Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При Л = 0 вта формула не определена. Чтобы получить приемлимусо асимптотику сз пуле нужно вместо первого ипвариапта рассмотреть следующий: Л [Тг((ЛИ вЂ” Р)(Е+ ЛВ) ) — ТгРз') = — ' [т ((ЛК вЂ” Р)( — ЛВ -Ь ЛзВз; — Л'Вз — ...))'" — ТгРз") . Полученное выражение является степенным рядом по Л, причем первый (свободный) член этого ряда имеет вид т (г+ Рв)Р'"-'. и являотся функцией Казимира скобки (,.]о. Вместе с функциями вида ТгРзь они образуют полный пнволютивный набор.
Оказывается, что структура алгебры Ли с коммутатором [,.]„ изоморфна полупрямой сумме алгебры гиз(п) и коммутативного идеала Ф"са ссс'з1 по присоединенному представлению. Стандартный коммутатор для этой полупрямой суммы задается иа пространстве В естественным способом: [(Хс. Ус),(Хз. Уз)] = ([ХыХз],[ХыУз] с [УыХг]). Изоморфизм между этим стандартным коммутатором и адеформиро- ванным» [.
]а определяется отображением 2( удовлстворнюшим соотношениям сб[(Хс, Ус),(Хз,Уз)]о = [са(Хс Ус).са(Хз,Уз)] . Сопряженный оператор имеет вид сср(л„Р) = (л — 1(ВР+ РВ), Р). 2 192 З У. 1 — А-»ары и лига аилыпаиовашпчп ливан пучки Таким образом, уравненин Эйлера в смысле скобки 1ч )о приводится к стандартным уравнениям в смысле скобки, отвечающей полупряМай СУММЕ ВО(и)+г1йиа ~1/ ) Прн ПОМОЩИ ЗаМЕНЫ ВИда (гОР) Ь 1ЛХ,Р). < Л = М вЂ” ЦНР+ РН), 2 Р=Р.
5. Многомерные обобщения системы Ляпунова — Стеклова. Опишем теперь семейство гамильтонианов, поролсдающих системы, являющиеся гампльтоновыми относительно каждой скобки из нашего семейства. Ловко видотьч что такому свойству удовлетворяют функции Казимира скобок 1 . )о + Л1ь )ь максимального ранга. Так как длн уравнений Кирхгофа гамильтониан является квадратичным, то рассмотрим семейство функций, являющихся линейными комбинациями, указанных выше квадратичных функций Казимира. Можно проверить, что функпии из этого семейства имеют следующий общий вид: (9.12) Ьу гд Послсдпос слагаемое в этой сумме пс сущсствоппо, поскольку является функцией Казимира для каждой из скобок.
Предложение 4. Нушпь гади ььгиокиан Н и.ивет вид )У.И). уогс)а он поролсдавт бпгамильтвнову сисглвму, гл. в. существует функция Й такая, что сариведливо п~озкдвсгавоь )зц Н)с — — 1х, Й)о. (9.1 1) При шпом гамильггьонивн П молсет быть взят в виде Отметим, что гамильтопиап Й определен неоднозначно. К псму всогда можно добавить произвольную функцию Казимира скобки ('.
')о ° 994 глава и Но(Х.,1) =~ ' 'ЬЬтХз + Ду (9.14) ьд Ь;с„— Ь,с, + 2 ~ ~/Ьььдхиуи и ка иростракстве Г = (во(п)ь9,!я:Щь О!г)) со стакдарткой скобкой Иуоссоии гальильтопиоп вида н,( .Р) = Е.'"," '-,"-'(.~;, — -,'(ь, +ьтя,)— ьз Ь Ь ( ь' 2 1) 9) 9 ~Л- Ь Ь (9.15) Тогда соответствующие этим гамильтокиаком системы сводятся друг к другу при помощи следующей линейной замени первмеккик: И = Н'!гХП'!г+ -1(НР+ Гв). Р = 12 2 Чтобы получить представление Лаков со спектральным параметром дле гамильтонианов из описанного семейства, рассмотрим бигамильтоново векторное поле !;с, Н)1 = (ж, Н) о. Опо, следуя разбраппому методу, может быть представлено как гамильтоново векторное попе относительно линейной комбинации (,.)о -~ + Л(ч )ы о = (л Ноелк)оелк.
(9.16) Равенство (9.13) может быть интерпретировано как изоморфизм между системой па полупрямой сумме во(п) ьц„!к("!" ОIз! и системой на прямой сумме ло(п) У ло(ьь). Однако, здесь обе скобки нменьт не совсем стандартный вид, чтобы привести их к стандартной форме нужно произвести некоторые замены (которьие бьщи описанья вылив), 13 результате можно получить следующий результат. Предложение 5. Рассмотрим ка прострикстое. С = во(п) В ло(п) со стикдирткой скобкой гомильтокиак следующего вида: 3 10. 1 —.
А-нары и лигалтлыионооосожс нирпианоосноо разложение 16б Гамильтопиан при етом имеет следующий явный впд: г,з дз гз где а„= сссп(1 - зсп) ~ и являетсн естественным обобщением классического семейства Лнпунова Стеклова (31). Можно переписать уравнение (сй19) в форме Ь вЂ” А-пары, пользуясь соображениями, описанными выше (см. соотношения (9.9), (9.19), (9.11). В нашем случае А::: ~р* ~(Я,Р), т. е. (Р;-ь ЛВ)-'~з(К вЂ” Л-'1)(Р;+ ЛВ)-'!з О 0 Л 'Р/ г4 ж "(|и „. (г. Р)). Зхикчлник 2. Используя указанную конструкцию, несложно получить многомерное обобщение случаи Рубнновсного„длн которого в гамнньтониане (9.15) появляютсн линейные слагаемые (235, 142).
