Рамильтониан в случае Эйлера имеет вид агг141 ~ ггзг !2 ~ аз!!ъ ' Как следует нз предыдущих рассуждений ему отвечает следующая метрика на двумерной сфере (метрика на сфере Пуассона) отг(дз + азг(дзз + азг(дзз «!» агазггз — гдз + „— гдз + а — гдз з з з Дополнительный интеграл Е = Лг!гз ь 11!за + Мзз.
Здесь и ниже в дополнительных интегралах М выражается через р, г! по формулам (7.5). 1.2, Случай Лагранжа и «метрика вращении». Для случая Лаграюка гамильтониан можно представить в форме У Мз + Мз + 142 + (!( ) а соответствующую метрику на Я~ 6 — б'(дз) г!г!г + г!дз + гггЕг!тз г(в г!з —,— г!зз -Ь а 'г!зз ' Поскольку кинетическая и потенциальная энергии инвариантны относительно вращений вокруг оси ОЯ., в данном случае получается семейство осссиммстричпых мотрик двуморпой сфоры. Дополнительный первый интеграл в данном случае (интеграл Лагранжа) Л = Лдз. З 7.
Принцип Мопертюи и геодезические потоки но сфере 143 1.3. Случай Клебша. В случае Клсбша гамильтониан является диагональной квадратичной формой на алгебре е(3) 11 ' агн41 и а23422 е изМа — (а1 71 + 112 чг + аз 7з), он порождает метрику — 1 2 — 1 2 — 1 2 2 2 г 1)з "+а1 Ч1+ог Чг аз Чз а111Ч1 — агсгЧ2 — 'азсгЧз а1агаз 12 — 1г 11 а1 Ч1-.112 Ч2-~-аз Чз Второй интеграл геодезического потока, порожденного данной метрикой равен 12 = 111ЛХ, + а2312 + азМз— (о1Ч1 + агЧ1 + азЧз) а1М1 + агМ2 + азМз г г г1,2 2 г А, + а,-гдг т и,-1 Чгг + из-1 Чз ' Кек показано в работе ~78), при Ь = 0 случай Клебша и соответствуьещий геодезический поток траекторпо эквивалентны геодезическому потоку стандартной римановой метрики на эллипсоиде в евклндовом пространстве, заданном уравнением г — + — + — = 1.
а1 аг аз 1.4. Случай Горячева — Чаплыгина. Геодезический поток с кубическим дополнительным интегралом. Случай Горячова Чаплыгина является случаем частной интегрирусмости па алгебре с(3) па пулевой константе одной из функций Казимира (М, у) = О. Как было показано выше, этого достаточно., чтобы ему соответствовал интегрируемый геодезический поток на $2. Гамильтопиап и порождаомая им метрика имозот вид Н Ы2 + ))42 + 4 142 + 6 — Чь ггЧ1 + аЧ2 + 412Чз 2 2 1 2 Ч, + Ч, + -Чз 144 Дополнительный интеграл явлнется кубическим по импульсам и дается выражением Е = Мг (Мг + Мгг) — (Мг + Мг + 4Мг) . 2(Ь - Чг) 1.5.
Случай Ковалевской. Гаыильтониан и метрику интегрируемого случая Ковалевской уравнений Эйлера--Пуассона можно представить в виде 1 (44г + Мг + 2Мг) + 1 Ь вЂ” Чщ гй~~~ + ПЧгг + 2дчг дл 2 2 г г 1 г Чг + Чг + 2 ЧВ Ь' 7. Принцин Ьрооергоюи и геодегичесние нотона на сфере 146 Второй интеграл в данном случае имеет четвертую степень по импульсам 2 ( з з Мг +Мз +2Мз 2(6 — Ч ) М Траекторная неэквивалентность и несводимость к интегралам более низкой степени для вышеприведенных случаев обсулсдается в работе (21].
1.6. Случай Чаплыгине (обобщенный случай Ковалевской), Менее известным случаем частной иитегрнруемости ((М, 7) = О) для уравнений Кирхгофа с интегралом четвертой степени нвляется случай Чаплыгина, который как было показано выше при 4гз = 0 изоморфсп обобщенному случаю Ковалевской [32]. Гамильтониан в этом случае дается выражением (6.1), с помощью пего получается слсдующсо семейство мотрик (с!2) (Чз Ч~) ПЧз + ПЧз + 2ПЧз ое (7.10) 2 2 Ч~ + Чз + Чз/2 Это интегрируемое семейство имеет интеграл четвертой степени по импульсам с(Чг %) ЗАМЕЧАние 1.