Зхивчлник 3. Изучение лненых пучков нвлнется важным не только длл нахожденил новых интегрируемых случаев, но и длл проблем классификации динамических характеристик системы. В главе 4 будет разобран лнсв лучок. определяющий вихревую алгебру, .которая несет важиугсз ииформацшо о взанмодейстнян точечных вихрей. В следующем параграфе будет рассмотрена отличная от изложенной конструкция, связанная с использованием картановского разложении алгебр Ли и приводнщая к представлению Лаков Гейзенберга с рациональным спектральным параметром.
9 10. Ь вЂ” А-пары и бигамильтоновость: картановское раэложение 1. Задача Вруна. Рассмотрим задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в силовом поле, потенциал которого нвлястся произвольной квадратичной формой относительно направляющих косинусов (сг,Д, у). Зта проблема изучалась Ф. Вруном в прошлом столетии, но окончательные результаты получены совсем недавно (18], (см. Глава Л также (17, 139)). Оказалосзч что двух дополнительных интегралов двилзения, найденных Вруном и недостаточных для интегрирования по теории последнего множителя, хватает для интегрирования по теореме Лпувилля, если воспользоватьсн гамильтоновой структурой уравнений движения. В этой структуре два дополнительных интеграла находятся в ипволюции). Хотя иптсгрирусмость волчка и квадратичном потенциале (а также его и-мерные обобщения, пары взаимоденствующих волчков и движение точки па однородных пространствах в потенциалах специального вида) была формально изучена в [139), наиболее законченное выражение онн приобрели в работах Богонвленского (17, 18).
В них также содержатся различпыс физические интерпретации этой задачи. рассмотрим сначала динамику симметричного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле. Гагвильтониан системы в этом случае может быть представлен в виде 77 — 1р1з+ дуг адах) — и 1(и пзз -ь п,9 з .Ь пз.~,з) (1(11) (КОК1) =з„.;ьКы (К;,р1) = сцлрь, (р,,р,) = О. (10.2) В силу интеграла Яз = сопзь гамильтониан (10.1) можно записать в переменных Кьр, (пользуясь также тем, что Мз — 1ьз) Н = 2 Х вЂ” ' о (азРз + азРз + азрз). 1 2 и 1 3 2 2 (10.3) Уравнения движения с гамнльтопиапом (10.3) совпадают с уравнениями движения точки по двумерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом (задача Ноймана).
Эта аналогия бьща замечена н (17) без использования уравнений на алгебре (10.2). где аь а Е Я, причем компоненты направляющих косинусов на оси, связанной с телом системы координат, обозначены через аь,В,, тп (см, Э' 1). Из уравнений движения следует, что компонента ЛХз является интегралом движения. Кроме того, как следует из непосредственных вычислений, проекции моментов на оси, связанные с абсолютным пространством Кт — — (М,а)., Кз = (М„д), Кз = (М, у), а таюко проекции на те же оси единичного орта, направленного вдоль оси динамической симметрии (с компонентами (рз. рз; рз) = (пз, Рз,фз), образуют алгебру Ли е(3) З 10. Ь вЂ” А-лары и Лига«аиаьто««алость« нартаноосноо раъ«оженил 167 Если отказаться от требования динамической симметрии, гамильтопиап системы с условиями коммутации (1.3) (~2 гл.
2) имеет пид [18] Н' = —,(АМ,М) — т(А ~«г,сг) — у(А ~Д, д) — л(А 7, у), (10Л) 2 [М«п] = Мп — пМ«[МмМг] = МгМз — МзМм [им из] = О, (10.5) а соответствующая этой алгебре Ли скобка Ли Пуассона примет вид (~,Л) = ~~«с, и— ь д.«' ду «га (10.6) Скобка Пуассона (10.6) обладает функциями Казимира ,7а .— Тг(п)«,7ь — Тг(п ), 7а —. Тг(п ), и при ограничении на шестимерное многообразие Ма, определнемое этими функциями Казимира, уже является невырожденной.
Для интегрируемости системы по Лиувиллю не хватает еше двух дополнительных инволютивных интегралов. Гамильтониан (10.4) в переменных М,п имеет вид .Уг = — Н = Тг( — (М«АМ) (пА ')) „ а сами уравнения мозкно записать в компактной форме дН дН М .М' Лм" " [п' д1„1] (10. 7) Уравнения (10.7) можно записать в виде Лаков Гейзенберга с параметром Л, входящем в зто представление рациональным образом Ь = [Ь«А], Ь=ЛМ+п+Л В, (10.8) А =- и« вЂ” ЛЬ где ж,у«" 6 Н,А — матрица, обратная матрице инерции 1. Отождсствим трехмерные векторы М, о« ~у,ч с кососимметрическими матрицами (которые обозначим также) и рассмотрим алгебру псрсмсппых М; и компонент симметрической матрицы п ..
таз+ ур«з+ зуз. В матричных обозначениях условия коммутации в алгебре 1о«каждый элемент которой представим в форме 1= М+ п, гаовгно записать в виде Глава й Кроме указанных выше интегралов движения, уравнения всегда обладают икволютивными интегралами .Ез = Тг(-М + Вп), .Ез = Т1(Мзп+Вп ), (10.9) гче Н;Х = (азотах) ха;бьи и поэтому система (10.4) на шестимерном симплсктичсском многообразии Мв нвлястся вполне интегрируемой по Лнувиллю, а динамика происходит по трехмерным торам, определяемым иптсграламн,Х; = С; (г = 1,2,3), квазипсриодичсским образом. Формулы (10.8) могут быть получены из общей конструкции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