Траекторная и топологкческая неэквнвалентность метрики (7.10) метрике обычного случая Ковалевской показана в ]301] (см. таклсе приложение Р). Злиичлнии 2. Б.А. Чаплыгиным в ]1бЗ] было показало, что при (М,Т) = 0 цктегрцруетсн система с потенциалом раиным линейной комбинации потенциалов случая Чаплыгина и случал Ковалевской (см. также замечание 5 Ь' б): Н = — (Мг + Мг — 2Мг) + о 7~ + Ь (71 — 7г), и, Ь Б П. 2 При этом на сфере Я~ возникает семейство интегрируемых ~ еолезнческнх потоков, определяемых параметрами а, Ь.
Было бы интересно изучить 111ава й топологию и перестройки соотвстствугощих поверхностей уровня первых ин- тегралов Н и Р Г = (Ь11" — Ыг + Ьтз — атг) + 4 ~ М1Мг — гтг) з г г г / а и 2. Геодезические потоки на Яз. Рассзготрим обобщение приведенной конструкции на случай трехмерной сферы стандартно вложенной в К«: оз = (41 роз + 411 + 422+ 432 = 1) (см. з б н приложение В).
Зададим отображение Т*К3 на сингулярную орбиту И'г = О алгебры с(4), гомсоморфпую Т'$3 формулами: (7.12) Я=4оР— РоЧ 1 =ЧхР Как было показано в Зб геодезический поток метрики эллипсоида 1 =; (Ч,ВЧ), где В = 411ая(Ьо, Ьг, Ьг, Ьз) приводится с помощью (7.12) 1 2 к интегрируемой системе на е(4) с гамильтонианом ЬО Ь1 я1+ЬО Ьг 22 ЬО 13 яз+ 2 (ЧгВ 14) ' г-11-112 1-11-112 1-11-112) Обратное тагике справедливо. Если выбрать на е(4) интегрируемую систему с гамильтонианом «четырехмерного» случая Клебша. 11 =Ьо Ьг хг+ Ьо Ьг "г + Ьо Ьз "з + — 1 — 1 2 — 1 — 1 2 — 1 — 1 2 + Ь-1Ь-1 12+ Ь-1Ь-1 12+ Ь-'Ь-'12 — (4 В-14) то из формул (7.12), (7.2)г (7.3) можно получить семейство интегриру- емых метрик на сфере Я" 1 Пусть 11 = 1 (М,АМ) + 11 (д).
Чтобы найти метрику в К« (в ко- 2 торое вложена Яз) необходимо сделать преобразование Легкандра ОН дМ 1(ы,Ч) = ('.М) — 11~м „„. 5 7. Принцип Монергиюи и геодезичеоние еатони но сфере 147 Используя принцип Мопертюи получим лагранжеву систему, описывающую гсодсзичсский поток па яз Ь вЂ” 17 (а) 5 = (ы.,1(д)ог)., где ш = 2 (яос) — аог4 — 44 х г)), 1(д) = А ' (д). Интегрируемые геодезические потоки на Яз, обладающие двумя инволютивными нелинейными по импульсам дополнительными интегралами, могут быть получены из интегрируемых случаев динамики твердого тола п супсрпозиции линейных силовых полой (Я3,4). Один пз цих — обобщенный случай Ковалевской, второй — шаровой волчок в произвольном липойпом по сц 1о, 7 потспцииалс (сводящийся к задаче Неймана на Яз).
Кроме исключительных ситуаций (см. 35), в которых один пз дополнительных интегралов сводится к линейному по моментам, зти случаи не могут быть редуцированы к двум степеням свободы, а слоение на трехмерные торы приведено к двумерному. К сожалениях тоорня перестроек трехмерных многообразий почти совсем не развита (в отличие от двумерного случая ]152, 156]), позтому вопросы, связанпные с топологическим анализом указанных задач остаются пока открытыми. Злнвчлннв 3.
Отметим, чта интегрируемые геодезические потоки на трехмерной сфере можнО получать нсаользуп также интегрируемые геодезические потоки на группе ЯО(4) (в частном случае см. ]37].) Действительно, если функция Гамильтона в уравнениях дввжспня па завнсит от координат (Н = Н(н, 5)), та отдаляется система па падалгсбро ео(4) С о(4), н поэтому всегда сущесзвует первый интеграл 7гг = яг + Вг (функция Казимире алгебры ео(4)). Для ннтегрируемасти по Лвувнллю Арнольду на сингулярной орбите необходимо существование еще одного дополннтельного интеграла. В случае алгебры ео(4) для квадратичных по я, В гамильтонианов вопрос а наличии дополнительного интеграла решен в рабатах Стеклова, Манакова, Адлера и ван Мербеке ]! 15, 177, 321]. В частности, в случае Адлера н ван Мербеке 1771 дополнительный интеграл имеет четвертую степень по импульсам.
что приводит к геодезическому потоку на Я с интегралами второй и четвертой степени, Глаза й В 8. Ограничение пуассоновой структуры и канонические переменные В этом параграфе мы опишем один из способов введения канонических переменных в динамике твердого тела. Этот способ существенно использует структуру скобки Ли Пуассона, на которой задана гамильтонова система. Он связан с выделением в первоначальной алгебре замкнутой подалгобры, введенном для псо капоцичоскнх координат, а затем построением расширенного канонического набора, определяющего симплектические координаты на всей алгебре.
Более полробно, алгоритм симплектизацин изложен в приложении Н (см. такаю ~ 6 гл. 4) на примере задачи трех тел. В динамике твердого тела этот метод приводит к хорошо извостиым порсмоппым Андуайс †Доп. Классическая процедура их введения, не являющаяся вполне очевидной, приведена в книге (Ц. Эти канонические перемекнью така<с (в силу особенностей процедуры их введения) определяют симплектическне координаты на симплектических листах соответствующих скобок Ли.-.Пуассона Я 1 ~л. 1). Сначала для простоты рассмотрим случай введения канонических переменных для алгебры е(3).
а затем рассмотрим более сложную ситуацию, определяемую коммутационными соотношениями (2.7). В подалгебре вращений ьо(3) алгебры е(3) выберем канонические пероменные 1, А М~ = ИГР— Гзз1п1, ЛХ~ = ь/С~ — 7зсоз1, М~ =А, (В.Ц представляющие собой цилиндрические координаты на двумерной сфере — симплсктичсском листе скобки Пуассона, определенной алгеброй ао(3). в---. „„„.„„, а . а= и,' ~пгтхт функцией Казимира рассматриваемой подалгебры и мотает быть приннта за новую каноническую координату тица «действиеж Сопряженная ей углован переменная я вводится следующим образом.
2 У. Ограничение пуассонооон структуры и канонические перстенные 149 Скобки Пуассона между переменными Ег1,С, ум 72, 72 следующие: (1,5)=1, (С.Ц=(С,1)=О, (72,7,)=О, (8.2) (о,72) = — 72., (о,72) = 7ы (ь.,72) = О, з|п 1'7з ,РС -П' соз|7з гС2 гг' (8.3) Н вЂ” о72 С2 В2' (8.4) (С,72) = — (ъ'С2 — 2 2 сов|72 — 1 72), С (С, 72) = — (Л д — тгСг — Аг нш|7з). 1 С (С 7з) = тlС А (ьи!172 (оз172) 1 2 С (8.5) (С,д) = 1, (1...8) = О, (1,д) = О. В результате получаем хорошо известные формулы (см. (5г 28)): -=(УФ ТГ 2ЧГаУ'") ' ГаТ* »--, — 1 — ( —,) --, 1 — ( — ): з8'с 1- 1 — ( —,) з1 л.'п1, |н ь г Н2 .~,.
И 2,. =(1) (1) ч' ГФ (Г -' (8.6) В (8.4) Н обозначает проекцию кинетического момента на неподвижную ось. При этом Н = (М,7) является функцией Казимира (ко)алгебры е(3) и интегралом движения. Разрешим последовательно системы дифференциальных уравнений в частных производных (8.3) (8.5)г предполагая 7; функциями (1,2,,д; С., Н) и учитывая коммутационные соотношении 150 »'лава й 1. (1, Ло) Лз (Х, Лг), Лз 1 1 (7.,Л,) = -'Л„(1.,Л,,) = --'Л., (8.7) 2. (Н,Ло) = — Лз, (Н,Л ) = — Лз, (Н,Лз) = -гЛы (Н.Лз) = -гЛо, 1 1 2 ' ' 2 (8.8) Лз сов|+ Ло ип| (, ) Л» з»п1+ Лз соз( 2,/а-- В Л«соз1 — Лз з«п1 2 ~/Сз — И Ло зй«( — Лз со»( 2 чЖ~ — Хз (8.9) Сз г,з 4. (С, Ло) =, (Лг зш(+ Лз соз/) + —,Лз, (С, Л,) = ', ( — Ло яви + Лз соз1) — — 'Лз„ фТ: 7,г (С, Лз) = — (Ло соз1+ Лз з1п() + — Лы ф2 гз 7 (С, Лз) = (Лз з1п1 — Л» сов1) — — Ло. 2С 2С (8.10) Капопичоскими переменными па четырехмерном симплсктичсском листе скобки Пуассона алгебры в(3) являются (А, 1, С, л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
